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Criticality of the viscous to inertial transition near jamming in non-Brownian suspensions

Utilizzando simulazioni del Metodo degli Elementi Discreti, questo studio dimostra che la transizione di ispessimento per taglio da viscoso a inerziale in sospensioni dense non browniane prive di attrito in prossimità del jamming è governata da una scala di lunghezza microstrutturale divergente che causa la scomparsa della velocità di taglio caratteristica della transizione al tendere della frazione volumetrica al limite di jamming.

Autori originali: Nishanth Murugan, Donald Koch, Sarah Hormozi

Pubblicato 2026-07-16

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CC BY 4.0

Autori originali: Nishanth Murugan, Donald Koch, Sarah Hormozi

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Immaginate un mondo in cui le regole di come le cose fluiscono cambiano a seconda di quanto velocemente le si spinge. Questo è il affascinante regno della dinamica dei fluidi, con un focus specifico sulle "sospensioni": miscele in cui minuscole particelle solide galleggiano in un liquido, come la sabbia nell'acqua o i goccioli di cioccolato nel latte. Di solito, pensiamo ai fluidi come o scorrevoli (come l'acqua) o densi (come il miele), ma queste miscele cariche di particelle possono essere complicatissime. A volte, se le si mescola lentamente, agiscono come un normale liquido. Ma se le si mescola velocemente, possono improvvisamente diventare rigide, quasi come un solido. Questo fenomeno è chiamato "ispessimento per taglio" (shear thickening). Gli scienziati sono ossessionati dal capire esattamente quando e perché avviene questo passaggio perché influenza tutto, dal modo in cui elaboriamo cemento e ceramica al modo in cui prevediamo eventi naturali pericolosi come colate di fango e valanghe. Il grande mistero è stato: qual è l'esatto "limite di velocità" in cui il fluido decide di smettere di essere scorrevole e iniziare ad agire come un solido? È un numero fisso, o cambia a seconda di quanto sono affollate le particelle?

In questo studio, i ricercatori Nishanth Murugan, Donald Koch e Sarah Hormozi della Cornell University hanno utilizzato potenti simulazioni informatiche per risolvere un pezzo di questo puzzle. Si sono concentrati su un tipo specifico di miscela: sospensioni dense di particelle che non si attaccano tra loro (senza attrito) e che sono troppo grandi per essere scosse dal calore (non Browniane). Pensate a una pista da ballo affollata dove i ballerini indossano tute scivolose e non possono scontrarsi tra loro. Il team voleva trovare il momento preciso in cui la pista da ballo passa da una scivolata fluida a una folla caotica e agitata.

Le loro simulazioni hanno rivelato che non esiste un unico, universale limite di velocità per questa transizione. Invece, il "limite di velocità" dipende interamente da quanto è affollata la pista da ballo. Man mano che le particelle si avvicinano al punto in cui sono completamente bloccate e non possono più muoversi (uno stato chiamato "jamming" o ingorgo), la velocità richiesta per innescare il comportamento di irrigidimento scende quasi a zero. In altre parole, più il sistema diventa affollato, più è facile trasformare il fluido in un solido.

Gli autori hanno scoperto che questo accade a causa di una struttura nascosta e crescente all'interno della miscela. Mentre le particelle si affollano, iniziano a formare enormi cluster temporanei che agiscono come un'unica, massiccia unità. La dimensione di questi cluster cresce sempre di più man mano che il sistema si avvicina al jamming. I ricercatori hanno scoperto che la transizione da "scorrevole" a "rigido" è in realtà innescata dall'inerzia (il momento) di questi enormi cluster, non solo dalle singole particelle. Hanno dimostrato questo mostrando che la dimensione di questi cluster e la velocità alla quale il fluido si irrigidisce seguono lo stesso schema matematico.

Interessante è che il documento sostiene l'idea che questa transizione non sia controllata dalla dimensione di una singola particella o da una forza fissa. Nei sistemi in cui le particelle hanno attrito (come la sabbia ruvida), la transizione avviene a una velocità diversa e costante. Ma per queste particelle lisce e scivolose, la transizione è "critica", il che significa che è profondamente legata all'affollamento del sistema. Lo studio suggerisce che, man mano che ci si avvicina al punto di jamming, una "lunghezza di scala" (una misura di quanto diventano grandi questi cluster) cresce infinitamente, rendendo il sistema incredibilmente sensibile anche alla minima spinta.

