Arbitrage and the Stability of AMM Price Tracking

Technischer Zusammenfassung: Arbitrage und die Stabilität der AMM-Preisverfolgung

Problemstellung
Automated Market Maker (AMMs) bestimmen Preise basierend auf dem Poolzustand und nicht auf einem Limit-Order-Buch. Während die vorherrschende ökonomische Intuition nahelegt, dass Arbitrageure Abweichungen zwischen AMM-Preisen und externen Referenzpreisen korrigieren, fehlt es in der bestehenden Literatur an einem rigorosen Beweis dafür, dass dieser Mechanismus Stabilität auf der Block-Skala garantiert. Auf Blockchains ist die Preisbereinigung nicht kontinuierlich; sie ist diskret, abhängig von der Transaktionsreihenfolge, Verzögerungen, Gebühren und potenziellen Fehlern. Darüber hinaus ist in Pools mit konzentrierter Liquidität die Wirksamkeit der Korrektur zustandsabhängig. Die aktuelle Forschung konzentriert sich entweder auf Approximationen im kontinuierlichen Zeitverlauf, isolierte Arbitragegewinne oder spezifische Ausführungsrisiken (MEV, Frontrunning), ohne diese Faktoren in ein geschlossenes Regelkreismodell zu vereinen, das beweist, dass der Verfolgungsfehler stabil bleibt.

Methodik
Die Autoren modellieren den AMM-Preisverfolgungsprozess als stochastisches geschlossenes Regelkreissystem, das auf Block-Ebene operiert.

1. Zustandsdefinitionen:

   • $P_n$: Referenz-Log-Preis vor Block $n$.
   • $\tilde{P}_n$: AMM-Log-Preis nach Block $n$.
   • $x_n = P_n - \tilde{P}_{n-1}$: Verfolgungsfehler vor der Ausführung (Lücke, die von Arbitrageuren gesehen wird).
   • $z_n = P_n - \tilde{P}_n$: Verfolgungsfehler nach der Ausführung.
   • Die Dynamik folgt $x_{n+1} = z_n + w_{n+1}$, wobei $w_n$ eine exogene Störung ist.

2. Reduktion der Ausführungsschicht:
   Anstatt das komplexe Spiel von Suchern und Transaktionsreihenfolge zu modellieren, reduzieren die Autoren die Ausführungsschicht auf zwei Schlüsselgrößen:

   • Dead-Zone-Obergrenze ($\bar{\gamma}$): Eine messbare Schranke, die den maximalen „No-Trade"-Radius aufgrund von Gebühren, Slippage und Fixkosten darstellt.
   • Realisierte Korrektur ($C_n$): Die gesamte erfolgreiche Reduktion der Fehlerstärke, die durch den Block geliefert wird.
   • Eine sequenzielle Ausführungsregel bestimmt, welche Transaktionen in einem Block erfolgreich sind, basierend darauf, ob der verbleibende Fehler die spezifische ausführbare Restbandbreite der Transaktion überschreitet.

3. Theoretischer Rahmen:

   • Annahmen: Das Modell geht von einem zeit-homogenen stochastischen Kernel für Block-Umgebungen und einer „Großfehler-Korrekturbedingung" aus. Diese Bedingung besagt, dass, wenn die Lücke ausreichend groß ist, eine nicht-null Wahrscheinlichkeit ($p^*$) besteht, dass der Block mindestens einen Bruchteil ($\lambda^*$) der überschüssigen Lücke entfernt.
   • Proposition 1: Liefert eine explizite Berechnung für die „No-Trade-Bandbreite" und die optimale Arbitragegröße in einem AMM mit konstantem Produkt und zeigt auf, wie Gebühren und Fixkosten eine quantitative Schwelle für eine profitable Korrektur schaffen.
   • Proposition 2: Stellt fest, dass der Fehler nach der Ausführung durch den Fehler vor der Ausführung minus der realisierten Korrektur begrenzt ist, wobei die Dead-Zone als Obergrenze dient.

4. Stabilitätsanalyse:
   Die Autoren wenden die Foster-Lyapunov-Theorie an, um die Markov-Kette der Verfolgungsfehler zu analysieren. Sie konstruieren eine Lyapunov-Funktion $V(x) = e^{\alpha|x|}$, um zu beweisen, dass das System unter der Großfehler-Korrekturbedingung außerhalb einer kompakten Menge einen negativen Drift aufweist.

