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Criticality of the viscous to inertial transition near jamming in non-Brownian suspensions

डिस्क्रीट एलीमेंट मेथड सिमुलेशन का उपयोग करते हुए, यह अध्ययन प्रदर्शित करता है कि जैमिंग के निकट घने घर्षणहीन नॉन-ब्राउनियन सस्पेंशन में विस्कस-टू-इनर्शियल शियर थिकनिंग ट्रांज़िशन एक डाइवर्जिंग माइक्रोस्ट्रक्चरल लेंथ स्केल द्वारा नियंत्रित होता है, जो एक विशिष्ट ट्रांज़िशन शियर रेट को वॉल्यूम फ्रैक्शन के जैमिंग लिमिट के करीब पहुँचने पर शून्य कर देता है।

मूल लेखक: Nishanth Murugan, Donald Koch, Sarah Hormozi

प्रकाशित 2026-07-16

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Nishanth Murugan, Donald Koch, Sarah Hormozi

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक ऐसी दुनिया की कल्पना करें जहाँ चीजें कितनी तेज़ी से धकेली जाती हैं, इसके आधार पर उनके बहने के नियम बदल जाते हैं। यह फ्लूइड डायनामिक्स (द्रव गतिज विज्ञान) का एक दिलचस्प क्षेत्र है, जो विशेष रूप से "सस्पेंशन" (suspensions) पर ध्यान केंद्रित करता है—ऐसे मिश्रण जिनमें सूक्ष्म ठोस कण किसी तरल में तैर रहे होते हैं, जैसे पानी में रेत या दूध में चॉकलेट चिप्स। आमतौर पर, हम तरल पदार्थों को या तो पतला (जैसे पानी) या गाढ़ा (जैसे शहद) मानते हैं, लेकिन ये कणों से भरे मिश्रण पेचीदा हो सकते हैं। कभी-कभी, यदि आप उन्हें धीरे-धीरे हिलाते हैं, तो वे एक सामान्य तरल की तरह व्यवहार करते हैं। लेकिन यदि आप उन्हें तेज़ी से हिलाते हैं, तो वे अचानक सख्त हो सकते हैं, लगभग एक ठोस की तरह। इस घटना को "शियर थिकनिंग" (shear thickening) कहा जाता है। वैज्ञानिक यह समझने के लिए जुनूनी हैं कि ठीक कब और क्यों यह बदलाव होता है क्योंकि यह सीमेंट या सिरेमिक को प्रोसेस करने से लेकर मडस्लाइड (कीचड़ के बहाव) और हिमस्खलन जैसी खतरनाक प्राकृतिक घटनाओं की भविष्यवाणी करने तक सब कुछ प्रभावित करता है। सबसे बड़ा रहस्य यह रहा है कि: वह सटीक "स्पीड लिमिट" क्या है जहाँ तरल तय करता है कि उसे पतला रहना छोड़ देना चाहिए और सख्त होना शुरू कर देना चाहिए? क्या यह एक निश्चित संख्या है, या यह इस बात पर निर्भर करता है कि कण कितने घने भरे हुए हैं?

इस अध्ययन में, कॉर्नेल यूनिवर्सिटी के शोधकर्ताओं निशांत मुरगन, डोनाल्ड कोच और सारा हार्मोनज़ी ने इस पहेली को सुलझाने के लिए शक्तिशाली कंप्यूटर सिमुलेशन का उपयोग किया। उन्होंने एक विशिष्ट प्रकार के मिश्रण पर ध्यान केंद्रित किया: घने सस्पेंशन जिसमें कण आपस में चिपकते नहीं हैं (घर्षण रहित/frictionless) और इतने बड़े हैं कि गर्मी से हिल-डुल न सकें (नॉन-ब्राउनियन/non-Brownian)। इन कणों को एक भीड़ भरे डांस फ्लोर की तरह समझें जहाँ डांसर चिकनी पोशाक पहने हुए हैं और एक-दूसरे से टकरा नहीं सकते। टीम का उद्देश्य यह पता लगाना था कि वह सटीक क्षण क्या है जब डांस फ्लोर एक सुचारू फिसलन से बदलकर एक अराजक, धक्का-मुक्की वाली भीड़ में बदल जाता है।

