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Arbitrage and the Stability of AMM Price Tracking

本文通过将价格偏差建模为由套利修正的随机误差，证明了在特定执行条件下自动做市商（AMM）价格跟踪的区块级稳定性，并构建了一个将跟踪质量与流动性、手续费及区块链机制相联系的定量框架。

原作者： Peihao Li, Nadia Dahmani, Wenqi Cai

发布于 2026-05-08

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原作者： Peihao Li, Nadia Dahmani, Wenqi Cai

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一个繁忙的数字市场，称为去中心化金融（DeFi）交易所。与传统的股票市场不同（在传统市场中，买卖双方会在公告板上喊出价格，即“限价订单簿”），这个市场使用一个名为**自动做市商（AMM）**的机器人交易员。

这个机器人没有订单列表；它只有一个巨大的资金池（流动性）。它根据池中当前每种物品的数量来计算该物品的价格。

问题：机器人不同步

关键在于：机器人的价格仅取决于池中的内容。如果某物品（如以太坊）的“现实世界”价格因新闻突然飙升，机器人的池子可能仍认为价格很低。这就在机器人报价与物品实际价值之间造成了差距（或“跟踪误差”）。

如果这个差距过大，机器人就是在白白送钱。

英雄：套利者

套利者登场了。把他们想象成一群高速送货司机，专门发现这些价格差距。

如果机器人说某个代币便宜，司机们就从机器人那里买入，然后在别处卖出以获利。
如果机器人说它昂贵，司机们就从别处买入，然后卖给机器人。

每当这些司机进行交易，他们就会将机器人的价格推回“真实”价格。理论上，这能保持机器人的诚实。

转折：交通堵塞（区块链现实）

在现实世界中，这些司机并非瞬间工作。他们以区块为单位工作（就像每天送达一次的邮件批次）。

延迟：价格可能会大幅偏离，但司机们只能在下一个“区块”的交易被处理时才能进行修正。
交通：有时道路拥堵（高费用），有时司机被困在交通中（交易延迟），有时他们的送货完全失败（交易回滚）。
死亡地带：如果价格差距很小，司机们不值得花费时间或燃气费去修正。他们会忽略小误差。这就形成了一个“死亡地带”，在这个地带里，机器人被允许略微出错。

本文做了什么

作者提出了一个大问题：“这个系统是稳定的，还是机器人最终会发疯并失去对现实的把握？”

他们建立了一个数学模型，证明尽管存在交通堵塞和延迟，只要满足某些条件，该系统确实能保持稳定。

“橡皮筋”的类比

想象价格差距是一根橡皮筋。

拉伸：外部世界拉动橡皮筋（价格偏离）。
回弹：套利者是将橡皮筋拉回的手。
证明：本文证明，即使橡皮筋被拉伸了很多，这些手也足够强壮，能在橡皮筋断裂之前将其拉回。他们证明了“差距”会上下波动，但永远不会无限增长。它始终保持在安全、可预测的范围内。

关键发现（通俗版）

“不交易”地带：本文精确计算了价格差距必须达到多大才值得修正。如果差距小于这个“死亡地带”，司机们就不会费心，机器人会保持略微偏离。这是正常且预期的。
“大差距”规则：如果差距变得巨大（超出死亡地带），本文证明司机们几乎肯定会介入，并在下一个区块中修正其中相当大的一部分。
流动性是肌肉：系统的“肌肉”是流动性（池中有多少资金）。
- 深池：如果池子很深，司机们很容易将价格拉回。机器人会保持高度准确。
- 浅池：如果池子很浅，移动价格需要很大努力。机器人可能会更加摇摆不定。
费用是摩擦：高费用或固定成本就像司机脚上沉重的靴子。它们使价格修正变得更加困难，从而扩大了机器人被允许出错的“死亡地带”。

模拟（“如果”游戏）

作者不仅做了数学计算；他们还查看了以太坊区块链上的真实数据。他们采用了司机（套利者）的实际行为和真实的交通状况（费用和延迟），并进行了模拟。

结果：当他们模拟一个“强”系统（大量流动性、低费用）时，机器人非常接近真实价格。
结果：当他们模拟一个“弱”系统（低流动性、高费用）时，机器人偏离得更远，且需要更长时间才能回到正轨。

结论

本文将一个简单的经济理念——“套利保持价格诚实”——转化为严格的数学保证。它证明，只要池中有足够的资金且交易成本不太高，自动做市商就不会偏离至混乱之中。它会摇摆，会有小误差，但它总会弹回现实。

