Data-Driven Frequency-Selective Output Regulation of Nonlinear Systems under Almost Periodic Exosignals

तकनीकी सारांश: लगभग आवधिक एक्सोसिनल्स (Almost Periodic Exosignals) के तहत गैररेखीय प्रणालियों के लिए डेटा-संचालित आवृत्ति-चयनात्मक आउटपुट विनियमन (Frequency-Selective Output Regulation)

समस्या का निरूपण
यह शोध पत्र लगभग आवधिक एक्सोसिनल्स द्वारा संचालित अज्ञात निरंतर-समय गैररेखीय प्रणालियों के एक वर्ग के लिए आउटपुट विनियमन समस्या को संबोधित करता है। यह माना गया है कि प्लांट डायनेमिक्स को निरंतर अवकलनीय आधार फलनों (basis functions) के एक निर्धारित डिक्शनरी पर रैखिक रूप से पैरामीटराइज्ड किया गया है, फिर भी सभी गुणांक मैट्रिक्स (सिस्टम, इनपुट, आउटपुट और एक्सोसिनल चैनल) अज्ञात हैं। इसके अतिरिक्त, एक्सोसिनल आयाम (amplitudes) और चरण (phases) अप्राप्य (unmeasurable) हैं।

शास्त्रीय गैररेखीय आउटपुट विनियमन में, सटीक स्पर्शोन्मुखी (asymptotic) विनियमन प्राप्त करने के लिए गैररेखीय रेगुलेटर समीकरणों (NOREs) को हल करना आवश्यक होता है, जो कि एक ऐसा कार्य है जो ज्ञात मॉडलों के साथ भी सामान्यतः कठिन है और पहचान (identification) के बिना डेटा-संचालित सेटिंग्स में असंभव है। जबकि मौजूदा डेटा-संचालित विधियाँ अक्सर आवधिक संकेतों या प्रतिबंधात्मक संरचनात्मक धारणाओं पर निर्भर करती हैं, यह कार्य एक्सोसिनल्स के एक व्यापक वर्ग को लक्षित करता है जहाँ आवृत्तियाँ तर्कसंगत रूप से स्वतंत्र (rationally independent) होती हैं, जिसके परिणामस्वरूप लगभग आवधिक (लेकिन आवधिक नहीं) प्रक्षेपवक्र (trajectories) प्राप्त होते हैं। उद्देश्य आवृत्ति-चयनात्मक विनियमन (frequency-selective regulation) के रूप में तैयार किया गया है: त्रुटि को शून्य तक ले जाने के बजाय, नियंत्रक को विशिष्ट आवृत्तियों पर स्थित स्थिर-अवस्था विनियमन त्रुटि के फूरियर-बोहर (Fourier–Bohr) गुणांकों को समाप्त करना चाहिए, जबकि अवशिष्ट त्रुटि घटकों की ऊर्जा को स्पष्ट रूप से सीमित करना चाहिए।

कार्यप्रणाली
प्रस्तावित समाधान आंतरिक मॉडल सिद्धांत (internal model principle) को प्रत्यक्ष डेटा-संचालित नियंत्रण संश्लेषण के साथ एकीकृत करता है, जिससे स्पष्ट सिस्टम पहचान (identification) से बचा जा सके।