उनके सिमुलेशन ने खुलासा किया कि इस संक्रमण के लिए कोई एक एकल, सार्वभौमिक स्पीड लिमिट नहीं है। इसके बजाय, "स्पीड लिमिट" पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करती है कि डांस फ्लोर कितना भरा हुआ है। जैसे-जैसे कण उस बिंदु के करीब पहुँचते हैं जहाँ वे पूरी तरह से जाम (jammed) हो जाते हैं और हिल नहीं पाते, वैसे-वैसे सख्त होने वाले व्यवहार को ट्रिगर करने के लिए आवश्यक गति लगभग शून्य तक गिर जाती है। दूसरे शब्दों में, सिस्टम जितना अधिक भीड़भाड़ वाला होगा, तरल को ठोस में बदलना उतना ही आसान होगा।

लेखकों ने पाया कि यह इसलिए होता है क्योंकि मिश्रण के भीतर एक छिपी हुई, बढ़ती हुई संरचना बन रही है। जैसे-जैसे कण आपस में घने होते जाते हैं, वे विशाल, अस्थायी क्लस्टर (clusters) बनाने लगते हैं जो एक एकल, विशाल इकाई की तरह कार्य करते हैं। जैसे-जैसे सिस्टम जैमिंग (jamming) की ओर बढ़ता है, इन क्लस्टरों का आकार बढ़ता जाता है। शोधकर्ताओं ने पाया कि तरल के "पतले" से "सख्त" होने का संक्रमण वास्तव में इन विशाल क्लस्टरों के जड़त्व (inertia/momentum) के कारण होता है, न कि केवल व्यक्तिगत कणों के कारण। उन्होंने यह सिद्ध किया कि इन क्लस्टरों का आकार और वह गति जिस पर तरल सख्त होता है, एक ही गणितीय पैटर्न का पालन करते हैं।

दिलचस्प रूप से, पेपर यह तर्क देता है कि यह संक्रमण एक एकल कण के आकार या एक निश्चित बल द्वारा नियंत्रित नहीं है। उन प्रणालियों में जहाँ कणों में घर्षण होता है (जैसे खुरदरी रेत), संक्रमण एक अलग, स्थिर गति पर होता है। लेकिन इन चिकने, फिसलन भरे कणों के लिए, संक्रमण "क्रिटिकल" (critical) है, जिसका अर्थ है कि यह गहराई से सिस्टम की भीड़भाड़ से जुड़ा हुआ है। अध्ययन बताता है कि जैसे-जैसे आप जैमिंग पॉइंट के करीब पहुँचते हैं, एक "लेंथ स्केल" (यह मापने का पैमाना कि ये क्लस्टर कितने बड़े होते हैं) अनंत रूप से बड़ा होता जाता है, जिससे सिस्टम बहुत मामूली धक्के के प्रति भी अविश्वसनीय रूप से संवेदनशील हो जाता है।

शोधकर्ताओं ने डिस्क्रीट एलीमेंट मेथड (Discrete Element Method - DEM) का उपयोग किया, जो एक अत्यंत सटीक वीडियो गेम की तरह है जहाँ वे लाखों कणों के बीच लगने वाले बलों की गणना करते हैं। उन्होंने इन भीड़भाड़ वाले सिस्टम के 2D और 3D दोनों संस्करणों का अनुकरण किया। उनके परिणामों ने दिखाया कि स्टोकिस नंबर (Stokes number - तरल के चिपचिपेपन और कणों के संवेग के बीच संतुलन को मापने का एक तरीका) वॉल्यूम फ्रैक्शन के जैमिंग लिमिट के करीब पहुँचने पर शून्य हो जाता है। उन्होंने पाया कि क्लस्टरों का आकार एक विशिष्ट पावर लॉ (power law) के अनुसार बढ़ता है, जिसका घातांक (exponent) 2D में लगभग 0.79 और 3D में 0.84 है।

