Data-Driven Frequency-Selective Output Regulation of Nonlinear Systems under Almost Periodic Exosignals

Résumé technique : Régulation de sortie sélective en fréquence de systèmes non linéaires pilotée par les données sous exosignaux presque périodiques

Formulation du problème
Cet article traite du problème de régulation de sortie pour une classe de systèmes non linéaires en temps continu inconnus, pilotés par des exosignaux presque périodiques. La dynamique du système est supposée être linéairement paramétrable sur un dictionnaire prescrit de fonctions de base continûment dérivables, bien que toutes les matrices de coefficients (système, entrée, sortie et canaux d'exosignal) demeurent inconnues. De plus, les amplitudes et les phases de l'exosignal sont incommensurables.

Dans la régulation de sortie non linéaire classique, l'obtention d'une régulation asymptotique exacte nécessite de résoudre des équations de régulateur non linéaires (NORE), une tâche généralement insoluble, même avec des modèles connus, et impossible dans des contextes pilotés par les données sans identification. Alors que les méthodes existantes basées sur les données reposent souvent sur des signaux périodiques ou des hypothèses structurelles restrictives, ce travail cible une classe plus large d'exosignaux dont les fréquences sont rationnellement indépendantes, ce qui génère des trajectoires presque périodiques (mais non périodiques). L'objectif est formulé comme une régulation sélective en fréquence : plutôt que de conduire l'erreur à zéro, le contrôleur doit éliminer les coefficients de Fourier–Bohr de l'erreur de régulation en régime permanent aux fréquences spécifiques présentes dans l'exosystème, tout en bornant explicitement l'énergie des composantes d'erreur résiduelles.

Méthodologie
La solution proposée intègre le principe du modèle interne à une synthèse de commande directe pilotée par les données, évitant ainsi une identification explicite du système.

1. Structure du modèle interne : Un modèle interne à $p$-copies est intégré dans un contrôleur dynamique. Ce modèle reproduit le mode constant et les modes sinusoïdaux sélectionnés correspondant aux fréquences connues de l'exosystème. L'état du contrôleur $z$ évolue selon $\dot{z} = \Phi z + \Gamma e$, où $\Phi$ et $\Gamma$ sont construits pour intégrer l'ensemble de fréquences spécifique $\{0, \sigma_1, \dots, \sigma_s\}$.
2. Représentation du système augmenté : Le système (plant) et le modèle interne sont combinés en un système non linéaire augmenté. La dynamique inconnue de ce système augmenté est représentée directement à l'aide de données de mesure d'entrée-état-erreur hors ligne.
3. Synthèse pilotée par les données via SDP : Un programme semi-défini (SDP) robuste est dérivé pour synthétiser directement la matrice de gain de rétroaction $K$ à partir de données bruitées. Cette formulation utilise une contrainte « robuste au bruit » qui prend en compte les erreurs d'approximation et le bruit de mesure via un ensemble de perturbations bornées. Le SDP impose une inégalité de dissipation incrémentale, garantissant que le champ de vecteurs en boucle fermée est exponentiellement contractant sur un ensemble de fonctionnement prescrit.
4. Analyse de la stabilité et de la régulation :
   • Théorie de la contraction : La contraction exponentielle du système en boucle fermée assure l'existence, l'unicité et l'attractivité exponentielle d'une solution entière bornée.
   • Almost périodicité : Puisque l'exosignal est presque périodique et que le système est convergent par rapport à l'état (input-to-state convergent), la trajectoire d'attraction stationnaire unique est prouvée comme étant presque périodique.
   • Analyse de Fourier–Bohr : En analysant la dynamique du modèle interne en régime permanent, il est démontré que le bornage de l'état du modèle interne force les coefficients de Fourier–Bohr de l'erreur de régulation aux fréquences intégrées à s'annuler.
   • Borne de l'énergie résiduelle : Pour les composantes spectrales non modélisées, un argument de type Parseval établit une borne d'énergie moyenne temporelle. Cette borne dépend de la dérivée de l'erreur et de la plus petite magnitude des fréquences non modélisées.

Contributions clés

• Formulation du problème : L'article formule un problème de régulation de sortie sélective en fréquence piloté par les données pour des systèmes non linéaires sous des exosignaux presque périodiques à spectre fini, caractérisant la régulation par l'annulation de coefficients de Fourier–Bohr spécifiques plutôt que par une convergence asymptotique exacte.
• Méthode de synthèse directe : Une méthode de synthèse directe est développée pour un régulateur non linéaire basé sur un modèle interne. Elle construit un gain de rétroaction via un SDP robuste sans identifier les matrices du système ni mesurer les amplitudes ou les phases de l'exosignal.
• Garanties théoriques : Ce travail fournit une analyse complète du régime permanent, prouvant que le système en boucle fermée admet une trajectoire presque périodique unique et exponentiellement attractive. Il démontre rigoureusement l'élimination des composantes d'erreur des fréquences intégrées et fournit une borne quantitative sur l'énergie de l'erreur résiduelle.
• Validation : L'approche est validée par des simulations numériques et des expériences physiques dans un environnement gym-pybullet-drones à l'aide d'un quadrotor avec une charge suspendue par un câble.

Résultats
Les simulations numériques et physiques sur un quadrotor transportant une charge suspendue démontrent l'efficacité du contrôleur proposé. En présence de perturbations oscillatoires induites par la charge (qui génèrent des signaux presque périodiques en raison de conditions initiales inconnues), le contrôleur proposé parvient à conduire les erreurs d'altitude et d'assiette (pitch) dans un voisinage restreint de l'origine.
Des expériences comparatives montrent qu'un contrôleur piloté par les données sans modèle interne échoue à supprimer ces perturbations oscillatoires, entraînant des erreurs de régime permanent significatives. En revanche, le contrôleur basé sur le modèle interne proposé atténue considérablement ces oscillations. Les résultats confirment que le contrôleur élimine les composantes de fréquence dominantes de l'erreur tout en maintenant des oscillations résiduelles bornées cohérentes avec les bornes énergétiques théoriques.

Signification
L'article revendique sa pertinence en comblant le fossé entre le contrôle piloté par les données et la régulation de sortie non linéaire pour des signaux presque périodiques généraux. Contrairement aux travaux antérieurs limités aux systèmes linéaires, aux signaux périodiques ou nécessitant une linéarisation locale, cette approche traite directement les systèmes non linéaires avec des paramètres inconnus et des fréquences rationnellement indépendantes à partir de données. En exploitant la théorie de la contraction et l'analyse de Fourier–Bohr, elle offre une alternative rigoureuse à la résolution des NORE, fournissant des garanties de performance explicites (coefficients nuls et bornes d'énergie) dans un contexte où une régulation exacte est généralement inatteignable. La méthode est particulièrement pertinente pour des applications telles que le transport aérien avec des charges suspendues, où les perturbations sont intrinsèquement oscillatoires et les paramètres du modèle sont incertains.