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Influence of Kelvin-Voigt Viscoelasticity on Transient Pore Pressure Response of Cylindrical Cavities in Unsaturated Soil

Cet article étend les solutions analytiques pour les cavités cylindriques dans les sols non saturés en incorporant un squelette viscoélastique de Kelvin-Voigt, révélant que si le déplacement et la contrainte restent largement inchangés, la pression interstitielle est significativement atténuée — particulièrement sous chargement pulsé — en raison de la viscoélasticité de volume agissant comme un filtre passe-bas sur l'onde de compression rapide.

Auteurs originaux : Xiong Hao

Publié 2026-10-13

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Xiong Hao

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Le sol sous nos pieds est rarement un bloc simple et solide. Dans de nombreux endroits, particulièrement près de la surface, le sol est un mélange complexe de grains solides, d'eau et d'air piégés dans les minuscules espaces qui les séparent. Lorsque ce type de terre est perturbé par un événement soudain — comme un pieu enfoncé dans le sol, une explosion souterraine ou l'excavation rapide d'un tunnel — les forces se propagent à travers le sol d'une manière difficile à prédire. Les ingénieurs se sont longtemps appuyés sur des modèles mathématiques qui traitent le squelette solide du sol comme étant parfaitement élastique, ce qui signifie qu'il reprend sa forme instantanément et de manière prévisible après avoir été comprimé, tout comme un ressort rigide. Cependant, les sols réels, en particulier les argiles tendres et les silts organiques, se comportent différemment. Ils sont « viscoélastiques », une propriété où le matériau résiste au mouvement non seulement par sa rigidité, mais aussi par son frottement interne, ce qui fait qu'il réagit plus lentement et absorbe l'énergie au fil du temps. Comprendre comment ce comportement dépendant du temps modifie la pression de l'eau et de l'air piégés à l'intérieur du sol est crucial pour concevoir des structures souterraines sûres capables de résister à des chocs soudains.

Un chercheur de l'Université de Taizhou a récemment affiné notre compréhension de ce phénomène en mettant à jour les modèles standards pour inclure ce comportement visqueux. L'étude se concentre sur ce qui se passe à l'intérieur d'un trou cylindrique dans le sol lorsqu'il est soumis à une charge radiale soudaine, simulant des conditions telles qu'une explosion interne ou une excavation rapide. En appliquant un cadre mathématique spécifique connu sous le nom de modèle de Kelvin-Voigt, qui tient compte de la vitesse à laquelle le sol se déforme, le chercheur a pu calculer comment la pression des fluides poreux change au fil du temps. Ce travail s'appuie sur des solutions existantes pour le sol élastique mais introduit une correction cruciale : la réalisation que le squelette du sol ne réagit pas instantanément. Au lieu de cela, le frottement interne au sein des grains de sol agit comme un amortisseur, ralentissant la transmission de la force et modifiant les ondes de pression qui voyagent à travers le fluide et le gaz présents dans les pores.

La découverte la plus frappante de cette recherche est que, bien que le mouvement du sol lui-même et la contrainte sur les grains solides restent presque exactement les mêmes que ceux prédits par les modèles plus anciens et plus simples, la pression de l'eau et de l'air à l'intérieur du sol chute de manière significative. Lorsque le sol est modélisé comme viscoélastique, la pression de pointe générée par une charge soudaine peut être réduite de pas plus de quarante-trois pour cent par rapport à la prédiction élastique, selon la rapidité avec laquelle la charge est appliquée. Si la force est appliquée progressivement, comme une fonction échelon, la réduction est plus faible, environ deux pour cent. Mais si la charge est appliquée sous la forme d'une impulsion triangulaire abrupte, la réduction est spectaculaire. Cela se produit parce que la nature visqueuse du squelette du sol résiste au pressage rapide qui génère une pression de fluide élevée. Le cadre solide absorbe une partie de l'énergie par le biais du frottement interne avant qu'elle ne puisse être transférée aux fluides, agissant ainsi comme un filtre qui atténue le pic de pression.