यह परीक्षण करके कि परिणाम बदलने पर सिम्युलेशन बॉक्स छोटा या बड़ा करने से क्या प्रभाव पड़ता है, उन्होंने पुष्टि की कि ये विशाल क्लस्टर वास्तव में अस्तित्व में हैं और संक्रमण की कुंजी हैं। यदि सिम्युलेशन बॉक्स क्लस्टर से छोटा था, तो परिणाम बदल गए, जिससे सिद्ध हुआ कि क्लस्टर "दीवारों के माध्यम से पहुँचने" की कोशिश कर रहा था। इसने पुष्टि की कि संक्रमण एक गैर-स्थानीय (non-local) घटना है, जिसका अर्थ है कि तरल के एक हिस्से में जो होता है वह दूर के हिस्से पर भी निर्भर करता है, जो इन विशाल, अदृश्य संरचनाओं द्वारा जुड़ा हुआ है।

संक्षेप में, पेपर सुझाव देता है कि चिकने, घने कणों के लिए, तरल से ठोस में स्विच होना व्यक्तिगत डांसरों के बारे में नहीं है; यह एक विशाल, अदृश्य भीड़ के बनने के बारे में है जो तब तक बढ़ती रहती है जब जब तक कि वह पूरे कमरे पर कब्जा न कर ले। यह अंतर्दृष्टि वैज्ञानिकों को यह समझने में मदद करती है कि जैमिंग पॉइंट के करीब, प्रवाह के नियम क्रिटिकल हो जाते हैं और इन बढ़ती संरचनाओं पर निर्भर करते हैं, जो इन जटिल सामग्रियों के व्यवहार के बारे में बेहतर सिद्धांत बनाने का मार्ग प्रशस्त करता है।

तकनीकी सारांश: नॉन-ब्राउनियन सस्पेंशन में जैमिंग के निकट विस्कस से इनर्शियल ट्रांज़िशन की क्रिटिकैलिटी

समस्या विवरण
सघन नॉन-ब्राउनियन सस्पेंशन (dense non-Brownian suspensions) का रियोलॉजी, प्राकृतिक घटनाओं (जैसे भूस्खलन, मडस्लाइड्स) और औद्योगिक प्रक्रियाओं (जैसे सीमेंट स्लरी, सिरेमिक्स) को समझने के लिए महत्वपूर्ण है। इन प्रणालियों की एक केंद्रीय विशेषता विस्कस शासन (viscous regime) से इनर्शियल शासन (inertial regime) में संक्रमण है, जो न्यूटोनियन रियोलॉजी ( $\Sigma \propto \dot{\gamma}$ ) द्वारा अभिलक्षित है, से बाग्नोल्डियन रियोलॉजी ( $\Sigma \propto \dot{\gamma}^2$ ) द्वारा अभिलक्षित शासन में बदल जाती है। यह संक्रमण पारंपरिक रूप से हाइड्रोडायनामिक बलों पर कणों की जड़त्वीय (inertial) शक्तियों के बढ़ते प्रभुत्व के कारण माना जाता है।

हालाँकि, इस संक्रमण को ट्रिगर करने वाला भौतिक तंत्र और वह विशिष्ट शियर रेट जिस पर यह होता है, अभी भी बहस का विषय है। प्रयोगात्मक और संख्यात्मक साहित्य में विरोधाभासी परिणाम मिलते हैं, विशेष रूप से क्रिटिकल स्टोक्स नंबर ( $St_{v \to i}$ ) के संबंध में, जो विस्कस और इनर्शियल स्ट्रेस के अनुपात का एक आयामहीन माप है। घर्षण रहित सस्पेंशन (जैसे इलेक्ट्रोस्टैटिक रिपल्शन वाले पॉलिस्टायरीन स्फीयर्स) में, $St_{v \to i}$ को वॉल्यूम फ्रैक्शन ( $\phi$ ) के साथ बदलते हुए देखा गया है और यह जैमिंग वॉल्यूम फ्रैक्शन ( $\phi_m$ ) के करीब पहुँचने पर शून्य की ओर जाता है। इसके विपरीत, फ्रिक्शनल सस्पेंशन (जैसे रफ PMMA पार्टिकल्स) में, $St_{v \to i}$ वॉल्यूम फ्रैक्शन ( $\phi$ ) से स्वतंत्र प्रतीत होता है और एक परिमित (finite) मान बनाए रखता है। भौतिक तंत्र, विशेष रूप से घर्षण रहित प्रणालियों में माइक्रोस्ट्रक्चर की भूमिका पर सहमति का अभाव, इस अध्ययन को प्रेरित करता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक विभिन्न शियर रेट्स और वॉल्यूम फ्रैक्शंस के विस्तृत रेंज में सघन, नॉन-ब्राउनियन, घर्षण रहित सस्पेंशन की जांच करने के लिए डिस्क्रीट एलीमेंट मेथड (DEM) सिमुलेशन का उपयोग करते हैं।

