Some Generalizations of Totient Function with Elementary Symmetric Sums

기술적 요약: 기본 대칭합을 통한 오일러 피 함수의 일반화

문제 제기
본 논문은 기본 대칭합의 맥락에서 오일러 피 함수의 일반화를 다룬다. 최근 Tóth [Tót22] 의 연구는 첫 번째 ($e_1$) 및 $k$ 번째 ($e_k$) 기본 대칭합에 기반한 $k$ 차원 일반화 피 함수를 확립했고, Csizmadia 와 Tóth [CT25] 는 이를 임의의 다항식 집합으로 확장했으나, 특히 두 번째 기본 대칭합 $e_2(x) = \sum_{1 \le i < j \le k} x_i x_j$와 같은 중간 대칭합을 분석할 필요성이 남아 있었다.

핵심 문제는 환 $\mathbb{Z}_n^k$ 위에서 두 가지 서로 다른 세기 함수에 대한 명시적 곱 공식을 정의하고 유도하는 것이다:

1. $\phi_J(n)$: 대칭합 집합 $\{e_j\}_{j \in J}$와 $n$의 최대공약수가 1 이 되는 튜플 $(x_1, \dots, x_k)$의 개수 (즉, $\gcd(e_{j_1}, \dots, e_{j_m}, n) = 1$).
2. $\varphi_J(n)$: 각 개별 대칭합이 $n$과 서로소인 튜플의 개수 (즉, 모든 $j \in J$에 대해 $\gcd(e_j, n) = 1$).

저자들은 특히 $\{2\}$, $\{1, 2\}$, $\{2, k\}$, $\{1, 2, k\}$와 같이 두 번째 대칭합을 포함하는 집합 $J$에 초점을 맞춘다.

방법론
방법론은 이러한 함수들의 곱셈적 성질과 유한체 위의 다항식 합동식의 해를 세는 것에 의존한다.

1. 유한체로의 축소: Csizmadia 와 Tóth [CT25] 의 프레임워크에 따라, 저자들은 $\phi_J(n)$이 곱셈적이라는 사실을 활용한다. 문제는 유한체 $\mathbb{F}_p$ 위에서 $J$에 속한 다항식들의 공통 영점의 개수인 $N_J(p)$를 계산하는 문제로 축소된다. 곱 공식은 $\phi_J(n) = n^k \prod_{p|n} (1 - N_J(p)/p^k)$로 주어진다.
2. 이차형식 분석: 집합 $J=\{2\}$의 경우, 조건 $e_2(x) \equiv 0 \pmod p$는 이차형을 나타낸다. 저자들은 해당 대칭 행렬 $A$를 분석하여 형식이 퇴화되었는지 비퇴화되었는지 판단한다. Lidl 와 Niederreiter [LN97] 를 인용한 보조정리 2.0.3 과 같은 표준 결과를 적용하여 $\mathbb{F}_p$ 위의 비퇴화 이차 방정식의 해 개수를 결정하며, $k$의 패리티와 표수 $p$에 따라 경우를 구분한다.
3. 포함 - 배제 원리: 여러 대칭합을 포함하는 집합 (예: $J=\{1, 2\}$ 또는 $J=\{2, k\}$) 을 처리하기 위해 저자들은 포함 - 배제 원리를 사용한다. 정리 3.0.1 은 $J$의 부분집합에 대한 포함 - 배제를 통해 $\phi_J$와 $\varphi_J$ 사이의 관계를 수립한다. 정리 2.0.4 는 $J$가 $e_k$를 포함할 때, 특정 변수가 0 인 해와 관련시켜 $N_J(p)$를 계산하는 재귀적 방법을 제공한다.
4. 근의 필터: 표준 이차형식 이론이 직접 적용되지 않는 $p=2$의 경우, 저자들은 벡터의 0 이 아닌 성분의 개수에 기반하여 해를 세기 위해 근의 필터 (특히 $\omega_4 = i$ 사용) 를 활용한다.