L'étude révèle également que tous les types de rigidité du sol ne contribuent pas de la même manière à cet effet. La réduction de la pression est principalement pilotée par la résistance du sol aux changements de volume, appelée viscosité volumique. La résistance aux changements de forme, ou viscosité de cisaillement, joue un rôle négligeable car la pression dans les pores est générée par le fait que le sol est compressé, et non par le fait qu'il soit tordu ou cisaillé. Cette distinction est vitale pour les ingénieurs, car elle signifie qu'ils n'ont besoin de se concentrer que sur la mesure des propriétés visqueuses liées au volume du sol pour prédire avec précision la pression interstitielle, plutôt que de caractériser chaque mode possible de déformation du sol. De plus, l'effet est plus prononcé dans les sols rigides et hautement perméables, permettant au fluide de circuler librement, et dans des conditions où le sol est modérément ou fortement saturé d'eau. Dans les argiles tendres à faible perméabilité, la correction visqueuse est minimale, ce qui suggère que les anciens modèles élastiques sont encore assez précis pour ces matériaux spécifiques.

Pour vérifier ces conclusions, le chercheur a utilisé des techniques numériques avancées pour résoudre les équations complexes régissant le comportement du sol, garantissant que les résultats soient précis à un degré très élevé. L'analyse a confirmé que l'onde primaire transportant l'énergie à travers le sol — l'onde de compression rapide — est celle qui est la plus affectée par la viscosité du sol, tandis que les ondes plus lentes et diffusives restent largement inchangées. Cet amortissement sélectif explique pourquoi différents types de charges produisent différents niveaux de réduction de pression ; les charges ayant des composantes de haute fréquence, telles que les explosions, sont filtrées plus efficacement que les charges plus lentes. L'étude conclut que si les modèles élastiques traditionnels sont fiables pour prédire l'ampleur du mouvement du sol ou la contrainte que subit la structure du sol, ils ont tendance à surestimer les pressions de fluides dangereuses dans un sol viscoélastique. Pour les projets impliquant des événements soudains à haute énergie dans des silts sableux ou des sols similaires, ignorer cet amortissement visqueux pourrait conduire à des conceptions excessivement conservatrices, tandis que la prise en compte de celui-ci offre une image plus réaliste des forces en présence.

Résumé technique : Influence de la viscoélasticité de Kelvin-Voigt sur la réponse transitoire de la pression interstitielle des cavités cylindriques dans les sols non saturés

Énoncé du problème
Les solutions analytiques existantes pour la réponse dynamique transitoire des cavités cylindriques dans les sols non saturés reposent sur l'hypothure d'un squelette solide élastique linéaire. Cependant, les milieux poreux naturels tels que les argiles tendres, les limons organiques et la tourbe présentent une déformation dépendante de la vitesse que les modèles élastiques ne peuvent capturer. Bien que des études antérieures aient abordé la poroélasticité non saturée (par exemple, Li et al. [27]) et la propagation d'ondes viscoélastiques dans des configurations plus simples (par exemple, Guo et al. [30]), une solution analytique complète pour la réponse transitoire d'une cavité cylindrique dans un milieu non saturé triphasique (solide-fluide-gaz) doté d'un squelette viscoélastique faisait défaut. Cet article comble cette lacune en étendant la solution de base élastique pour incorporer la viscoélasticité de Kelvin-Voigt (KV), en étudiant spécifelsement comment la viscosité du squelette influence la pression interstitielle, le déplacement et la contrainte sous chargement transitoire.

Méthodologie
L'étude emploie une approche analytique basée sur le cadre suivant :

Équations de conservation : Le problème est formulé à l'aide de la théorie du continuum pour les milieux poreux triphasiques (Wei et Muraleetharan [15]), incorporant la courbe caractéristique eau-sol de Van Genuchten. Le système est décrit en termes adimensionnels via la formulation $u_s$ - $w_f$ - $w_a$ (déplacements relatifs du solide, du fluide et du gaz).
Extension viscoélastique : Le modèle constitutif de Kelvin-Voigt est appliqué au squelette du sol. En utilisant le principe de correspondance élastique-viscoélastique dans le domaine de Laplace, les modules élastiques sont substitués par des modules complexes dépendant de la fréquence : $\lambda^*(s) = \lambda^*(1 + t^*_r s)$ et $\mu^*(s) = 1 + t^*_r s$ , où $t^*_r$ est le temps de relaxation adimensionnel.
Structure de la solution : Le principe de correspondance permet de conserver la structure de la solution élastique originale. La décomposition de Helmholtz réduit le système couplé en équations de type Helmholtz découplées. La solution générale est exprimée à l'aide de fonctions de Bessel modifiées ( $K_n$ ) pour les trois modes d'ondes de compression (P1, P2, P3).
Mise en œuvre numérique : Le problème de valeur aux limites (conditions perméables et imperméables) est résolu dans le domaine de Laplace. Les solutions dans le domaine temporel sont obtenues via l'algorithme de transformée de Laplace inverse numérique de Den Iseger, qui utilise un contour vertical dans le plan complexe et la quadrature de Gauss. Cette méthode a été choisie par rapport à l'algorithme de Stehfest (utilisé dans les études élastiques antérieures) car les coefficients viscoélastiques sont des valeurs complexes.
Vérification : La solution est vérifiée par rapport à la limite élastique ( $t^*_r = 0$ ), à la limite saturée ( $S_r \to 1$ ) et par des analyses de dispersion indépendantes dans le domaine fréquentiel (Guo et al. [30]).