फोर्स मॉडल: गतिकी (dynamics) न्यूटन के गति के समीकरणों द्वारा नियंत्रित होती है, जिसमें दो प्राथमिक बलों को शामिल किया गया है: हाइड्रोडायनामिक लुब्रिकेशन बल ( $F^L_{ij}$ ) जो कणों के बीच के अंतराल में सापेक्ष गति से उत्पन्न होते हैं, और रिपल्सिव कॉन्टैक्ट फोर्स ( $F^R_{ij}$ )।
फ्रिक्शनलेस एप्रोक्सिमेशन: प्रयोगों में पाए जाने वाले इलेक्ट्रोस्टैटिक रिपल्सिव बैरियर (जो सीधे संपर्क को रोकता है) को मॉडल करने के लिए, रिपल्सिव फोर्स को एक हुकियन स्प्रिंग ( $F^R_{ij} = K\delta n$ ) के रूप में मॉडल किया गया है, जो तब सक्रिय होता है जब सतह का अलगाव $h$ एक न्यूनतम थ्रेशोल्ड $h_{min}$ से कम हो जाता है।
सिमुलेशन सेटअप: शियर फ्लो को सिम्युलेट करने के लिए लीज़-एडवर्ड्स बाउंड्री कंडीशंस का उपयोग करके 2D और 3D डोमेन में सिमुलेशन किए गए हैं। सिस्टम एक पॉलीडिस्पर्स पार्टिकल डिस्ट्रीब्यूशन (16%) का उपयोग करता है ताकि क्रिस्टलाइजेशन को रोका जा सके। लुब्रिकेशन बलों की गणना यह मानते हुए की जाती है कि जब कण अधिक करीब आने का प्रयास करते हैं तो न्यूनतम अलगाव $h_{min}$ होता है, जो प्रभावी रूप से नॉर्मल मोशन को बाधित करता है।
पैरामीटर्स: अध्ययन $\phi$ , $St = 4\rho a^2 \dot{\gamma} / \eta_f$ , और आयामहीन स्टिफनेस रेशियो ( $\Gamma$ ) द्वारा परिभाषित पैरामीटर स्पेस की खोज करता है। सिमुलेशन $\Gamma \gg 1$ के शासन में किए गए हैं, जिससे यह सुनिश्चित होता है कि छोटे अलगाव पर रिपल्सिव बैरियर, लुब्रिकेशन बलों पर हावी रहे।