1. आंतरिक मॉडल संरचना: एक $p$-प्रतिलिपि (copy) आंतरिक मॉडल को एक डायनेमिक कंट्रोलर के भीतर एम्बेड किया गया है। यह मॉडल ज्ञात एक्सोसस्टम आवृत्तियों के अनुरूप स्थिर मोड और चयनित साइनुसोइडल मोड को पुनरुत्पादित करता है। कंट्रोलर अवस्था $z$ का विकास $\dot{z} = \Phi z + \Gamma e$ के अनुसार होता है, जहाँ $\Phi$ और $\Gamma$ को विशिष्ट आवृत्ति सेट $\{0, \sigma_1, \dots, \sigma_s\}$ को एम्बेड करने के लिए निर्मित किया गया है।
2. संवर्धित प्रणाली प्रतिनिधित्व (Augmented System Representation): प्लांट और आंतरिक मॉडल को एक संवर्धित गैररेखीय प्रणाली में संयोजित किया जाता है। इस संवर्धित प्रणाली के अज्ञात डायनेमिक्स को ऑफलाइन मापे गए इनपुट-स्टेट-त्रुटि डेटा का उपयोग करके सीधे दर्शाया जाता है।
3. SDP के माध्यम से डेटा-संचालक संश्लेषण: फीडबैक गेन मैट्रिक्स $K$ को सीधे शोर वाले डेटा से संश्लेषित करने के लिए एक सुदृढ़ अर्ध-निश्चित प्रोग्राम (Robust Semidefinite Program - SDP) व्युत्पन्न किया गया है। यह फॉर्मूलेशन एक "शोर-रोधी" (noise-robust) बाधा का उपयोग करता है जो एक सीमित विक्षोभ सेट (bounded disturbance set) के माध्यम से सन्निकटन त्रुटियों और मापन शोर को ध्यान में रखता है। SDP एक वृद्धिशील अपव्यय असमानता (incremental dissipation inequality) को लागू करता है, जो गारंटी देता है कि क्लोज्ड-लूप वेक्टर फील्ड एक निर्धारित ऑपरेटिंग सेट पर घातांकीय रूप से संकुचनशील (exponentially contractive) है।
4. स्थिरता और विनियमन विश्लेषण:
   • संकुचन सिद्धांत (Contraction Theory): क्लोज्ड-लूप सिस्टम का घातांकीय संकुचन, एक सीमित संपूर्ण समाधान के अस्तित्व, विशिष्टता और घातांकीय आकर्षण (exponential attractivity) को सुनिश्चित करता है।
   • लगभग आवधिकता (Almost Periodicity): चूंकि एक्सोसिनल लगभग आवधिक है और सिस्टम इनपुट-टू-स्टेट कन्वर्जेंट है, इसलिए यह सिद्ध किया गया है कि अद्वितीय आकर्षक स्थिर-अवस्था प्रक्षेपवक्र लगभग आवधिक है।
   • फूरियर-बोहर विश्लेषण: आंतरिक मॉडल की स्थिर-अवस्था गतिशीलता का विश्लेषण करके, यह दिखाया गया है कि एम्बेडेड आवृत्तियों पर विनियमन त्रुटि के फूरियर-बोहर गुणांक शून्य हो जाते हैं।
   • **अवशिष्ट ऊर्जा सीमा (Residual Energy Bound): Underspecified spectral घटकों के लिए, एक पार्सवल-प्रकार (Parseval-type) का तर्क एक समय-औसत ऊर्जा सीमा स्थापित करता है। यह सीमा त्रुटि के व्युत्पन्न और अनमॉडल किए गए आवृत्तियों के न्यूनतम परिमाण पर निर्भर करती है।