Hauptergebnisse

• Satz 1 (Geometrische Ergodizität): Unter den genannten Annahmen ist der Verfolgungsfehlerprozess $\{x_n\}$ eine positive Harris-rekurrente Markov-Kette, die mit geometrischer Rate gegen ein eindeutiges invariantes Wahrscheinlichkeitsmaß $\pi_x$ konvergiert. Dies beweist, dass die AMM-Preisverfolgung langfristig stabil ist, sofern große Abweichungen zuverlässige Arbitrage-Korrekturen auslösen.
• Explizite Schranken: Die Arbeit leitet explizite Ein-Schritt-Schranken ab, die die Verfolgungsqualität mit Liquidität und Ausführungsqualität verknüpfen. Insbesondere hängt die Konvergenzrate vom Produkt des Korrekturanteils ($\lambda^*$) und der Lieferwahrscheinlichkeit ($p^*$) ab.
• Empirische Kalibrierung: Unter Verwendung von Daten des Ethereum-Mainnetzes (Blöcke 16800007–16803511) konstruieren die Autoren empirische Stellvertreter für die Parameter des Satzes:
  • Dead-Zone-Stellvertreter ($\bar{\gamma}$): $\approx 3,82 \times 10^{-4}$.
  • Anteil der Großfehler-Korrektur ($\hat{\lambda}^*$): 0,50.
  • Lieferwahrscheinlichkeit ($\hat{p}^*$): 72,9 %.
  • Die Daten bestätigen, dass große Lücken häufiger und tiefer korrigiert werden als kleine Lücken.
• Simulationsvalidierung: Reduzierte Simulationen, die von diesen empirischen Parametern angetrieben werden, zeigen, dass das System nach Schocks schnell in den Betriebskanal zurückkehrt. Comparative Statics zeigen, dass eine Erhöhung des Korrekturanteils oder der Lieferwahrscheinlichkeit die Verfolgung strafft, während höhere Fixkosten oder geringere Liquidität den Verfolgungsfehler vergrößern.

Bedeutung und Behauptungen
Der Hauptbeitrag der Arbeit besteht darin, die grundlegende ökonomische Intuition, dass „Arbitrage AMM-Preise ausrichtet", in eine quantitative Stabilitätsaussage mit einer handhabbaren Kalibrierschnittstelle zu transformieren.

• Schließen einer theoretischen Lücke: Sie liefert das erste stochastische geschlossene Regelkreismodell auf Block-Skala, das AMM-Dynamiken, Arbitrage-Anreize und Ausführungsbeschränkungen (Gebühren, Reihenfolge, Ausfall) vereint, um Stabilität zu beweisen.
• Praktischer Nutzen: Die Autoren beanspruchen keine scharfe empirische Validierung des Satzes selbst. Stattdessen zeigen sie, dass die vom Satz geforderten Größen (Dead-Zone, Korrekturwahrscheinlichkeit) on-chain beobachtbar sind und dass Simulationen, die von diesen beobachteten Größen angetrieben werden, konsistent mit den theoretischen Vorhersagen verhalten.
• Mechanismus-Einblick: Durch ein Beispiel mit konstantem Produkt kartiert die Arbeit explizit, wie Gebühren, Fixkosten für die Ausführung und Reservertiefe die ökonomische No-Trade-Bandbreite und die optimale Korrekturtransaktionsgröße bestimmen und bietet eine klare Schnittstelle zur Interpretation, wie Liquidität und Reibung die Preisstabilität beeinflussen.

Zusammenfassend stellt die Arbeit fest, dass die AMM-Preisverfolgung auf Block-Skala geometrisch ergodisch ist, wenn Arbitrage-Anreize stark genug sind, um sicherzustellen, dass mit ausreichender Wahrscheinlichkeit große Abweichungen in jedem Block teilweise korrigiert werden. Diese Stabilität ist abhängig vom Zusammenspiel zwischen Liquiditätstiefe, Ausführungskosten und der Zuverlässigkeit des Korrekturmechanismus.