मुख्य योगदान और परिणाम

ट्रांज़िशन की क्रिटिकैलिटी: सिमुलेशन पुष्टि करते हैं कि घर्षण रहित सस्पेंशन के लिए, इनर्शियल शियर थिकनिंग के लिए विशिष्ट स्टोक्स नंबर ( $St_{v \to i}$ ) स्थिर नहीं है। इसके बजाय, यह वॉल्यूम फ्रैक्शन बढ़ने के साथ घटता है, और $\phi \to \phi_m$ होने पर शून्य की ओर जाता है। यह संबंध एक पावर लॉ का अनुसरण करता है: $St_{v \to i} \sim (\phi_m - \phi)^\beta$ ।
स्केलिंग फ्रेमवर्क: इस व्यवहार को समझाने के लिए, लेखक एक स्केलिंग फ्रेमवर्क प्रस्तावित करते हैं जो इस परिकल्पना पर आधारित है कि जैसे-जैसे सिस्टम जैमिंग की ओर बढ़ता है, एक माइक्रोस्ट्रक्चरल लेंथ स्केल डायवर्ज (diverge) होता है। वे एक संशोधित स्टोक्स नंबर, $St_{Cluster} = B St (\phi_m - \phi)^{-\beta}$ पेश करते हैं, जो बढ़ते क्लस्टर साइज $L_c \sim (\phi_m - \phi)^{-\beta/2}$ के सापेक्ष इनर्शियल प्रभावों को स्केल करता है।
डेटा कोलैप्स: विभिन्न वॉल्यूम फ्रैक्शंस के लिए रियोलॉजिकल डेटा (रिलेटिव शियर विस्कोसिटी $\eta_r$ $η_{r}$ बनाम $St$) को 2D और 3D सिमुलेशन दोनों में एक सिंगल मास्टर कर्व पर कोलैप्स किया गया है।
- 2D में, एक्सपोनेंट $\beta \approx 0.79$ है।
- 3D में, एक्सपोनेंट $\beta \approx 0.84$ है।
- ये मान प्रयोगात्मक अवलोकनों के अनुरूप हैं जो सुझाव देते हैं कि $St_{v \to i} \sim (\phi_m - \phi)^{-1}$ ।
सिस्टम साइज डिपेंडेंस: प्रस्तावित डायवर्जिंग लेंथ स्केल के अस्तित्व को मान्य करने के लिए, लेखकों ने सिस्टम साइज डिपेंडेंस टेस्ट किए। उन्होंने देखा कि जब सिमुलेशन बॉक्स का आकार विशिष्ट क्लस्टर साइज से छोटा होता है, तो विस्कोसिटी बढ़ जाती है क्योंकि क्लस्टर अपने स्वयं के माध्यम से पीरियोडिक बाउंड्रीज़ के जरिए इंटरैक्ट करता है। विस्कोसिटी डेटा को सिस्टम साइज पर निर्भर पावर लॉ में फिट करके, वे सफलतापूर्वक एक क्लस्टर लेंथ स्केल $L_c$ निकाल पाए जो $\phi \to \phi_m$ होने पर $\beta/2$ के एक्सपोनेंट के साथ डायवज होता है ( $L_c \sim (\phi_m - \phi)^{-\beta/2}$ )।

महत्व और दावे
यह पेपर दावा करता है कि घर्षण रहित सस्पेंशन में विस्कस से इनर्शियल शियर थिकनिंग का संक्रमण एक क्रिटिकल घटना है, जो जैमिंग के करीब पहुँचने पर एक डायवर्जिंग माइक्रोस्ट्रक्चरल लेंथ स्केल (क्लस्टर्स) द्वारा संचालित होता है।

मैकेनिज्म: ट्रांज़िशन की क्रिटिकैलिटी को इन क्लस्टर्स के विकास से जोड़ा गया है, जो उस स्केल को बदल देता है जिस पर इनर्शियल प्रभाव प्रभावी होते हैं। जैसे-जैसे क्लस्टर का आकार बढ़ता है, इनर्शियल प्रभावों को ट्रिगर करने के लिए आवश्यक विशिष्ट शियर रेट शून्य हो जाती है।
नॉन-लोकल रियोलॉजी: एक डायवर्जिंग लेंथ स्केल का अस्तित्व यह संकेत देता है कि इन सस्पेंशन की रियोलॉजी नॉन-लोकल है; स्ट्रेस ट्रांसमिशन इन बड़े पैमाने के क्लस्टर्स के निर्माण और विनाश पर निर्भर करता है।
फ्रिक्शनल सिस्टम के साथ तुलना: लेखक नोट करते हैं कि यह क्रिटिकल व्यवहार घर्षण रहित प्रणालियों के लिए विशिष्ट है। फ्रिक्शनल सस्पेंशन में, जहाँ कण संपर्क सतह की खुरदरापन (roughness) द्वारा नियंत्रित होते हैं न कि लॉन्ग-रेंज रिपल्शन द्वारा, संक्रमण वॉल्यूम फ्रैक्शन से स्वतंत्र प्रतीत होता है, जो बताता है कि माइक्रोस्ट्रक्चरल मैकेनिज्म मौलिक रूप से भिन्न है।
भविष्य की दिशा: यह कार्य उन नॉन-लोकल सिद्धांतों के विकास को प्रेरित करता है जो इन बढ़ते क्लस्टर्स के माध्यम से स्ट्रेस ट्रांसमिशन को ध्यान में रखते हैं। यह फ्रिक्शनल सस्पेंशन में क्लस्टर साइज के लिए स्केलिंग लॉ पर और अध्ययन की आवश्यकता को भी रेखांकित करता है ताकि विभिन्न फ्लो रिजीम्स में एक एकीकृत सिद्धांत स्थापित किया जा सके।

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