I ricercatori hanno utilizzato un metodo chiamato Discrete Element Method (DEM), che è come un videogioco super accurato dove calcolano le forze tra milioni di particelle. Hanno simulato versioni 2D e 3D di questi sistemi affollati. I loro risultati hanno mostato che il "numero di Stokes" (un modo elegante per misurare l'equilibrio tra la viscosità del fluido e il momento delle particelle) scende a zero quando la frazione di volume si avvicina al limite di jamming. Hanno scoperto che la dimensione dei cluster cresce secondo una specifica legge di potenza, con un esponente di circa 0,79 in 2D e 0,84 in 3D.

Testando come cambiavano i risultati rendendo la scatola di simulazione più piccola o più grande, hanno confermato che questi enormi cluster esistono davvero e sono la chiave della transizione. Se la scatola di simulazione era più piccola del cluster, i risultati cambiavano, provando che il cluster stava cercando di "attraversare" le pareti. Questo ha confermato che la transizione è un evento non locale, il che significa che ciò che accade in una parte del fluido dipende da ciò che accade lontano, connesso da queste massicce strutture invisibili.

In breve, il documento suggerisce che, per le particelle lisce e affollate, il passaggio da liquido a solido non riguarda i singoli ballerini; si tratta della formazione di una folla massiccia e invisibile che cresce finché non prende il sopravvento sull'intera stanza. Questa intuizione aiuta gli scienziati a capire che, vicino al punto di jamming, le regole del flusso diventano critiche e dipendono da queste strutture in crescita, aprendo la strada a migliori teorie su come si comportano questi materiali complessi.

Sintesi Tecnica: Criticità della transizione da viscosa a inerziale vicino al jamming in sospensioni non Browniane

Definizione del problema
La reologia delle sospensioni dense non Browniane è fondamentale per comprendere fenomeni naturali (ad es. frane, colate di fango) e processi industriali (ad es. fanghi di cemento, ceramica). Una caratteristica centrale di questi sistemi è la transizione da un regime viscoso, caratterizzato da una reologia newtoniana ( $\Sigma \propto \dot{\gamma}$ ), a un regime inerziale, caratterizzato da una reologia bagnoldiana ( $\Sigma \propto \dot{\gamma}^2$ ). Questa transizione è tradizionalmente attribuita alla crescente dominanza dell'inerzia delle particelle sulle forze idrodinamiche.

Tuttavia, il meccanismo fisico che innesca questa transizione e la velocità di taglio caratteristica alla quale avviene rimangono oggetto di dibattito. La letteratura sperimentale e numerica presenta risultati contrastanti riguardo al numero di Stokes critico ( $St_{v \to i}$ ), una misura adimensionale del rapporto tra sforzi inerziali e viscosi. Nelle sospensioni prive di attrito (ad es. sfere di polistirene con repulsione elettrostatica), $St_{v \to i}$ è stato osservato variare con la frazione volumetrica ( $\phi$ ) e tendere a zero quando il sistema si avvicina alla frazione di jamming ( $\phi_m$ ). Al contrario, nelle sospensioni con attrito (ad es. particelle di PMMA ruvide), $St_{v \to i}$ appare indipendente da $\phi$ e rimane finito. La mancanza di consenso sul meccanismo fisico, in particolare sul ruolo della microstruttura nei sistemi senza attrito, motiva questo studio.

Metodologia
Gli autori utilizzano simulazioni del Metodo degli Elementi Discreti (DEM) per investigare sospensioni dense, non Browniane e prive di attrito attraverso un ampio intervallo di velocità di taglio e frazioni volumetriche.

Modello di forza: La dinamica è governata dalle equazioni del moto di Newton, che tengono conto di due forze primarie: le forze di lubrificazione idrodinamica ( $F^L_{ij}$ ) derivanti dal moto relativo nel gap interparticellare, e le forze di contatto repulsive ( $F^R_{ij}$ ).
Approssimazione priva di attrito: Per modellare la barriera di repulsione elettrostatica presente negli esperimenti (che impedisce il contatto diretto), la forza repulsiva è modellata come una molla di tipo Hooke ( $F^R_{ij} = K\delta n$ ) che si attiva quando la separazione superficiale $h$ scende al di sotto di una soglia minima $h_{min}$ .
Configurazione della simulazione: Le simulazioni sono condotte in domini 2D e 3D utilizzando condizioni al contorno di Lees-Edwards per simulare il flusso di taglio. Il sistema utilizza una distribuzione di particelle polidisperse (16%) per prevenire la cristallizzazione. Le forze di lubrificazione sono calcolate assumendo una separazione minima di $h_{min}$ quando le particelle tentano di avvicinarsi ulteriormente, vincolando efficacemente il moto normale.
Parametri: Lo studio esplora lo spazio dei parametri definito dalla frazione volumetrica ( $\phi$ ), dal numero di Stokes ( $St = 4\rho a^2 \dot{\gamma} / \eta_f$ ) e dal rapporto di rigidità adimensionale ( $\Gamma$ ). Le simulazioni sono eseguite in un regime in cui $\Gamma \gg 1$ , garantendo che la barriera repulsiva domini sulle forze di lubrificazione a piccole separazioni.

