Data-Driven Frequency-Selective Output Regulation of Nonlinear Systems under Almost Periodic Exosignals

Sintesi Tecnica: Regolazione dell'Output Frequenza-Selettiva Data-Driven per Sistemi Non-Lineari sotto Esosignali Quasi-Periodici

Formulazione del Problema
Questo articolo affronta il problema della regolazione dell'output per una classe di sistemi non lineari a tempo continuo a parametri incogniti, guidati da esosignali quasi-periodici. Si assume che la dinamica del sistema sia linearmente parametrizzata su un dizionario prestabilito di funzioni di base continuamente differenziabili, sebbene tutte le matrici dei coefficienti (sistema, ingresso, output e canali dell'esosignale) rimangano sconosciute. Inoltre, le ampiezze e le fasi dell'esosignale sono non misurabili.

Nella classica regolazione dell'output non lineare, il raggiungimento della regolazione asintotica esatta richiede la risoluzione delle equazioni del regolatore non lineare (NORE), un compito generalmente intrattabile anche con modelli noti e impossibile in contesti data-driven senza identificazione. Mentre i metodi data-driven esistenti spesso si basano su segnali periodici o assunzioni strutturali restrittive, questo lavoro mira a una classe più ampia di esosignali in cui le frequenze sono razionalmente indipendenti, il che risulta in traiettorie quasi-periodiche (ma non periodiche). L'obiettivo è formulato come regolazione frequenza-selettiva: invece di guidare l'errore verso lo zero, il controllore deve eliminare i coefficienti di Fourier–Bohr dell'errore di regolazione a regime alle specifiche frequenze presenti nell'esosistema, limitando esplicitamente l'energia delle componenti di errore residue.

Metodologia
La soluzione proposta integra il principio del modello interno con la sintesi del controllo diretto data-driven, evitando l'identificazione esplicita del sistema.

1. Struttura del Modello Interno: Un modello interno con $p$-copie è incorporato in un controllore dinamico. Questo modello riproduce il modo costante e i modi sinusoidali selezionati corrispondenti alle frequenze note dell'esosistema. Lo stato del controllore $z$ evolve secondo $\dot{z} = \Phi z + \Gamma e$, dove $\Phi$ e $\Gamma$ sono costruiti per incorporare l'insieme di frequenze specifico $\{0, \sigma_1, \dots, \sigma_s\}$.
2. Rappresentazione del Sistema Aumentato: Il sistema (plant) e il modello interno vengono combinati in un sistema non lineare aumentato. La dinamica sconosciuta di questo sistema aumentato è rappresentata direttamente utilizzando dati di errore stato-ingresso misurati offline.
3. Sintesi Data-Driven tramite SDP: Un programma semidefinito (SDP) robusto viene derivato per sintetizzare direttamente dalla matrice di guadagno di feedback $K$ tramite dati rumorosi. Questa formulazione utilizza un vincolo "robusto al rumore" che tiene conto degli errori di approssimazione e del rumore di misura tramite un insieme di disturbi limitato. L'SDP impone una disuguaglianza di dissipazione incrementale, che garantisce che il campo vettoriale in feedback chiuso sia esponenzialmente contrattivo su un insieme operativo prestabilito.
4. Analisi di Stabilità e Regolazione:
   • Teoria della Contrazione: La contrazione esponenziale del sistema a feedback chiuso assicura l'esistenza, l'unicità e l'attrattività esponenziale di una soluzione limitata intera.
   • Quasi-Periodicità: Poiché l'esosignale è quasi-periodico e il sistema è a convergenza input-stato, si dimostra che l'unica traiettoria di regime attrattiva è quasi-periodica.
   • Analisi di Fourier–Bohr: Analizzando la dinamica del modello interno a regime, si dimostra che l'limitazione dello stato del modello interno forza i coefficienti di Fourier–Bohr dell'errore di regolazione alle frequenze incorporate a annullarsi.
   • Limite dell'Energia Residua: Per le componenti spettrali non modellate, un argomento di tipo Parseval stabilisce un limite dell'energia media nel tempo. Tale limite dipende dalla derivata dell'errore e dalla minima grandezza delle frequenze non modellate.

Contributi Chiave

• Formulazione del Problema: Il lavoro formula un problema di regolazione dell'output data-driven frequenza-selettiva per sistemi non lineari sotto esosignali quasi-periodici a spettro finito, caratterizzando la regolazione tramite l'annullamento di specifici coefficienti di Fourier–Bohr piuttosto che tramite la convergenza asintotica esatta.
• Metodo di Sintesi Diretta: Viene sviluppato un metodo di sintesi diretta per un regolatore non lineare basato sul modello interno. Esso costruisce un guadagno di feedback tramite un SDP robusto senza identificare le matrici del sistema o misurare le ampiezze e le fasi dell'esosignale.
• Garanzie Teoriche: Il lavoro fornisce un'analisi completa dello stato stazionario, dimostrando che il sistema a feedback chiuso ammette una traiettoria quasi-periodica unica ed esponenzialmente attrattiva. Dimostra rigorosamente l'eliminazione delle componenti di errore alle frequenze incorporate e fornisce un limite quantitativo sull'energia dell'errore residuo.
• Validazione: L'approccio è validato attraverso simulazioni numeriche ed esperimenti basati sulla fisica in un ambiente gym-pybullet-drones utilizzando un quadrotor con un carico sospeso tramite cavo.

Risultati
Le simulazioni numeriche e fisiche su un quadrotor che trasporta un carico sospeso dimostrano l'efficacia del controllore proposto. In presenza di disturbi oscillatori indotti dal carico (che generano segnali quasi-periodici a causa di condizioni iniziali sconosciute), il controllore proposto riesce a guidare gli errori di altitudine e di angolo di beccheggio verso un piccolo intorno dell'origine.
Esperimenti comparativi mostrano che un controllore data-driven senza il modello interno fallisce nel sopprimere questi disturbi oscillatori, risultando in errori a regime significativi. Al contrario, il controllore proposto basato sul modello interno attenua sostanzialmente tali oscillazioni. I risultati confermano che il controllore elimina le componenti di frequenza dominanti dell'errore mantenendo al contempo oscillazioni residue limitate, coerentemente con i limiti energetici teorici.

Significatività
Il lavoro rivendica la propria significatività colmando il divario tra il controllo data-driven e la regolazione dell'output non lineare per segnali quasi-periodici generici. A differenza dei lavori precedenti, che sono limitati a sistemi lineari, segnali periodici o richiedono una linearizzazione locale, questo approccio gestisce sistemi non lineari con parametri sconosciuti e frequenze razionalmente indipendenti direttamente dai dati. Sfruttando la teoria della contrazione e l'analisi di Fourier–Bohr, offre un'alternativa rigorosa alla risoluzione delle NORE, fornendo garanzie di prestazione esplicite (coefficienti nulli e limiti di energia) in un contesto in cui la regolazione esatta è tipicamente irraggiungibile. Il metodo è particolarmente rilevante per applicazioni come il trasporto aereo con carichi sospesi, dove i disturbi sono intrinsecamente oscillatori e i parametri del modello sono incerti.