Arbitrage and the Stability of AMM Price Tracking

Technische Samenvatting: Arbitrage en de Stabiliteit van AMM-Prijsvolging

Probleemstelling
Automated Market Makers (AMM's) bepalen prijzen op basis van de poolstatus in plaats van een limietorderboek. Hoewel de heersende economische intuïtie suggereert dat arbitrageurs afwijkingen tussen AMM-prijzen en externe referentieprijzen zullen corrigeren, ontbreekt het in bestaande literatuur aan een rigoureuze bewijsvoering dat dit mechanisme stabiliteit op blockschaal garandeert. Op blockchains is prijscorrectie niet continu; het is discreet, afhankelijk van transactievolgorde, vertragingen, kosten en mogelijke mislukkingen. Bovendien is in pools met geconcentreerde liquiditeit de effectiviteit van correctie afhankelijk van de staat. Huidig onderzoek richt zich óf op continu-tijdsbenaderingen, geïsoleerde arbitragewinsten, óf op specifieke uitvoeringsrisico's (MEV, frontrunning), zonder deze factoren te verenigen in een gesloten-lusmodel dat bewijst dat de volgfout stabiel blijft.

Methodologie
De auteurs modelleren het AMM-prijsvolgingsproces als een stochastisch gesloten-lussysteem dat werkt op blockschaal.

1. Staatdefinities:

   • $P_n$: Referentielog-prijs voor blok $n$.
   • $\tilde{P}_n$: AMM-log-prijs na blok $n$.
   • $x_n = P_n - \tilde{P}_{n-1}$: Volgfout voor uitvoering (gat gezien door arbitrageurs).
   • $z_n = P_n - \tilde{P}_n$: Volgfout na uitvoering.
   • De dynamiek volgt $x_{n+1} = z_n + w_{n+1}$, waarbij $w_n$ een exogene verstoring is.

2. Reductie van de Uitvoeringslaag:
   In plaats van het complexe spel van zoekers en transactievolgorde te modelleren, reduceren de auteurs de uitvoeringslaag tot twee kernkwantiteiten:

   • Dead-zone cap ($\bar{\gamma}$): Een meetbare bovengrens die de maximale "no-trade"-straal vertegenwoordigt als gevolg van kosten, slippage en vaste kosten.
   • Gerealiseerde Correctie ($C_n$): De totale succesvolle vermindering van de foutgrootte die door het blok wordt geleverd.
   • Een sequentiële uitvoeringsregel bepaalt welke transacties in een blok slagen, gebaseerd op of de resterende fout de specifieke uitvoerbare resterende band van de transactie overschrijdt.

3. Theoretisch Kader:

   • Aannames: Het model veronderstelt een tijdshomogeen stochastisch kernel voor blokomgevingen en een "Groot-fout correctievoorwaarde". Deze voorwaarde stelt dat wanneer het gat voldoende groot is, er een niet-nul waarschijnlijkheid ($p^*$) bestaat dat het blok ten minste een fractie ($\lambda^*$) van het overtollige gat zal verwijderen.
   • Propositie 1: Biedt een expliciete berekening voor de "no-trade-band" en de optimale arbitragegrootte in een constant-product AMM, en toont aan hoe kosten en vaste kosten een kwantitatieve drempel voor winstgevende correctie creëren.
   • Propositie 2: Stelt vast dat de fout na uitvoering wordt begrensd door de fout voor uitvoering minus de gerealiseerde correctie, afgekapd door de dead-zone.

4. Stabiliteitsanalyse:
   De auteurs maken gebruik van Foster-Lyapunov-theorie om de Markov-keten van volgfouten te analyseren. Zij construeren een Lyapunov-functie $V(x) = e^{\alpha|x|}$ om te bewijzen dat, onder de groot-fout correctievoorwaarde, het systeem een negatieve drift vertoont buiten een compacte verzameling.

Belangrijkste Resultaten

• Stelling 1 (Geometrische Ergodiciteit): Onder de gestelde aannames is het volgfoutproces $\{x_n\}$ een positieve Harris-recurrente Markov-keten die convergeert naar een unieke invariantie-waarschijnlijkheidsmaat $\pi_x$ met een geometrische snelheid. Dit bewijst dat de AMM-prijsvolging op lange termijn stabiel is, mits grote afwijkingen betrouwbare arbitragecorrecties triggeren.
• Expliciete Grenzen: Het artikel leidt expliciete één-staps grenzen af die volgkwaliteit koppelen aan liquiditeit en uitvoeringskwaliteit. Specifiek hangt de convergentiesnelheid af van het product van de correctiefraction ($\lambda^*$) en de leveringswaarschijnlijkheid ($p^*$).
• Empirische Kalibratie: Met behulp van Ethereum mainnet-gegevens (blokken 16800007–16803511) construeren de auteurs empirische proxies voor de parameters van de stelling:
  • Dead-zone proxy ($\bar{\gamma}$): $\approx 3.82 \times 10^{-4}$.
  • Aandeel groot-fout correctie ($\hat{\lambda}^*$): 0,50.
  • Leveringswaarschijnlijkheid ($\hat{p}^*$): 72,9%.
  • De gegevens bevestigen dat grote gaten vaker en dieper worden gecorrigeerd dan kleine gaten.
• Simulatievalidatie: Verminderde simulaties gedreven door deze empirische parameters tonen aan dat het systeem snel terugkeert naar de operationele buis na schokken. Vergelijkende statiek toont aan dat het verhogen van het correctieaandeel of de leveringswaarschijnlijkheid de volgkwaliteit verscherpt, terwijl hogere vaste kosten of lagere liquiditeit de volgfout vergroten.

Betekenis en Claims
De primaire bijdrage van het artikel is het transformeren van de basis economische intuïtie dat "arbitrage AMM-prijzen aligneert" in een kwantitatieve stabiliteitsuitspraak met een hanteerbare kalibratie-interface.

• Invullen van Theoretische Kloof: Het biedt het eerste stochastische gesloten-lusmodel op blockschaal dat AMM-dynamiek, arbitrageprikkels en uitvoeringsbeperkingen (kosten, volgorde, mislukking) verenigt om stabiliteit te bewijzen.
• Praktisch Nut: De auteurs claimen geen scherpe empirische validatie van de stelling zelf. In plaats daarvan tonen zij aan dat de kwantiteiten die door de stelling worden vereist (dead-zone, correctiewaarschijnlijkheid) on-chain waarneembaar zijn, en dat simulaties gedreven door deze waargenomen kwantiteiten consistent gedragen met de theoretische voorspellingen.
• Mechanisme-inzicht: Via een constant-product voorbeeld mapt het artikel expliciet hoe kosten, vaste uitvoeringskosten en reservediepte de economische no-trade-band en de optimale correctieve handelsgrootte bepalen, en biedt een duidelijke interface voor het interpreteren van hoe liquiditeit en wrijving de prijsstabiliteit beïnvloeden.

Kortom, het werk stelt vast dat blockschaal AMM-prijsvolging geometrisch ergodisch is als arbitrageprikkels sterk genoeg zijn om te garanderen dat, met voldoende waarschijnlijkheid, grote afwijkingen in elk blok gedeeltelijk worden gecorrigeerd. Deze stabiliteit is afhankelijk van de wisselwerking tussen liquiditeitsdiepte, uitvoeringskosten en de betrouwbaarheid van het correctiemechanisme.