Some Generalizations of Totient Function with Elementary Symmetric Sums

Resumo Técnico: Algumas Generalizações da Função Totiente com Somas Simétricas Elementares

Enunciado do Problema
O artigo aborda a generalização da função totiente de Euler no contexto das somas simétricas elementares. Embora trabalhos recentes de Tóth [Tót22] tenham estabelecido uma função totiente generalizada $k$-dimensional baseada na primeira ($e_1$) e na $k$-ésima ($e_k$) somas simétricas elementares, e Csizmadia e Tóth [CT25] tenham estendido isso para conjuntos arbitrários de polinômios, permanecia a necessidade de analisar somas simétricas intermediárias, especificamente a segunda soma simétrica elementar $e_2(x) = \sum_{1 \le i < j \le k} x_i x_j$.

O problema central envolve definir e derivar fórmulas de produto explícitas para duas funções de contagem distintas sobre o anel $\mathbb{Z}_n^k$:

1. $\phi_J(n)$: O número de $k$-tuplas $(x_1, \dots, x_k)$ tais que o máximo divisor comum do conjunto de somas simétricas $\{e_j\}_{j \in J}$ e $n$ é 1 (ou seja, $\gcd(e_{j_1}, \dots, e_{j_m}, n) = 1$).
2. $\varphi_J(n)$: O número de $k$-tuplas onde cada soma simétrica individual é coprima com $n$ (ou seja, $\gcd(e_j, n) = 1$ para todo $j \in J$).

Os autores focam especificamente em conjuntos $J$ que envolvem a segunda soma simétrica, como $\{2\}$, $\{1, 2\}$, $\{2, k\}$ e $\{1, 2, k\}$.

Metodologia
A metodologia baseia-se nas propriedades multiplicativas dessas funções e na enumeração de soluções para congruências polinomiais sobre corpos finitos.

1. Redução a Corpos Finitos: Seguindo o quadro de Csizmadia e Tóth [CT25], os autores utilizam o fato de que $\phi_J(n)$ é multiplicativa. O problema é reduzido ao cálculo de $N_J(p)$, o número de zeros comuns dos polinômios em $J$ sobre o corpo finito $\mathbb{F}_p$. A fórmula de produto é então dada por $\phi_J(n) = n^k \prod_{p|n} (1 - N_J(p)/p^k)$.
2. Análise de Formas Quadráticas: Para o conjunto $J=\{2\}$, a condição $e_2(x) \equiv 0 \pmod p$ representa uma forma quadrática. Os autores analisam a matriz simétrica associada $A$ para determinar se a forma é degenerada ou não degenerada. Eles aplicam resultados padrão (Lema 2.0.3, citando Lidl e Niederreiter [LN97]) sobre o número de soluções de equações quadráticas não degeneradas sobre $\mathbb{F}_p$, distinguindo casos com base na paridade de $k$ e na característica $p$.
3. Princípio da Inclusão-Exclusão: Para lidar com conjuntos que envolvem múltiplas somas simétricas (por exemplo, $J=\{1, 2\}$ ou $J=\{2, k\}$), os autores empregam o princípio da inclusão-exclusão. O Teorema 3.0.1 estabelece uma relação entre $\phi_J$ e $\varphi_J$ via inclusão-exclusão sobre subconjuntos de $J$. O Teorema 2.0.4 fornece um método recursivo para calcular $N_J(p)$ quando $J$ inclui $e_k$, relacionando-o a soluções onde variáveis específicas são zero.
4. Filtros de Raízes da Unidade: Para o caso $p=2$, onde a teoria padrão de formas quadráticas sobre primos ímpares não se aplica diretamente, os autores utilizam filtros de raízes da unidade (especificamente com $\omega_4 = i$) para contar soluções com base no número de componentes não nulas no vetor.

Contribuições e Resultados Principais

• Fórmulas de Produto Explícitas: O artigo deriva fórmulas de produto explícitas para $\phi_J(n)$ e $\varphi_J(n)$ para vários conjuntos específicos $J$:

  • $\phi_{\{2\}}(n)$: Derivado no Teorema 2.0.1, fornecendo a contagem de soluções para $e_2(x) \equiv 0 \pmod p$ para $k$ ímpar e par, e para $p=2$.
  • $\phi_{\{1, 2\}}(n)$: Derivado no Teorema 2.0.2, tratando do desaparecimento simultâneo de $e_1$ e $e_2$.
  • $\phi_{\{2, k\}}(n)$ e $\phi_{\{1, 2, k\}}(n)$: Derivados nos Corolários 2.0.5 e 2.0.6 usando o método recursivo de inclusão-exclusão.
  • $\varphi_{\{1, 2\}}(n)$: Derivado no Teorema 3.0.3 combinando os resultados para $\phi_{\{1\}}$, $\phi_{\{2\}}$ e $\phi_{\{1, 2\}}$ via relação de inclusão-exclusão.

• Identidades do Tipo Menon: O Teorema 3.0.2 estabelece uma identidade do tipo Menon para a função $\varphi_J(n)$ quando $1 \in J$. Relaciona a soma de uma função $f$ sobre o máximo divisor comum da soma linear e $n$ ao valor totiente $\varphi_J(n)$, generalizando resultados anteriores de Tóth [Tót21].

• Congruências Lineares Restritas: O artigo aplica essas funções totiente generalizadas para contar soluções de congruências lineares restritas da forma $\sum a_i x_i \equiv b \pmod n$ sujeitas a $\gcd(e_j(x), n) = 1$. O Teorema 4.0.2 mostra que, para $\gcd(b, n)=1$, o número de soluções é dado por $g_k(n) = \varphi_{F'}(n) / \phi(n)$, onde $F'$ inclui a forma linear e as restrições simétricas. Uma contagem explícita de soluções é fornecida para o caso em que a restrição é $\gcd(e_2(x), n)=1$.

Significado e Alegações
Os autores alegam estender o quadro das funções totiente generalizadas além dos conjuntos previamente estudados $\{e_1, e_k\}$ para incluir a segunda soma simétrica elementar $e_2$. O significado reside em:

1. Vínculos Estruturais: Revelar conexões mais profundas entre zeros de polinômios sobre corpos finitos, congruências lineares restritas e totientes de Euler generalizados.
2. Propriedades de Divisibilidade: Estabelecer que os novos totientes baseados em $e_2$ compartilham propriedades de divisibilidade com a função totiente de Euler padrão $\phi(n)$, semelhante às descobertas anteriores de Tóth para $\{e_1, e_k\}$.
3. Computabilidade Explícita: Fornecer fórmulas de produto concretas e computáveis para casos envolvendo formas quadráticas ($e_2$), que anteriormente estavam abertas ou menos exploradas.

O artigo conclui modestamente notando que, embora formas explícitas sejam derivadas para generalizações baseadas em $e_2$, a análise para somas simétricas elementares de ordem superior ($e_l$ para $l > 2$) permanece um problema em aberto. Os autores também fornecem um método usando o teorema de Lucas para contar soluções para $e_l(x) \equiv 0 \pmod 2$ para $l$ geral, embora formas de produto explícitas para $l$ geral não sejam totalmente desenvolvidas neste trabalho.