Some Generalizations of Totient Function with Elementary Symmetric Sums

Sintesi Tecnica: Alcune Generalizzazioni della Funzione Totiente con Somme Simmetriche Elementari

Enunciato del Problema
Il lavoro affronta la generalizzazione della funzione totiente di Eulero nel contesto delle somme simmetriche elementari. Mentre recenti studi di Tóth [Tót22] hanno stabilito una funzione totiente generalizzata $k$-dimensionale basata sulla prima ($e_1$) e sulla $k$-esima ($e_k$) somma simmetrica elementare, e Csizmadia e Tóth [CT25] hanno esteso questo risultato a insiemi arbitrari di polinomi, sussisteva la necessità di analizzare le somme simmetriche intermedie, in particolare la seconda somma simmetrica elementare $e_2(x) = \sum_{1 \le i < j \le k} x_i x_j$.

Il problema centrale consiste nel definire e derivare formule di prodotto esplicite per due distinte funzioni di conteggio sull'anello $\mathbb{Z}_n^k$:

1. $\phi_J(n)$: Il numero di $k$-uple $(x_1, \dots, x_k)$ tali che il massimo comun divisore dell'insieme delle somme simmetriche $\{e_j\}_{j \in J}$ e di $n$ sia 1 (cioè, $\gcd(e_{j_1}, \dots, e_{j_m}, n) = 1$).
2. $\varphi_J(n)$: Il numero di $k$-uple in cui ciascuna somma simmetrica individuale è coprima con $n$ (cioè, $\gcd(e_j, n) = 1$ per ogni $j \in J$).

Gli autori si concentrano specificamente su insiemi $J$ che coinvolgono la seconda somma simmetrica, come $\{2\}$, $\{1, 2\}$, $\{2, k\}$ e $\{1, 2, k\}$.

Metodologia
La metodologia si basa sulle proprietà moltiplicative di queste funzioni e sul conteggio delle soluzioni alle congruenze polinomiali sui campi finiti.

1. Riduzione ai Campi Finiti: Seguendo il quadro di riferimento di Csizmadia e Tóth [CT25], gli autori sfruttano il fatto che $\phi_J(n)$ è moltiplicativa. Il problema viene ridotto al calcolo di $N_J(p)$, il numero di zeri comuni dei polinomi in $J$ sul campo finito $\mathbb{F}_p$. La formula di prodotto è quindi data da $\phi_J(n) = n^k \prod_{p|n} (1 - N_J(p)/p^k)$.
2. Analisi delle Forme Quadratiche: Per l'insieme $J=\{2\}$, la condizione $e_2(x) \equiv 0 \pmod p$ rappresenta una forma quadratica. Gli autori analizzano la matrice simmetrica associata $A$ per determinare se la forma è degenere o non degenere. Applicano risultati standard (Lemma 2.0.3, citando Lidl e Niederreiter [LN97]) riguardanti il numero di soluzioni di equazioni quadratiche non degenerate su $\mathbb{F}_p$, distinguendo i casi in base alla parità di $k$ e alla caratteristica $p$.
3. Principio di Inclusione-Esclusione: Per gestire insiemi che coinvolgono multiple somme simmetriche (ad esempio, $J=\{1, 2\}$ o $J=\{2, k\}$), gli autori impiegano il principio di inclusione-esclusione. Il Teorema 3.0.1 stabilisce una relazione tra $\phi_J$ e $\varphi_J$ tramite inclusione-esclusione sugli sottoinsiemi di $J$. Il Teorema 2.0.4 fornisce un metodo ricorsivo per calcolare $N_J(p)$ quando $J$ include $e_k$, collegandolo alle soluzioni in cui specifiche variabili sono nulle.
4. Filtri delle Radici dell'Unità: Per il caso $p=2$, dove la teoria standard delle forme quadratiche su primi dispari non si applica direttamente, gli autori utilizzano filtri delle radici dell'unità (in particolare con $\omega_4 = i$) per contare le soluzioni in base al numero di componenti non nulle nel vettore.

Contributi e Risultati Chiave

• Formule di Prodotto Esplicite: Il lavoro deriva formule di prodotto esplicite per $\phi_J(n)$ e $\varphi_J(n)$ per diversi insiemi specifici $J$:

  • $\phi_{\{2\}}(n)$: Derivato nel Teorema 2.0.1, fornisce il conteggio delle soluzioni a $e_2(x) \equiv 0 \pmod p$ sia per $k$ dispari che pari, e per $p=2$.
  • $\phi_{\{1, 2\}}(n)$: Derivato nel Teorema 2.0.2, gestisce l'annullamento simultaneo di $e_1$ e $e_2$.
  • $\phi_{\{2, k\}}(n)$ e $\phi_{\{1, 2, k\}}(n)$: Derivati nei Corollari 2.0.5 e 2.0.6 utilizzando il metodo ricorsivo di inclusione-esclusione.
  • $\varphi_{\{1, 2\}}(n)$: Derivato nel Teorema 3.0.3 combinando i risultati per $\phi_{\{1\}}$, $\phi_{\{2\}}$ e $\phi_{\{1, 2\}}$ tramite la relazione di inclusione-esclusione.

• Identità di Tipo Menon: Il Teorema 3.0.2 stabilisce un'identità di tipo Menon per la funzione $\varphi_J(n)$ quando $1 \in J. Essa mette in relazione la somma di una funzione$f$ sul massimo comun divisore della somma lineare e di $n$ con il valore totiente $\varphi_J(n)$, generalizzando risultati precedenti di Tóth [Tót21].

• Congruenze Lineari Restritte: Il lavoro applica queste funzioni totiente generalizzate per contare le soluzioni di congruenze lineari ristrette della forma $\sum a_i x_i \equiv b \pmod n$ soggette a $\gcd(e_j(x), n) = 1$. Il Teorema 4.0.2 mostra che per $\gcd(b, n)=1$, il numero di soluzioni è dato da $g_k(n) = \varphi_{F'}(n) / \phi(n)$, dove $F'$ include la forma lineare e i vincoli simmetrici. Viene fornito un conteggio esplicito delle soluzioni per il caso in cui il vincolo è $\gcd(e_2(x), n)=1$.

Significato e Affermazioni
Gli autori affermano di estendere il quadro delle funzioni totiente generalizzate oltre gli insiemi precedentemente studiati $\{e_1, e_k\}$ per includere la seconda somma simmetrica elementare $e_2$. Il significato risiede in:

1. Collegamenti Strutturali: Rivelare connessioni più profonde tra gli zeri dei polinomi sui campi finiti, le congruenze lineari ristrette e le generalizzazioni della funzione totiente di Eulero.
2. Proprietà di Divisibilità: Stabilire che i nuovi totienti basati su $e_2$ condividono proprietà di divisibilità con la funzione totiente di Eulero standard $\phi(n)$, analogamente ai risultati precedenti di Tóth per $\{e_1, e_k\}$.
3. Calcolabilità Esplicita: Fornire formule di prodotto concrete e calcolabili per casi che coinvolgono forme quadratiche ($e_2$), che in precedenza erano aperti o meno esplorati.

Il lavoro conclude con modestia notando che, sebbene siano state derivate forme esplicite per le generalizzazioni basate su $e_2$, l'analisi per le somme simmetriche elementari di ordine superiore ($e_l$ per $l > 2$) rimane un problema aperto. Gli autori forniscono inoltre un metodo che utilizza il teorema di Lucas per contare le soluzioni di $e_l(x) \equiv 0 \pmod 2$ per $l$ generico, sebbene le formule di prodotto esplicite per $l$ generico non siano completamente sviluppate in questo lavoro.