Some Generalizations of Totient Function with Elementary Symmetric Sums

तकनीकी सारांश: प्रारंभिक सममित योगों के साथ टोटिएंट फलन के कुछ सामान्यीकरण

समस्या विवरण
यह शोध पत्र प्रारंभिक सममित योगों (elementary symmetric sums) के संदर्भ में यूलर टोटिएंट फलन के सामान्यीकरण को संबोधित करता है। जबकि हाल के कार्य [Tót22] द्वारा प्रथम ($e_1$) और $k$-वें ($e_k$) प्रारंभिक सममित योगों पर आधारित एक $k$-आयामी सामान्यीकृत टोटिएंट फलन स्थापित किया गया था, और Csizmadia और Tóth [CT25] ने इसे अनिश्चित बहुपदों के सेट तक विस्तारित किया, फिर भी मध्यवर्ती सममित योगों, विशेष रूप से दूसरे प्रारंभिक सममित योग $e_2(x) = \sum_{1 \le i < j \le k} x_i x_j$ का विश्लेषण करने की आवश्यकता बनी हुई थी।

मुख्य समस्या $\mathbb{Z}_n^k$ रिंग के भीतर दो अलग-अलग गणना फलनों के लिए स्पष्ट उत्पाद सूत्र (product formulas) को परिभाषित करने और व्युत्पन्न करने में निहित है:

1. $\phi_J(n)$: उन टुपल्स $(x_1, \dots, x_k)$ की संख्या जहाँ सममित योगों के सेट $\{e_j\}_{j \in J}$ और $n$ का महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) 1 है (अर्थात, $\gcd(e_{j_1}, \dots, e_{j_m}, n) = 1$)।
2. $\varphi_J(n)$: उन टुपल्स की संख्या जहाँ प्रत्येक व्यक्तिगत सममित योग $n$ के साथ सह-अभाज्य (coprime) है (अर्थात, $\gcd(e_j, n) = 1$ सभी $j \in J$ के लिए)।

लेखक विशिष्ट रूप से उन सेट्स $J$ पर ध्यान केंद्रित करते हैं जिनमें दूसरा सममित योग शामिल है, जैसे कि $\{2\}$, $\{1, 2\}$, $\{2, k\}$, और $\{1, 2, k\}$।

कार्यप्रणाली
कार्यप्रणाली इन फलनों के गुणत्मक गुणों (multiplicative properties) और परिमित क्षेत्रों (finite fields) पर बहुपदीय सर्वांगसमता (polynomial congruences) के समाधानों की गणना पर निर्भर करती है।

1. परिमित क्षेत्रों में न्यूनीकरण (Reduction to Finite Fields): Csizmadia और Tóth [CT25] के ढांचे का अनुसरण करते हुए, लेखक इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि $\phi_J(n)$ एक गुणत्मक फलन है। समस्या को परिमित क्षेत्र $\mathbb{F}_p$ पर बहुपदों के सामान्य शून्य (common zeros) $N_J(p)$ की गणना करने तक सीमित किया जाता है। इसके बाद उत्पाद सूत्र $\phi_J(n) = n^k \prod_{p|n} (1 - N_J(p)/p^k)$ द्वारा दिया जाता है।
2. द्विघाती रूप विश्लेषण (Quadratic Form Analysis): सेट $J=\{2\}$ के लिए, स्थिति $e_2(x) \equiv 0 \pmod p$ एक द्विघाती रूप (quadratic form) को दर्शाती है। लेखक संबद्ध सममित आव्यूह (symmetric matrix) $A$ का विश्लेषण यह निर्धारित करने के लिए करते हैं कि रूप अपभ्रष्ट (degenerate) है या गैर-अपभ्रष्ट (non-degenerate)। वे विषम अभाज्य $p$ और $k$ की समता (parity) के आधार पर अंतर करने के लिए गैर-अपभ्रष्ट द्विघाती समीकरणों के समाधानों की संख्या के संबंध में मानक परिणामों (Lidl और Niederreiter [LN97] का हवाला देते हुए लेम्मा 2.0.3) को लागू करते हैं।
3. समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत (Inclusion-Exclusion Principle): उन सेट्स को संभालने के लिए जिनमें कई सममित योग शामिल हैं (जैसे, $J=\{1, 2\}$ या $J=\{2, k\}$), लेखक समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हैं। प्रमेय 3.0.1 $J$ के उपसमुच्चयों पर समावेशन-अपवर्जन के माध्यम से $\phi_J$ और $\varphi_J$ के बीच एक संबंध स्थापित करता है। प्रमेय 2.0.4 जब $J$ में $e_k$ शामिल होता है, तो $N_J(p)$ की गणना करने के लिए एक पुनरावर्ती विधि प्रदान करता है, जो उन समाधानों से संबंधित है जहाँ विशिष्ट चर शून्य होते हैं।
4. रूट्स ऑफ यूनिटी फिल्टर्स (Roots of Unity Filters): $p=2$ के मामले के लिए, जहाँ विषम अभाज्य पर मानक द्विघाती रूप सिद्धांत सीधे लागू नहीं होता है, लेखक वेक्टर में गैर-शून्य घटकों की संख्या के आधार पर समाधानों को गिनने के लिए रूट्स ऑफ यूनिटी फिल्टर्स (विशेष रूप से $\omega_4 = i$ के साथ) का उपयोग करते हैं।

