Criticality of the viscous to inertial transition near jamming in non-Brownian suspensions

Resumen Técnico: Criticidad de la transición viscosa a inercial cerca del bloqueo en suspensiones no brownianas

Planteamiento del problema
La reología de las suspensiones densas no brownianas es crítica para comprender fenómenos naturales (p. ej., deslizamientos de tierra, aludes de lodo) y procesos industriales (p. ej., lechada de cemento, cerámica). Una característica central de estos sistemas es la transición de un régimen viscoso, caracterizado por una reología newtoniana ($\Sigma \propto \dot{\gamma}$), a un régimen inercial, caracterizado por una reología de Bagnold ($\Sigma \propto \dot{\gamma}^2$). Esta transición se atribuye tradicionalmente al aumento del dominio de la inercia de las partículas sobre las fuerzas hidrodinámicas.

Sin embargo, el mecanismo físico que desencadena esta transición y la tasa de deformación característica en la que ocurre siguen siendo objeto de debate. La literatura experimental y numérica presenta resultados contradictorios respecto al número de Stokes crítico ($St_{v \to i}$), una medida adimensional de la relación entre los esfuerzos inerciales y viscosos. En suspensiones sin fricción (p. ej., esferas de poliestireno con repulsión electrostática), se ha observado que $St_{v \to i}$ varía con la fracción de volumen ($\phi$) y tiende a cero a medida que el sistema se acerca a la fracción de volumen de bloqueo ($\phi_m$). Por el contrario, en suspensiones con fricción (p. ej., partículas de PMMA rugosas), $St_{v \to i}$ parece ser independiente de $\phi$ y permanece finito. La falta de consenso sobre el mecanismo físico, particularmente el papel de la microestructura en los sistemas sin fricción, motiva este estudio.

Metodología
Los autores emplean simulaciones de Método de Elementos Discretos (DEM) para investigar suspensiones densas, no brownianas y sin fricción a través de un amplio rango de tasas de deformación y fracciones de volumen.

• Modelo de fuerza: La dinámica está gobernada por las ecuaciones de movimiento de Newton, contabilizando dos fuerzas primarias: fuerzas de lubricación hidrodinámica ($F^L_{ij}$) derivadas del movimiento relativo en la brecha interparticular, y fuerzas de contacto repulsivas ($F^R_{ij}$).
• Aproximación sin fricción: Para modelar la barrera de repulsión electrostática presente en experimentos (que evita el contacto directo), la fuerza repulsiva se modela como un resorte de Hooke ($F^R_{ij} = K\delta n$) que se activa cuando la separación superficial $h$ cae por debajo de un umbral mínimo $h_{min}$.
• Configuración de la simulación: Las simulaciones se realizan tanto en dominios 2D como 3D utilizando condiciones de contorno de Lees-Edwards para simular el flujo de cizalladura. El sistema utiliza una distribución de partículas polidispersa (16%) para evitar la cristalización. Las fuerzas de lubricación se calculan asumiendo una separación mínima de $h_{min}$ cuando las partículas intentan acercarse más, lo que restringe efectivamente el movimiento normal.
• Parámetros: El estudio explora el espacio de parámetros definido por la fracción de volumen ($\phi$), el número de Stokes ($St = 4\rho a^2 \dot{\gamma} / \eta_f$) y la relación de rigidez adimensional ($\Gamma$). Las simulaciones se realizan en un régimen donde $\Gamma \gg 1$, asegurando que la barrera repulsiva domine sobre las fuerzas de lubricación en separaciones pequeñas.

Contribuciones clave y resultados

1. Criticidad de la transición: Las simulaciones confirman que, para suspensiones sin fricción, el número de Stokes característico para la transición al espesamiento por cizalladura inercial ($St_{v \to i}$) no es constante. En cambio, disminuye a medida que la fracción de volumen aumenta, aproximándose a cero cuando $\phi \to \phi_m$. La relación sigue una ley de potencia: $St_{v \to i} \sim (\phi_m - \phi)^\beta$.
2. Marco de escalamiento: Para explicar este comportamiento, los autores proponen un marco de escalamiento basado en la hipótesis de que una escala de longitud microestructural diverge a medida que el sistema se acerca al bloqueo. Introducen un número de Stokes modificado, $St_{Cluster} = B St (\phi_m - \phi)^{-\beta}$, que escala los efectos inerciales en relación con un tamaño de clúster creciente $L_c \sim (\phi_m - \phi)^{-\beta/2}$.
3. Colapso de datos: Utilizando este marco de escalamiento, los datos reológicos (viscosidad de cizalladura relativa $\eta_r$ vs. $St$) para diversas fracciones de volumen colapsan en una única curva maestra tanto en las simulaciones 2D como 3D.
   • En 2D, el exponente es $\beta \approx 0.79$.
   • En 3D, el exponente es $\beta \approx 0.84$.
   • Estos valores se alinean con observaciones experimentales que sugieren $St_{v \to i} \sim (\phi_m - \phi)^{-1}$.
4. Dependencia del tamaño del sistema: Para validar la existencia de la escala de longitud divergente propuesta, los autores realizaron pruebas de dependencia del tamaño del sistema. Observaron que, cuando el tamaño de la caja de simulación es menor que el tamaño de clúster característico, la viscosidad aumenta debido a que el clúster interactúa consigo mismo a través de las fronteras periódicas. Al ajustar los datos de viscosidad a una ley de potencia dependiente del tamaño del sistema, extrajeron con éxito una escala de longitud de clúster $L_c$ que diverge conforme $\phi \to \phi_m$ con un exponente consistente con el escalamiento reológico ($L_c \sim (\phi_m - \phi)^{-\beta/2}$).

Significado y afirmaciones
El artículo afirma que la transición del espesamiento por cizalladura viscoso a inercial en suspensiones sin fricción es un fenómeno crítico impulsado por una escala de longitud microestructural divergente (clústeres) a medida que el sistema se aproxima al bloqueo.

• Mecanismo: La criticidad de la transición se atribuye al crecimiento de estos clústeres, lo que altera la escala en la que los efectos inerciales se vuelven dominantes. A medida que el tamaño del clúster diverge, la tasa de deformación característica requerida para activar los efectos inerciales se desvanece.
• Reología no local: La existencia de una escala de longitud divergente implica que la reología de estas suspensiones es no local; la transmisión del esfuerzo depende de la formación y destrucción de estos clústeres de gran escala.
• Contraste con sistemas con fricción: Los autores señalan que este comportamiento crítico es específico de los sistemas sin fricción. En las suspensiones con fricción, donde los contactos entre partículas están gobernados por la rugosidad superficial en lugar de una repulsión de largo alcance, la transición parece independiente de la fracción de volumen, lo que sugiere que el mecanismo microestructural difiere fundamentalmente.
• Dirección futura: El trabajo motiva el desarrollo de teorías no locales que den cuenta de la transmisión de esfuerzo a través de estos clústeres en crecimiento. También destaca la necesidad de estudiar más a fondo las leyes de escala para los tamaños de clúster en suspensiones con fricción para establecer una teoría unificada a través de diferentes regímenes de flujo.