Contributions clés et résultats
L'article fournit une solution analytique de référence et quantifie les effets spécifiques de la viscoélasticité du squelette :

Atténuation de la pression interstitielle : La conclusion la plus significative est que la viscoélasticité du squelette atténue fortement la pression interstitielle. Selon le type de chargement et le temps de relaxation, la pression interstitielle de pointe est réduite de 2 % (chargement par échelon) à 43 % (impulsion triangulaire) pour $t^*_r = 2,0$ .
Invariance du déplacement et de la contrainte : Contrairement à la pression interstitielle, le déplacement radial et la contrainte circonférentielle restent presque inchangés par la viscoélasticité du squelette. Le changement relatif est inférieur à $10^{-6}$ , indiquant que les solutions élastiques restent précises pour prédire les champs de contrainte totale et de déplacement, même dans des terrains viscoélastiques.
Contribution Bulk vs Cisaillement : Une analyse de décomposition révèle que l'atténuation de la pression interstitielle est principalement pilotée par la viscoélasticité volumique (bulk, $\lambda$ ). La viscoélasticité de cisaillement (déviatorique, $\mu$ ) contribue de manière négligeable car la génération de pression interstitielle est couplée à la déformation volumique, et non à la déformation déviatorique.
Mécanisme dans le domaine fréquentiel : L'effet viscoélastique agit comme un filtre passe-bas. La fonction de transfert $H(s)$ , représentant le rapport entre la pression interstitielle viscoélastique et la pression élastique, diminue de manière monotone avec la fréquence. Cela explique pourquoi les charges transitoires à haute fréquence (comme les impulsions triangulaires ou les explosions) subissent une plus grande atténuation que les charges soutenues à basse fréquence (fonctions échelons).
Sélectivité des modes d'ondes : L'analyse des modes d'ondes confirme que l'onde de compression rapide P1 (dominée par le squelette) est la cible principale de l'amortissement viscoélastique, sa longueur d'atténuation diminuant d'un facteur 10 à 30. Les modes de diffusion lents P2 et P3 restent largement inchangés car ils sont régis par les coefficients de transport plutôt que par les modules du squelette.
Sensibilité des paramètres : L'ampleur de la correction viscoélastique est la plus élevée dans les sols rigides ( $\lambda^*$ élevé), hautement perméables ( $b^*_f$ faible) et modérément à hautement saturés ( $S_r > 0,6$ ). Dans les argiles tendres et à faible perméabilité, la correction est minimale (< 2 %).

Signification et affirmations
L'article affirme que sa principale importance réside dans la fourniture d'une référence analytique rigoureuse pour la dynamique poroviscoélastique et dans la correction de la surestimation de la pression interstitielle inhérente aux modèles élastiques pour les terrains viscoélastiques.

Implication pratique : Les solutions élastiques sont non conservatrices pour la prédiction de la pression interstitielle dans les sols viscoélastiques, particulièrement sous un chargement transitoire de type explosion. Le degré de surestimation peut être substantiel (jusqu'à 43 %), tandis que les prédictions pour le déplacement et la contrainte totale restent fiables.
Efficacité méthodologique : L'étude démontre que l'extension des solutions élastiques à la viscoélasticité ne nécessite pas de redériver le problème complexe de valeur aux limites ; cela peut être réalisé par une substitution algébrique des paramètres dans le domaine de Laplace.
Orientation expérimentale : Les résultats suggèrent que pour l'estimation de la pression interstitielle, la caractérisation expérimentale des paramètres de viscoélasticité volumique est suffisante, car la viscosité de cisaillement a un impact négligeable sur la réponse de la pression interstitielle.

L'étude conclut que bien que le modèle KV capture le durcissement dépendant de la vitesse, les travaux futurs pourraient étendre cela au modèle de solide linéaire standard ou à des modèles de dérivées fractionnaires pour capturer la relaxation des contraintes, et pourraient intégrer les effets de durcissement des revêtements de tunnels élastiques.

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