Data-Driven Frequency-Selective Output Regulation of Nonlinear Systems under Almost Periodic Exosignals

Resumen Técnico: Regulación de Salida Selectiva de Frecuencia Basada en Datos para Sistemas No Lineales bajo Exosignales Casi Periódicos

Formulación del Problema
Este artículo aborda el problema de regulación de salida para una clase de sistemas no lineales de tiempo continuo desconocidos, impulsados por exosignales casi periódicas. Se asume que la dinámica de la planta está linealmente parametrizada sobre un diccionario prescrito de funciones de base continuamente diferenciables, aunque todas las matrices de coeficientes (del sistema, de entrada, de salida y de los canales del exosignal) permanecen desconocidas. Además, las amplitudes y fases del exosignal son inmedibles.

En la regulación de salida no lineal clásica, lograr la regulación asintótica exacta requiere resolver las ecuaciones de regulador no lineal (NOREs), una tarea que es generalmente intratable incluso con modelos conocidos e imposible en entornos basados en datos sin identificación. Mientras que los métodos de datos existentes a menudo dependen de señales periódicas o supuestos estructurales restrictivos, este trabajo se dirige a una clase más amplia de exosignales donde las frecuencias son racionalmente independientes, lo que resulta en trayectorias casi periódicas (pero no periódicas). El objetivo se formula como regulación selectiva de frecuencia: en lugar de llevar el error a cero, el controlador debe eliminar los coeficientes de Fourier–Bohr del error de regulación en estado estacionario en las frecuencias específicas embebidas en el exosistema, mientras se acota explícitamente la energía de los componentes de error residuales.

Metodología
La solución propuesta integra el principio del modelo interno con la síntesis de control directo basado en datos, evitando la identificación explícita del sistema.

1. Estructura del Modelo Interno: Se embebe un modelo interno de $p$-copias dentro de un controlador dinámico. Este modelo reproduce el modo constante y los modos sinusoidales seleccionados correspondientes a las frecuencias conocidas del exosistema. El estado del controlador $z$ evoluciona según $\dot{z} = \Phi z + \Gamma e$, donde $\Phi$ y $\Gamma$ se construyen para embeber el conjunto de frecuencias específico $\{0, \sigma_1, \dots, \sigma_s\}$.
2. Representación del Sistema Aumentado: La planta y el modelo interno se combinan en un sistema no lineal aumentado. La dinámica desconocida de este sistema aumentado se representa directamente utilizando datos medidos de entrada-estado-error obtenidos fuera de línea (offline).
3. Síntesis Basada en Datos vía SDP: Se deriva un programa semidefinido robusto (SDP) para sintetizar la matriz de ganancia de retroalimentación $K$ directamente a partir de datos ruidosos. Esta formulación utiliza una restricción "robusta al ruido" que contabiliza los errores de aproximación y el ruido de medición a través de un conjunto de perturbaciones acotado. El SDP impone una desigualdad de disipación incremental, lo que garantiza que el campo vectorial de lazo cerrado sea exponencialmente contractivo en un conjunto operativo prescrito.
4. Análisis de Estabilidad y Regulación:
   • Teoría de Contracción: La contracción exponencial del sistema de lazo cerrado asegura la existencia, unicidad y atractividad exponencial de una solución acotada completa.
   • Periodicidad Casi Periódica: Dado que el exosignal es casi periódico y el sistema es convergente respecto al estado de entrada (input-to-state convergent), se demuestra que la trayectoria única atractora en estado estacionario es casi periódica.
   • Análisis de Fourier–Bohr: Mediendo la dinámica del modelo interno en estado estacionario, se demuestra que la acotación del estado del modelo interno fuerza a que los coeficientes de Fourier–Bohr del error de regulación en las frecuencias embebidas se anulen.
   • Acotación de la Energía Residual: Para los componentes espectrales no modelados, un argumento de tipo Parseval establece una cota de energía promediada en el tiempo. Este límite depende de la derivada del error y de la menor magnitud de las frecuencias no modeladas.

Contribuciones Clave

• Formulación del Problema: El artículo formula un problema de regulación de salida selectiva de frecuencia basada en datos para sistemas no lineales bajo exosignales casi periódicas de espectro finito, caracterizando la regulación mediante la anulación de coefores de Fourier–Bohr específicos en lugar de la convergencia asintótica exacta.
• Método de Síntesis Directa: Se desarrolla un método de síntesis directa para un regulador no lineal basado en un modelo interno. Este construye una ganancia de retroalimentación mediante un SDP robusto sin identificar las matrices del sistema ni medir las amplitudes o fases del exosignal.
• Garantías Teóricas: El trabajo proporciona un análisis completo de estado estacionario demostrando que el sistema de lazo cerrado admite una trayectoria casi periódica única y exponencialmente atractiva. Demuestra rigurosamente la eliminación de los componentes de error de las frecuencias embebidas y proporciona una cota cuantitativa sobre la energía del error residual.
• Validación: El enfoque se valida mediante simulaciones numéricas y experimentos físicos en un entorno gym-pybullet-drones utilizando un cuadrotor con una carga suspendida por un cable.

Resultados
Las simulaciones numéricas y físicas en un cuadrotor que transporta una carga suspendida demuestran la efectividad del controlador propuesto. En presencia de perturbaciones oscilatorias inducidas por la carga (que generan señales casi periódicas debido a condiciones iniciales desconocidas), el controlador propuesto logra llevar los errores de altitud y ángulo de cabeceo a un pequeño vecindario del origen.
Los experimentos comparativos muestran que un controlador basado en datos sin el modelo interno falla en suprimir estas perturbaciones oscilatorias, resultando en errores significativos en estado estacionario. En contraste, el controlador basado en el modelo interno propuesto atenúa sustancialmente estas oscilaciones. Los resultados confirman que el controlador elimina los componentes de frecuencia dominantes del error mientras mantiene oscilaciones residuales acotadas consistentes con los límites de energía teóricos.

Significancia
El artículo reclama su significancia al cerrar la brecha entre el control basado en datos y la regulación de salida no lineal para señales casi periódicas generales. A diferencia de trabajos previos que están limitados a sistemas lineales, señales periódicas o que requieren una linealización local, este enfoque maneja sistemas no lineales con parámetros desconocidos y frecuencias racionalmente independientes directamente desde los datos. Al aprovechar la teoría de contracción y el análisis de Fourier–Bohr, ofrece una alternativa rigurosa para resolver las NOREs, proporcionando garantías de desempeño explícitas (coeficientes nulos y límites de energía) en un escenario donde la regulación exacta es típicamente inalcanzable. El método es particularmente relevante para aplicaciones como el transporte aéreo con cargas suspendidas, donde las perturbaciones son inherentemente oscilatorias y los parámetros del modelo son inciertos.