주요 기여 및 결과

• 명시적 곱 공식: 본 논문은 몇 가지 특정 집합 $J$에 대해 $\phi_J(n)$과 $\varphi_J(n)$에 대한 명시적 곱 공식을 유도한다:

  • $\phi_{\{2\}}(n)$: 정리 2.0.1 에서 유도되었으며, $k$가 홀수와 짝수일 때 그리고 $p=2$일 때 $e_2(x) \equiv 0 \pmod p$의 해 개수를 제공한다.
  • $\phi_{\{1, 2\}}(n)$: 정리 2.0.2 에서 유도되었으며, $e_1$과 $e_2$의 동시 소멸을 처리한다.
  • $\phi_{\{2, k\}}(n)$ 및 $\phi_{\{1, 2, k\}}(n)$: 재귀적 포함 - 배제 방법을 사용하여 부록 2.0.5 와 2.0.6 에서 유도되었다.
  • $\varphi_{\{1, 2\}}(n)$: 포함 - 배제 관계를 통해 $\phi_{\{1\}}$, $\phi_{\{2\}}$, $\phi_{\{1, 2\}}$에 대한 결과를 결합하여 정리 3.0.3 에서 유도되었다.

• 메논 유형 항등식: 정리 3.0.2 는 $1 \in J$일 때 함수 $\varphi_J(n)$에 대한 메논 유형 항등식을 수립한다. 이는 선형합과 $n$의 최대공약수 위의 함수 $f$의 합을 피 함수 값 $\varphi_J(n)$과 연관시켜, Tóth [Tót21] 의 이전 결과를 일반화한다.

• 제한된 선형 합동식: 본 논문은 이러한 일반화 피 함수를 $\gcd(e_j(x), n) = 1$이라는 조건 하에 $\sum a_i x_i \equiv b \pmod n$ 형태의 제한된 선형 합동식의 해 개수를 세는 데 적용한다. 정리 4.0.2 는 $\gcd(b, n)=1$일 때, 해의 개수가 $g_k(n) = \varphi_{F'}(n) / \phi(n)$으로 주어짐을 보여준다. 여기서 $F'$은 선형 형식과 대칭 제약조건을 포함한다. 제약조건이 $\gcd(e_2(x), n)=1$인 경우에 대한 명시적 해 개수가 제공된다.

의의 및 주장
저자들은 이전에 연구된 $\{e_1, e_k\}$ 집합을 넘어 두 번째 기본 대칭합 $e_2$를 포함하도록 일반화 피 함수의 프레임워크를 확장했다고 주장한다. 그 의의는 다음과 같다:

1. 구조적 연결: 유한체 위의 다항식 영점, 제한된 선형 합동식, 일반화 오일러 피 함수 사이의 더 깊은 연결을 밝힌다.
2. 나눗셈 성질: 새로운 $e_2$ 기반 피 함수가 Tóth 의 이전 $\{e_1, e_k\}$ 연구 결과와 유사하게 표준 오일러 피 함수 $\phi(n)$과 나눗셈 성질을 공유함을 입증한다.
3. 명시적 계산 가능성: 이전에 미해결이거나 덜 탐구되었던 이차형식 ($e_2$) 을 포함하는 경우에 대한 구체적이고 계산 가능한 곱 공식을 제공한다.

논문은 $e_2$ 기반 일반화에 대한 명시적 형태가 유도되었지만, 고차 기본 대칭합 ($l > 2$인 $e_l$) 에 대한 분석은 여전히 미해결 문제임을 겸손하게 지적하며 마무리한다. 저자들은 또한 일반적인 $l$에 대해 $e_l(x) \equiv 0 \pmod 2$의 해를 세기 위해 루카스 정리를 사용하는 방법을 제시하지만, 본 작업에서는 일반적인 $l$에 대한 명시적 곱 형태는 완전히 개발되지 않았다.