Some Generalizations of Totient Function with Elementary Symmetric Sums

技術的概要：初等対称和を用いたオイラー関数の一般化に関するいくつかの一般化

問題提起
本論文は、初等対称和の文脈におけるオイラーのトーシェント関数の一般化を取り扱っている。Tóth [Tót22] による最近の研究は、最初の初等対称和 $e_1$ と $k$ 番目の初等対称和 $e_k$ に基づく $k$ 次元の一般化されたトーシェント関数を確立し、Csizmadia と Tóth [CT25] はこれを任意の多項式の集合へ拡張したが、中間的な対称和、特に第二初等対称和 $e_2(x) = \sum_{1 \le i < j \le k} x_i x_j$ を分析する必要性が残されていた。

核心的な問題は、環 $\mathbb{Z}_n^k$ 上の 2 つの異なる数え上げ関数について、明示的な積公式を定義し導出することである：

1. $\phi_J(n)$：対称和の集合 $\{e_j\}_{j \in J}$ と $n$ の最大公約数が 1 であるような $k$ 組 $(x_1, \dots, x_k)$ の個数（すなわち、$\gcd(e_{j_1}, \dots, e_{j_m}, n) = 1$）。
2. $\varphi_J(n)$：各対称和が個別に $n$ と互いに素であるような $k$ 組の個数（すなわち、すべての $j \in J$ に対して $\gcd(e_j, n) = 1$）。

著者らは、特に $\{2\}$、$\{1, 2\}$、$\{2, k\}$、および $\{1, 2, k\}$ などの第二対称和を含む集合 $J$ に焦点を当てている。

手法
手法は、これらの関数の乗法的性質と、有限体上の多項式合同式の解の数え上げに依存している。

1. 有限体への還元：Csizmadia と Tóth [CT25] の枠組みに従い、著者らは $\phi_J(n)$ が乗法的であるという事実を利用する。問題は、有限体 $\mathbb{F}_p$ 上の $J$ に含まれる多項式の共通零点の個数 $N_J(p)$ を計算することに還元される。積公式は $\phi_J(n) = n^k \prod_{p|n} (1 - N_J(p)/p^k)$ として与えられる。
2. 二次形式の解析：集合 $J=\{2\}$ の場合、条件 $e_2(x) \equiv 0 \pmod p$ は二次形式を表す。著者らは、その形式が退化しているか非退化しているかを判定するために、関連する対称行列 $A$ を解析する。Lidl と Niederreiter [LN97] を引用する補題 2.0.3 に基づく標準的な結果を適用し、$\mathbb{F}_p$ 上の非退化二次方程式の解の個数について、$k$ の偶奇と標数 $p$ に基づいて場合分けを行う。
3. 包除原理：複数の対称和を含む集合（例：$J=\{1, 2\}$ または $J=\{2, k\}$）を扱うために、著者らは包除原理を採用する。定理 3.0.1 は、$J$ の部分集合に対する包除原理を通じて $\phi_J$ と $\varphi_J$ の間の関係を確立する。定理 2.0.4 は、$J$ が $e_k$ を含む場合、特定の变量がゼロとなる解に関連付けることで $N_J(p)$ を計算する再帰的な手法を提供する。
4. 単位根フィルター：標準的な二次形式の理論が直接適用できない奇数素数以外の $p=2$ の場合、著者らは単位根フィルター（特に $\omega_4 = i$ を用いる）を利用し、ベクトル内の非ゼロ成分の数に基づいて解を数える。

主要な貢献と結果

• 明示的な積公式：本論文は、いくつかの特定の集合 $J$ に対する $\phi_J(n)$ と $\varphi_J(n)$ の明示的な積公式を導出した：

  • $\phi_{\{2\}}(n)$：定理 2.0.1 で導出され、$k$ が奇数および偶数の場合、ならびに $p=2$ の場合における $e_2(x) \equiv 0 \pmod p$ の解の個数を提供する。
  • $\phi_{\{1, 2\}}(n)$：定理 2.0.2 で導出され、$e_1$ と $e_2$ の同時消滅を扱う。
  • $\phi_{\{2, k\}}(n)$ および $\phi_{\{1, 2, k\}}(n)$：再帰的な包除手法を用いて、系 2.0.5 および 2.0.6 で導出された。
  • $\varphi_{\{1, 2\}}(n)$：包除関係を通じて $\phi_{\{1\}}$、$\phi_{\{2\}}$、および $\phi_{\{1, 2\}}$ の結果を組み合わせることで、定理 3.0.3 で導出された。

• メノン型恒等式：定理 3.0.2 は、$1 \in J$ である場合の関数 $\varphi_J(n)$ に対するメノン型恒等式を確立する。これは、線形和と $n$ の最大公約数に関する関数 $f$ の和を、トーシェント値 $\varphi_J(n)$ に関連付け、Tóth [Tót21] による以前の結果を一般化する。

• 制限付き線形合同式：本論文は、これらの一般化されたトーシェント関数を、$\gcd(e_j(x), n) = 1$ という条件の下での $\sum a_i x_i \equiv b \pmod n$ の形の制限付き線形合同式の解の数え上げに応用している。定理 4.0.2 は、$\gcd(b, n)=1$ の場合、解の個数が $g_k(n) = \varphi_{F'}(n) / \phi(n)$ で与えられることを示しており、ここで $F'$ は線形形式と対称的な制約を含む。特に、制約が $\gcd(e_2(x), n)=1$ である場合の解の個数に関する明示的な解が提供されている。

意義と主張
著者らは、以前研究された集合 $\{e_1, e_k\}$ を超えて、第二初等対称和 $e_2$ を含む一般化されたトーシェント関数の枠組みを拡張したと主張している。その意義は以下の点にある：

1. 構造的な関連性：有限体上の多項式の零点、制限付き線形合同式、および一般化されたオイラートーシェント関数の間のより深い関連性を明らかにすること。
2. 可除性の性質：新しい $e_2$ ベースのトーシェント関数が、Tóth による $\{e_1, e_k\}$ に関する以前の発見と同様に、標準的なオイラートーシェント関数 $\phi(n)$ と可除性の性質を共有することを確立すること。
3. 明示的な計算可能性：以前は未解決またはあまり探求されていなかった二次形式（$e_2$）を含む場合について、具体的かつ計算可能な積公式を提供すること。

本論文は、$e_2$ ベースの一般化については明示的な形式が導出されたものの、高次の初等対称和（$l > 2$ に対する $e_l$）の解析は未解決の問題であるという点で控えめに結論付けている。また、著者らは一般の $l$ に対する $e_l(x) \equiv 0 \pmod 2$ の解を数えるためのルカスの定理を用いた手法を提供しているが、一般の $l$ に対する明示的な積形式は本論文では完全に展開されていない。