Contributi chiave e risultati

Criticità della transizione: Le simulazioni confermano che, per le sospensioni prive di attrito, il numero di Stokes caratteristico per la transizione verso l'ispessimento per taglio inerziale ( $St_{v \to i}$ ) non è costante. Invece, esso diminuisce all'aumentare della frazione volumetrica, tendendo a zero quando $\phi \to \phi_m$ . La relazione segue una legge di potenza: $St_{v \to i} \sim (\phi_m - \phi)^\beta$ .
Framework di scaling: Per spiegare questo comportamento, gli autori propongono un framework di scaling basato sull'ipotesi che una scala di lunghezza microstrutturale diverga all'avvicinarsi del sistema al jamming. Introducono un numero di Stokes modificato, $St_{Cluster} = B St (\phi_m - \phi)^{-\beta}$ , che scala gli effetti inerziali rispetto a una dimensione del cluster in crescita $L_c \sim (\phi_m - \phi)^{-\beta/2}$ .
Collasso dei dati: Utilizzando questo framework di scaling, i dati reologici (viscosità relativa $\eta_r$ $η_{r}$ vs. $St$) per varie frazioni volumetriche collassano su un'unica curva master sia nelle simulazioni 2D che in quelle 3D.
- In 2D, l'esponente è $\beta \approx 0.79$ .
- In 3D, l'esponente è $\beta \approx 0.84$ .
- Questi valori sono in linea con le osservazioni sperimentali che suggeriscono $St_{v \to i} \sim (\phi_m - \phi)^{-1}$ .
Dipendenza dalla dimensione del sistema: Per validare l'esistenza della proposta scala di lunghezza divergente, gli autori hanno eseguito test di dipendenza dalla dimensione del sistema. Hanno osservato che, quando la dimensione della scatola di simulazione è minore della dimensione caratteristica del cluster, la viscosità aumenta a causa dell'interazione del cluster con se stesso attraverso i bordi periodici. Fitando i dati di viscosità con una legge di potenza dipendente dalla dimensione del sistema, hanno estratto con successo una scala di lunghezza del cluster $L_c$ che diverge come $\phi \to \phi_m$ con un esponente coerente con lo scaling reologico ( $L_c \sim (\phi_m - \phi)^{-\beta/2}$ ).

Significato e affermazioni
Il documento afferma che la transizione dall'ispessimento per taglio viscoso a quello inerziale nelle sospensioni prive di attrito è un fenomeno critico guidato da una scala di lunghezza microstrutturale divergente (cluster) all'avvicinarsi del sistema al jamming.

Meccanismo: La criticità della transizione è attribuita alla crescita di questi cluster, che altera la scala alla quale gli effetti inerziali diventano dominanti. Man mano che la dimensione del cluster diverge, la velocità di taglio caratteristica necessaria per innescare gli effetti inerziali svanisce.
Reologia non locale: L'esistenza di una scala di lunghezza divergente implica che la reologia di queste sospensioni è non locale; la trasmissione dello sforzo dipende dalla formazione e distruzione di questi cluster su larga scala.
Contrasto con i sistemi con attrito: Gli autori osservano che questo comportamento critico è specifico per i sistemi privi di attrito. Nelle sospensioni con attrito, dove i contatti tra particelle sono governati dalla rugosità superficiale piuttosto che da una repulsione a lungo raggio, la transizione appare indipendente dalla frazione volumetrica, suggerendo che il meccanismo microstrutturale sia fondamentalmente diverso.
Direzioni future: Il lavoro motiva lo sviluppo di teorie non locali che tengano conto della trasmissione dello sforzo attraverso questi cluster in crescita. Evidenzia inoltre la necessità di ulteriori studi sulle leggi di scaling per le dimensioni dei cluster nelle sospensioni con attrito per stabilire una teoria unificata attraverso i diversi regimi di flusso.

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