Data-Driven Frequency-Selective Output Regulation of Nonlinear Systems under Almost Periodic Exosignals

기술 요약: 준주기적 외생 신호 하에서의 비선형 시스템에 대한 데이터 기반 주파수 선택적 출력 조절

문제 정식화
본 논문은 준주기적(almost periodic) 외생 신호에 의해 구동되는 미지의 연속 시간 비선형 시스템 클래스의 출력 조절 문제를 다룬다. 플랜트 역학은 주어진 기저 함수 사전(dictionary)에 대해 선형적으로 매개변수화된다고 가정되나, 모든 계수 행렬(시스템, 입력, 출력 및 외생 신호 채널)은 미지수이다. 또한, 외생 신호의 진폭과 위상은 측정 불가능하다.

고전적인 비선형 출력 조절에서 정확한 점근적 조절을 달성하려면 비선형 조절 방정식(NOREs)을 풀어야 하는데, 이는 모델이 알려진 경우에도 일반적으로 다루기 어렵고, 식별 과정이 없는 데이터 기반 환경에서는 불가능하다. 기존의 데이터 기반 방법들은 주로 주기적 신호나 제한적인 구조적 가정에 의존하는 반면, 본 연구는 주파수들이 유리적으로 독립되어 있어 준주기적(주기적이지는 않지만) 궤적을 생성하는 더 넓은 범위의 외생 신호를 대상으로 한다. 목표는 **주파수 선택적 조절(frequency-selective regulation)**로 정의된다. 즉, 제어기는 오차를 0으로 만드는 대신, 외생계 시스템에 내재된 특정 주파수에서의 정상 상태 조절 오차의 푸리에-보어(Fourier–Bohr) 계수를 제거해야 하며, 동시에 잔여 오차 성분의 에너지를 명시적으로 제한해야 한다.

방법론
제안된 솔루션은 내부 모델 원리와 직접적인 데이터 기반 제어 합성을 통합하며, 명시적인 시스템 식별을 피한다.

1. 내부 모델 구조: $p$-복사(p-copy) 내부 모델이 동적 제어기 내에 삽ert된다. 이 모델은 상수 모드와 선택된 사인파 모드(외생계 주파수에 대응하는)를 재현한다. 제어기 상태 $z$는 $\dot{z} = \Phi z + \Gamma e$에 따라 진화하며, 여기서 $\Phi$와 $\Gamma$는 특정 주파수 집합 $\{0, \sigma_1, \dots, \sigma_s\}$를 임베딩하도록 구성된다.
2. 증강 시스템 표현: 플랜트와 내부 모델은 하나의 증강 비선형 시스템으로 결합된다. 이 증강 시스템의 미지 역학은 오프라인으로 측정된 입력-상태-오차 데이터를 사용하여 직접적으로 표현된다.
3. SDP를 통한 데이터 기반 합성: 피드백 이득 행렬 $K$를 측정된 노이즈 데이터로부터 직접 합성하기 위해 강건한 준정부호 계획법(SDP)이 유도된다. 이 정식화는 근사 오차와 측정 노이즈를 유계된 교란 집합을 통해 고려하는 "노이즈-강건한(noise-robust)" 제약 조건을 활용한다. SDP는 증분 소산 부등식(incremental dissipation inequality)을 강제하여, 폐루프 벡터장이 규정된 동작 집합 상에서 **지수적으로 수축(exponentially contractive)**함을 보장한다.
4. 안정성 및 조절 분석:
   • 수축 이론(Contraction Theory): 폐루프 시스템의 지수적 수축은 유계인 전체 해의 존재성, 유일성 및 지수적 인력성을 보장한다.
   • 준주기성(Almost Periodicity): 외생 신호는 준주기적이고 시스템은 입력-상태 수렴(input-to-state convergent)하므로, 유일한 인력 궤적이 준주기적임을 증명한다.
   • 푸리에-보어 분석: 내부 모델의 정상 상태 역학을 분석함으로써, 내부 모델 상태의 유계성이 임베딩된 주파수에서의 조절 오차의 푸리에-보어 계수를 소멸시킴을 보여준다.
   • 잔여 에너지 경계: 모델링되지 않은 스펙트럼 성분에 대해, 파스발(Parseval) 유형의 논증을 통해 시간 평균 에너지 경계를 설정한다. 이 경계는 오차의 미분값과 모델링되지 않은 주파수들의 최소 크기에 의존한다.

주요 기여

• 문제 정식화: 유한 스펙트럼을 가진 준주기적 외생 신호 하에서의 비선형 시스템을 위한 주파수 선택적 데이터 기반 출력 조절 문제를 정식화하였으며, 정확한 점근적 수렴 대신 특정 푸리에-보어 계수의 소멸을 통해 조절을 규정하였다.
• 직접 합성 방법: 내부 모델 기반 비선형 조절기를 위한 직접 합성 방법을 개발하였다. 이는 시스템 행렬을 식별하거나 외생 신호의 진폭/위상을 측정하지 않고도 강건한 SDP를 통해 피드백 이득을 구성한다.
• 이론적 보장: 폐루프 시스템이 유일하고 지수적으로 인력을 갖는 준주기적 궤적을 허용함을 입증하는 완전한 정상 상태 분석을 제공한다. 임베딩된 주파수의 오차 성분을 제거하고 잔여 오차 에너지에 대한 정량적 경계를 엄격하게 증명한다.
• 검증: 제안된 제어기는 gym-pybullet-drones 환경 내의 케이블에 매달린 페이로드를 가진 쿼드로터를 통해 수치 시뮬레이션 및 물리 기반 실험으로 검증되었다.

결과
페이로드를 운반하는 쿼드로토에 대한 수치 및 물리 기반 시뮬레이션은 제안된 제어기의 효과를 입증한다. 페이로드로 인한 진동 교란(알려지지 않은 초기 조건으로 인해 준주기적 신호를 생성함)이 존재하는 상황에서, 제안된 제어기는 고도 및 피치 각도 오차를 원점 근처의 작은 영역으로 성공적으로 유도한다.
비교 실험 결과, 내부 모델이 없는 데이터 기반 제어기는 이러한 진동 교란을 억제하는 데 실패하여 상당한 정상 상태 오차를 발생시킨다. 반면, 제안된 내부 모델 기반 제어기는 이러한 진동을 실질적으로 감쇄시킨다. 결과는 제안된 제어기가 오차의 지배적인 주파수 성분을 제거하는 동시에, 이론적 에너지 경계와 일치하는 유계된 잔여 진동을 유지함을 확인시켜 준다.

의의
본 논문은 일반적인 준주기적 신호에 대한 데이터 기반 제어와 비선형 출력 조절 사이의 간극을 메움으로써 그 의의를 갖는다. 선형 시스템, 주기적 신호 또는 국소 선형화가 필요한 기존 연구들과 달리, 본 접근 방식은 미지의 파라미터와 유리적으로 독립적인 주파수를 가진 비선형 시스템을 데이터로부터 직접 다룬다. 수축 이론과 푸리에-보어 분석을 활용함으로써, NORE를 해결하는 것에 대한 엄격한 대안을 제공하며(소멸하는 계수 및 에너지 경계라는 명시적 성능 보장), 이는 정확한 조절이 일반적으로 달성 불가능한 환경에서 매우 유용하다. 이 방법은 부하가 매달린 항공 운송과 같이 교란이 본질적으로 진동적이고 모델 파라미터가 불확실한 응용 분야에 특히 적합하다.