प्रमुख योगदान और परिणाम

• स्पष्ट उत्पाद सूत्र (Explicit Product Formulas): शोध पत्र कई विशिष्ट सेट्स $J$ के लिए $\phi_J(n)$ और $\varphi_J(n)$ के लिए स्पष्ट उत्पाद सूत्र व्युत्पन्न करता है:

  • $\phi_{\{2\}}(n)$: प्रमेय 2.0.1 में व्युत्पन्न, जो विषम और सम $k$ दोनों के लिए $e_2(x) \equiv 0 \pmod p$ के समाधानों की गणना प्रदान करता है, और $p=2$ के लिए भी।
  • $\phi_{\{1, 2\}}(n)$: प्रमेय 2.0.2 में व्युत्पन्न, जो $e_1$ और $e_2$ के एक साथ शून्य होने को संभालता है।
  • $\phi_{\{2, k\}}(n)$ और $\phi_{\{1, 2, k\}}(n)$: पुनरावर्ती समावेशन-अपवर्जन विधि का उपयोग करके सह-प्रमेय (Corollaries) 2.0.5 और 2.0.6 में व्युत्पन्न।
  • $\varphi_{\{1, 2\}}(n)$: $\phi_{\{1\}}$, $\phi_{\{2\}}$ और $\phi_{\{1, 2\}}$ के लिए परिणामों को समावेशन-अपवर्जन संबंध के माध्यम से जोड़कर प्रमेय 3.0.3 में व्युत्पन्न।

• मेनन-प्रकार के सर्वसमिकाएँ (Menon-Type Identities): प्रमेय 3.0.2 जब $1 \in J$ हो तब $\varphi_J(n)$ के लिए एक मेनन-प्रकार की सर्वसमिका स्थापित करता है। यह रैखिक योग के महत्तम समापवर्तक और $n$ के बीच एक फलन $f$ के योग को $\varphi_J(n)$ से जोड़ता है, जो Tóth [T21] के पिछले निष्कर्षों का सामान्यीकरण करता है।

• प्रतिबंधित रैखिक सर्वांगसमताएँ (Restricted Linear Congruences): शोध पत्र इन सामान्यीकृत टोटिएंट फलनों को $\sum a_i x_i \equiv b \pmod n$ के रूप के प्रतिबंधित रैखिक सर्वांगसमताओं के समाधानों को गिनने के लिए लागू करता है, जहाँ $\gcd(e_j(x), n) = 1$ है। प्रमेय 4.0.2 दिखाता है कि $\gcd(b, n)=1$ के लिए, समाधानों की संख्या $g_k(n) = \varphi_{F'}(n) / \phi(n)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $F'$ में रैखिक रूप और सममित बाधाएं शामिल हैं। एक स्पष्ट समाधान गणना प्रदान की गई है जहाँ बाधा $\gcd(e_2(x), n)=1$ है।

महत्व और दावे
लेखक दावा करते हैं कि वे $\{e_1, e_k\}$ के पहले से अध्ययन किए गए सेट्स से आगे बढ़कर $e_2$ को शामिल करते हुए सामान्यीकृत टोटिएंट फलनों के ढांचे का विस्तार करते हैं। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

1. संरचनात्मक संबंध: परिमित क्षेत्रों पर बहुपदीय शून्य, प्रतिबंधित रैखिक सर्वांगसमताओं और सामान्यीकृत यूलर टोटिएंट्स के बीच गहरे संबंधों को प्रकट करना।
2. विभाज्यता गुण: यह स्थापित करना कि नए $e_2$-आधारित टोटिएंट्स, मानक यूलर टोटिएंट $\phi(n)$ के समान विभाज्यता गुण साझा करते हैं, जैसा कि Tóth के $\{e_1, e_k\}$ के लिए पिछले निष्कर्षों में देखा गया था।
3. स्पष्ट गणना योग्यता: द्विघाती रूपों ($e_2$) वाले मामलों के लिए ठोस, गणनीय उत्पाद सूत्र प्रदान करना, जो पहले अज्ञात या कम खोजे गए थे।

शोध पत्र विनम्रता से यह नोट करते हुए समाप्त होता है कि हालांकि $e_2$-आधारित सामान्यीकरणों के लिए स्पष्ट रूप व्युत्पन्न किए गए हैं, उच्च-क्रम के प्रारंभिक सममित योगों ($l > 2$ के लिए $e_l$) का विश्लेषण एक खुला प्रश्न बना हुआ है। वे सामान्य $l$ के लिए $e_l(x) \equiv 0 \pmod 2$ के समाधानों को गिनने के लिए लूकास प्रमेय (Lucas' theorem) का उपयोग करने की एक विधि भी प्रदान करते हैं, हालांकि सामान्य $l$ के लिए पूर्ण उत्पाद रूप पूरी तरह से विकसित नहीं किए गए हैं।