Some Generalizations of Totient Function with Elementary Symmetric Sums

技术摘要：基于初等对称和的欧拉函数推广

问题陈述
本文探讨了在初等对称和背景下欧拉函数的推广。尽管 Tóth [Tót22] 最近的工作基于第一 ($e_1$) 和第 $k$ 个 ($e_k$) 初等对称和建立了一个 $k$ 维广义欧拉函数，且 Csizmadia 和 Tóth [CT25] 将其扩展到了任意多项式集合，但仍需分析中间对称和，特别是第二初等对称和 $e_2(x) = \sum_{1 \le i < j \le k} x_i x_j$。

核心问题涉及在环 $\mathbb{Z}_n^k$ 上定义并推导两个不同计数函数的显式乘积公式：

1. $\phi_J(n)$：满足对称和集合 $\{e_j\}_{j \in J}$ 与 $n$ 的最大公约数为 1 的元组 $(x_1, \dots, x_k)$ 的数量（即 $\gcd(e_{j_1}, \dots, e_{j_m}, n) = 1$）。
2. $\varphi_J(n)$：满足每个单独的对称和均与 $n$ 互素的元组数量（即对所有 $j \in J$，$\gcd(e_j, n) = 1$）。

作者特别关注涉及第二对称和的集合 $J$，例如 $\{2\}$、$\{1, 2\}$、$\{2, k\}$ 和 $\{1, 2, k\}$。

方法论
该方法论依赖于这些函数的乘法性质以及在有限域上多项式同余方程解的计数。

1. 归约至有限域：遵循 Csizmadia 和 Tóth [CT25] 的框架，作者利用 $\phi_J(n)$ 具有乘法性的事实。问题被归约为计算 $N_J(p)$，即集合 $J$ 中多项式在有限域 $\mathbb{F}_p$ 上的公共零点数量。乘积公式随后由 $\phi_J(n) = n^k \prod_{p|n} (1 - N_J(p)/p^k)$ 给出。
2. 二次型分析：对于集合 $J=\{2\}$，条件 $e_2(x) \equiv 0 \pmod p$ 代表一个二次型。作者分析相关的对称矩阵 $A$ 以确定该形式是退化的还是非退化的。他们应用了关于 $\mathbb{F}_p$ 上非退化二次方程解数的标准结果（引理 2.0.3，引用 Lidl 和 Niederreiter [LN97]），根据 $k$ 的奇偶性和特征 $p$ 区分情况。
3. 容斥原理：为了处理涉及多个对称和的集合（例如 $J=\{1, 2\}$ 或 $J=\{2, k\}$），作者采用了容斥原理。定理 3.0.1 建立了 $J$ 的子集上的容斥关系，从而在 $\phi_J$ 和 $\varphi_J$ 之间建立联系。定理 2.0.4 提供了一种递归方法来计算当 $J$ 包含 $e_k$ 时的 $N_J(p)$，方法是将其与特定变量为零时的解相关联。
4. 单位根筛选法：对于 $p=2$ 的情况，由于标准奇素数二次型理论不能直接适用，作者利用单位根筛选法（特别是使用 $\omega_4 = i$）根据向量中非零分量的数量来计数解。

主要贡献与结果

• 显式乘积公式：本文推导了针对几个特定集合 $J$ 的 $\phi_J(n)$ 和 $\varphi_J(n)$ 的显式乘积公式：

  • $\phi_{\{2\}}(n)$：在定理 2.0.1 中推导得出，提供了 $e_2(x) \equiv 0 \pmod p$ 的解数，涵盖了 $k$ 为奇数和偶数的情况，以及 $p=2$ 的情况。
  • $\phi_{\{1, 2\}}(n)$：在定理 2.0.2 中推导得出，处理了 $e_1$ 和 $e_2$ 同时为零的情况。
  • $\phi_{\{2, k\}}(n)$ 和 $\phi_{\{1, 2, k\}}(n)$：在推论 2.0.5 和 2.0.6 中，利用递归容斥方法推导得出。
  • $\varphi_{\{1, 2\}}(n)$：在定理 3.0.3 中，通过容斥关系结合 $\phi_{\{1\}}$、$\phi_{\{2\}}$ 和 $\phi_{\{1, 2\}}$ 的结果推导得出。

• Menon 型恒等式：定理 3.0.2 建立了当 $1 \in J$ 时函数 $\varphi_J(n)$ 的 Menon 型恒等式。它将函数 $f$ 在线性 sum 与 $n$ 的最大公约数上的求和与欧拉函数值 $\varphi_J(n)$ 联系起来，推广了 Tóth [Tót21] 之前的结果。

• 受限线性同余方程：本文应用这些广义欧拉函数来计数形式为 $\sum a_i x_i \equiv b \pmod n$ 且受限于 $\gcd(e_j(x), n) = 1$ 的受限线性同余方程的解。定理 4.0.2 表明，当 $\gcd(b, n)=1$ 时，解的数量由 $g_k(n) = \varphi_{F'}(n) / \phi(n)$ 给出，其中 $F'$ 包含线性形式和对称约束。针对约束条件为 $\gcd(e_2(x), n)=1$ 的情况，提供了显式的解数。

意义与主张
作者声称将广义欧拉函数的框架从先前研究的集合 $\{e_1, e_k\}$ 扩展到了包含第二初等对称和 $e_2$。其意义在于：

1. 结构联系：揭示了有限域上的多项式零点、受限线性同余方程与广义欧拉函数之间更深层的联系。
2. 整除性质：确立了基于新 $e_2$ 的欧拉函数与标准欧拉函数 $\phi(n)$ 共享整除性质，这与 Tóth 早期关于 $\{e_1, e_k\}$ 的发现类似。
3. 显式可计算性：为涉及二次型（$e_2$）的情况提供了具体且可计算的乘积公式，而这些情况此前是未解决的或较少被探索的。

本文在结尾谦逊地指出，虽然推导出了基于 $e_2$ 的推广的显式形式，但针对高阶初等对称和（$l > 2$ 的 $e_l$）的分析仍然是一个未解决的问题。作者还提供了一种利用卢卡斯定理（Lucas' theorem）来计算一般 $l$ 下 $e_l(x) \equiv 0 \pmod 2$ 解数的方法，尽管本文并未完全推导出一般 $l$ 的显式乘积公式。