प्रमुख योगदान

• समस्या का निरूपण: यह शोध पत्र सीमित-स्पेक्ट्रम वाले लगभग आवधिक एक्सोसिनल्स के तहत गैररेखीय प्रणालियों के लिए एक आवृत्ति-चयनात्मक डेटा-संचालित आउटपुट विनियमन समस्या को तैयार करता है, जो सटीक स्पर्शोन्मुखी अभिसरण के बजाय विशिष्ट फूरियर-बोहर गुणांकों के शून्य होने के माध्यम से विनियमन को परिभाषित करता है।
• प्रत्यक्ष संश्लेषण विधि: एक आंतरिक-मॉडल-आधारित गैररेखीय रेगुलेटर के लिए एक प्रत्यक्ष संश्लेषण विधि विकसित की गई है। यह सिस्टम मैट्रिसेस की पहचान किए बिना या एक्सोसिनल आयामों/चरणों को मापे बिना, एक रोबस्ट SDP के माध्यम से फीडबैक गेन का निर्माण करती है।
• सैद्धांतिक गारंटी: यह कार्य एक पूर्ण स्थिर-अवस्था विश्लेषण प्रदान करता है जो सिद्ध करता है कि क्लोज्ड-लूप सिस्टम एक अद्वितीय, घातांकीय रूप से आकर्षक, लगभग आवधिक प्रक्षेपवक्र को स्वीकार करता है। यह एम्बेडेड-फ्रीक्वेंसी त्रुटि घटकों के उन्मूलन को और अवशिष्ट त्रुटि ऊर्जा के लिए एक मात्रात्मक सीमा प्रदान करने को कठोरता से प्रदर्शित करता है।
• सत्यापन: दृष्टिकोण को एक जिम-पायबुलेट-ड्रोन (gym-pybullet-drones) वातावरण में एक केबल-लंबित पेलोड वाले क्वाड्रोटर के माध्यम से संख्यात्मक सिमुलेशन और भौतिक-आधारित प्रयोगों द्वारा मान्य किया गया है।

परिणाम
एक निलंबित पेलोड वाले क्वाड्रोटर पर संख्यात्मक और भौतिक-आधारित सिमुलेशन प्रस्तावित नियंत्रक की प्रभावशीलता को प्रदर्शित करते हैं। पेलोड-प्रेरित दोलनी विक्षोभों (जो अज्ञात प्रारंभिक स्थितियों के कारण लगभग आवधिक संकेत उत्पन्न करते हैं) की उपस्थिति में, प्रस्तावित नियंत्रक ऊंचाई और पिच कोण की त्रुटियों को मूल बिंदु (origin) के एक छोटे पड़ोस तक सफलतापूर्वक ले जाता है।
तुलनात्मक प्रयोग दिखाते हैं कि आंतरिक मॉडल के बिना एक डेटा-संचालित नियंत्रक इन दोलनी विक्षोभों को दबाने में विफल रहता है, जिसके परिणामस्वरूप महत्वपूर्ण स्थिर-अवस्था त्रुटियां होती हैं। इसके विपरीत, प्रस्तावित आंतरिक-मॉडल-आधारित नियंत्रक इन दोलनों को काफी कम कर देता है। परिणाम पुष्टि करते हैं कि नियंत्रक त्रुटि के प्रमुख आवृत्ति घटकों को समाप्त करता है जबकि सैद्धांतिक ऊर्जा सीमाओं के अनुरूप सीमित अवशिष्ट दोलन बनाए रखता है।

महत्व
यह शोध पत्र सामान्य लगभग आवधिक संकेतों के लिए डेटा-संचालित नियंत्रण और गैररेखीय आउटपुट विनियमन के बीच की खाई को पाटकर अपनी महत्ता का दावा करता है। अन्य कार्यों के विपरीत जो रैखिक प्रणालियों, आवधिक संकेतों तक सीमित हैं या जिनके लिए स्थानीय रैखिकीकरण (local linearization) की आवश्यकता होती है, यह दृष्टिकोण डेटा से सीधे अज्ञात मापदंडों और तर्कसंगत रूप से स्वतंत्र आवृत्तियों वाली गैररेखीय प्रणालियों को संभालता है। संकुचन सिद्धांत और फूरियर-बोहर विश्लेषण का लाभ उठाकर, यह NOREs को हल करने का एक कठोर विकल्प प्रदान करता है, जो सटीक विनियमन (जहाँ यह आमतौर पर अप्राप्य होता है) के बजाय स्पष्ट प्रदर्शन गारंटी (शून्य गुणांक और ऊर्जा सीमाएं) प्रदान करता है। यह विधि हवाई परिवहन जैसे अनुप्रयोगों के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक है, जहाँ विक्षोभ स्वाभाविक रूप से दोलनी होते हैं और मॉडल पैरामीटर अनिश्चित होते हैं।