这就像证明一艘拥有良好舵和强大船员的船，即使海浪（市场波动）试图将其推离航线，也总能回到航向。

技术摘要：套利与自动做市商（AMM）价格跟踪的稳定性

问题陈述
自动做市商（AMM）基于资金池状态而非限价订单簿来确定价格。虽然主流的经济直觉认为套利者将修正 AMM 价格与外部参考价格之间的偏差，但现有文献缺乏严格的证明，表明该机制能保证在区块尺度上的稳定性。在区块链上，价格修正并非连续的；它是离散的，受交易排序、延迟、费用及潜在失败的影响。此外，在集中流动性资金池中，修正的有效性取决于状态。当前研究要么侧重于连续时间近似，要么关注孤立的套利利润，或特定的执行风险（如最大可提取价值 MEV、抢先交易），而未将这些因素统一为一个闭环模型以证明跟踪误差保持稳定性。

方法论
作者将 AMM 价格跟踪过程建模为在区块层面运行的随机闭环系统。

状态定义：
- $P_n$ ：第 $n$ 个区块前的参考对数价格。
- $\tilde{P}_n$ ：第 $n$ 个区块后的 AMM 对数价格。
- $x_n = P_n - \tilde{P}_{n-1}$ ：执行前的跟踪误差（套利者看到的缺口）。
- $z_n = P_n - \tilde{P}_n$ ：执行后的跟踪误差。
- 动态遵循 $x_{n+1} = z_n + w_{n+1}$ ，其中 $w_n$ 是外生扰动。
执行层简化：
作者不模拟搜索者与交易排序的复杂博弈，而是将执行层简化为两个关键量：
- 死区上限（ $\bar{\gamma}$ ）： 一个可测量的界限，代表由于费用、滑点和固定成本导致的最大“不交易”半径。
- 已实现修正（ $C_n$ ）： 该区块交付的误差幅度总成功减少量。
- 顺序执行规则根据剩余误差是否超过特定交易的可执行残差带，决定区块中哪些交易成功。
理论框架：
- 假设： 模型假设区块环境具有时间齐次随机核，并设定了“大误差修正条件”。该条件认为，当缺口足够大时，存在非零概率（ $p^*$ ）使该区块至少移除超额缺口的一部分（ $\lambda^*$ ）。
- 命题 1： 提供了恒定乘积 AMM 中“不交易带”和最优套利规模的显式计算，展示了费用和固定成本如何形成盈利性修正的定量阈值。
- 命题 2： 确立了执行后误差受限于执行前误差减去已实现修正，并以死区为上限。
稳定性分析：
作者采用Foster-Lyapunov 理论分析跟踪误差的马尔可夫链。他们构造了一个 Lyapunov 函数 $V(x) = e^{\alpha|x|}$ ，以证明在大误差修正条件下，系统在紧集之外表现出负漂移。

主要结果

定理 1（几何遍历性）： 在所述假设下，跟踪误差过程 $\{x_n\}$ 是一个正 Harris 常返马尔可夫链，以几何速率收敛到唯一的不变概率测度 $\pi_x$ 。这证明了只要大的偏差能触发可靠的套利修正，AMM 价格跟踪在长期内是稳定的。
显式界限： 本文推导了连接跟踪质量与流动性和执行质量的显式单步界限。具体而言，收敛速率取决于修正份额（ $\lambda^*$ ）与交付概率（ $p^*$ ）的乘积。
实证校准： 利用以太坊主网数据（区块 16800007–16803511），作者构建了定理参数的实证代理：
- 死区代理（ $\bar{\gamma}$ ）： $\approx 3.82 \times 10^{-4}$ 。
- 大误差修正份额（ $\hat{\lambda}^*$ ）：0.50。
- 交付概率（ $\hat{p}^*$ ）：72.9%。
- 数据证实，大缺口比小缺口更频繁且更深度地被修正。
模拟验证： 基于这些实证参数的简化模拟表明，系统在受到冲击后能迅速回归运行管区。比较静态分析显示，增加修正份额或交付概率会收紧跟踪，而更高的固定成本或更低的流动性则会扩大跟踪误差。

意义与主张
本文的主要贡献是将“套利使 AMM 价格对齐”这一基本经济直觉转化为具有可处理校准接口的定量稳定性陈述。

填补理论空白： 它提供了首个区块尺度的随机闭环模型，将 AMM 动态、套利激励和执行约束（费用、排序、失败）结合在一起以证明稳定性。
实用价值： 作者并未声称对定理本身进行了尖锐的实证验证。相反，他们证明了定理所要求的量（死区、修正概率）是链上可观测的，并且由这些观测量驱动的模拟行为与理论预测一致。
机制洞察： 通过恒定乘积示例，本文明确映射了费用、固定执行成本和储备深度如何决定经济上的不交易带和最优修正交易规模，为解释流动性和摩擦如何影响价格稳定性提供了清晰的接口。

总之，该工作确立了：如果套利激励足够强，能够确保在每个区块中以足够的概率部分修正大偏差，那么区块尺度的 AMM 价格跟踪就是几何遍历的。这种稳定性取决于流动性深度、执行成本与修正机制可靠性之间的相互作用。