Data-Driven Frequency-Selective Output Regulation of Nonlinear Systems under Almost Periodic Exosignals

技術要約：非線形システムにおける、準周期的な外生信号に対するデータ駆動型周波数選択的出力レギュレーション

問題定式化
本論文は、準周期的な外生信号によって駆動される、未知の連続時間非線形システムの一群に対する出力レギュレーション問題を扱う。プラントのダイナミクスは、規定された連続微分可能な基底関数の辞書上で線形パラメータ化されていると仮定されるが、すべての係数行列（システム、入力、出力、および外生信号チャネル）は未知である。さらに、外生信号の振幅および位相も測定不可能である。

古典的な非線形出力レギュレーションにおいて、厳密な漸近的レギュレーションを達成するには非線形レギュレータ方程式（NORE）を解く必要があるが、これは既知のモデルであっても一般に困難であり、識別を行わないデータ駆動型の設定では不可能である。既存のデータ駆動型手法の多くは、周期的な信号や制限的な構造的仮定に依存しているが、本研究は、周波数が有理的に独立しており、結果として（周期的ではなく）準周期的（almost periodic）な軌道を生じる、より広範なクラスの外生信号を対象としている。目的は周波数選択的レギュレーションとして定式化される。すなわち、誤差をゼロに追い込むのではなく、制御器が、外生系に組み込まれた特定の周波数における定常状態のレギュレーション誤差のフーリエ・ボア（Fourier–Bohr）係数を除去し、同時に残留誤差成分のエネルギーを明示的に拘束することである。

手法
提案手法は、内部モデル原理と直接的なデータ駆動型制御合成を統合し、明示的なシステム識別を回避する。

1. 内部モデル構造: $p$ 個のコピーからなる内部モデルが動的制御器内に組み込まれる。このモデルは、定数モードおよび選択された正弦波モード（既知の外生系周波数に対応するもの）を再現する。制御器の状態 $z$ は、$\dot{z} = \Phi z + \Gamma e$ に従って進化する。ここで $\Phi$ と $\Gamma$ は、特定の周波数集合 $\{0, \sigma_1, \dots, \sigma_s\}$ を埋め込むように構成される。
2. 拡張システム表現: プラントと内部モデルは、拡張非線形システムへと結合される。この拡張システムの未知のダイナミクスは、オフラインで測定された入力・状態・誤差データを用いて直接的に表現される。
3. SDPによるデータ駆動型合成: 測定データからフィードバックゲイン行列 $K$ を直接合成するための、ロバストな半正定値計画問題（SDP）が導出される。この定式化は、近似誤差と測定ノイズを有界な摂動集合を通じて考慮する「ノイズにロバストな」制約を利用する。SDPは、閉ループのベクトル場が規定された動作集合上で**指数関数的に収縮（exponentially contractive）**することを保証する、増分散逸不等式を強制する。
4. 安定性とレギュレーションの解析:
   • 収縮理論（Contraction Theory）: 閉ループシステムの指数関数的収縮は、有界な全解の存在、一意性、および指数関数的な吸引性を保証する。
   • 準周期性（Almost Periodicity）: 外生信号は準周期的であり、システムが入力状態収束的であるため、一意の吸引的な定常状態軌道は準周期的であることが証明される。
   • フーリエ・ボア解析: 内部モデルの定常状態ダイナミクスを解析することにより、内部モデル状態の有界性が、埋め込まれた周波数におけるレギュレーション誤差のフーリエ・ボア係数を消失させることを示す。
   • 残留エネルギー界: モデル化されていないスペクトル成分に対して、パーセバルの定理型の議論により、時間平均されたエネルギー界が確立される。この界は、誤差の微分と、モデル化されていない周波数の最小の大きさの関数である。

主な貢献

• 問題定式化: 有限スペクトラムの準周期的外生信号下における、非線形システムの周波数選択的データ駆動型出力レギュレーション問題を定式化し、厳密な漸近収束ではなく、特定のフーリエ・ボア係数の消失によってレギュレーションを特徴づけた。
• 直接合成手法: 内部モデルに基づく非線形レギュレータのための直接合成手法を開発した。これは、システム行列を識別したり、外生信号の振幅や位相を測定したりすることなく、ロバストなSDPを介してフィードバックゲインを構築する。
• 理論的保証: 閉ループシステムが、一意かつ指数関数的に吸引的な準周期的軌道を許容することを証明する完全な定常状態解析を提供する。これは、埋め込まれた周波数の誤差成分の除去と、残留誤差エネルギーの定量的界の両方を厳密に実証する。
• 検証: 提案手法は、gym-pybullet-drones環境における、ケーブルで吊り下げられたペイロードを持つクアッドローターを用いた数値シミュレーションおよび物理ベースの実験を通じて検証されている。

結果
ペイロードを吊り下げたクアッドローターを用いた数値および物理ベースのシミュレーションは、提案された制御器の有効性を実証している。ペイロードに起因する振動的な摂動（未知の初期条件により準周期的信号を生成する）が存在する場合でも、提案された制御器は高度およびピッチ角の誤差を原点の近傍へと正常に駆動する。
比較実験では、内部モデルを持たないデータ駆動型制御器は、これらの振動的摂動を抑制できず、顕著な定常偏差が生じることが示された。対照的に、提案された内部モデルベースの制御器は、これらの振動を大幅に減衰させる。結果は、提案手法が誤差の支配的な周波数成分を除去しつつ、理論的なエネルギー界と一致する有界な残留振動を維持することを裏付けている。

意義
本論文は、一般的な準周期的信号に対するデータ駆動型制御と非線形出力レギュレーションの間のギャップを埋めることで、その意義を主張している。線形システム、周期信号、または局所線形化を必要とする先行研究とは異なり、本アプローチは、未知のパラメータを持つ非線形システムをデータから直接扱う。収縮理論とフーリエ・ボア解析を活用することで、NOREを解くための厳密な代替手段を提供し、（係数の消失とエネルギー界という）明示的な性能保証を提供する。この手法は、吊り下げられた荷重による振動的な摂動が本質的であり、かつモデルパラメータが不確実である航空輸送などのアプリケーションにおいて特に重要である。