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On transcendence of non-periodic continued fractions associated with modular forms and arithmetic functions

यह शोध पत्र विभिन्न अंकगणितीय फलनों के अनुक्रमों के $m$ modulo में गैर-आवधिकता (non-periodicity) के लिए पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करता है और इन परिणामों का उपयोग विशिष्ट सतत भिन्नों (continued fractions) की अपरिमेयता (transcendence) को सिद्ध करने के लिए करता है, जिनमें रामानुजन ताऊ फलन और यूलर का टोटिएंट फलन शामिल हैं।

मूल लेखक: Tapas Chatterjee, Sagar Mandal

प्रकाशित 2026-02-17

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Tapas Chatterjee, Sagar Mandal

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप एक अनंत, जादुई टेपेस्ट्री (तस्वीर या बुनाई) के सामने खड़े हैं। यह टेपेस्ट्री संख्याओं से बुनी गई है, और इसका पैटर्न विशेष गणितीय नियमों द्वारा निर्धारित होता है जिन्हें अंकगणितीय फलन (arithmetic functions) कहा जाता है। कुछ नियम बहुत प्रसिद्ध हैं, जैसे रामानुजन ताऊ फंक्शन (Ramanujan tau function) (संख्या सिद्धांत का एक सुपरस्टार), और कुछ अधिक विनम्र हैं, जैसे कि यह गिनना कि संख्याओं को समूहों में जोड़ने के कितने तरीके हैं।

जिस शोध पत्र के बारे में आप पूछ रहे हैं, वह एक जासूसी कहानी की तरह है। लेखक, तपस चटर्जी और सागर मंडल, इन संख्यात्मक पैटर्नों के बारे में दो बड़े रहस्यों को सुलझाने की कोशिश कर रहे हैं:

टूटे हुए लूप का रहस्य (The Mystery of the Broken Loop): क्या ये संख्यात्मक पैटर्न कभी एक पूर्ण, अनुमानित चक्र में खुद को दोहराते हैं?
जादुई संख्या का रहस्य (The Mystery of the Magic Number): यदि हम इन पैटर्नों को एक विशिष्ट प्रकार के अनंत भिन्न (जिसे कंटीन्यूड फ्रैक्शन/continued fraction कहा जाता है) में बुनते हैं, तो क्या हम एक ऐसी संख्या बनाते हैं जो इतनी अद्वितीय और जटिल है कि वह कभी भी एक सरल बीजगणितीय समीकरण (algebraic equation) का समाधान नहीं हो सकती? (ऐसी संख्याओं को ट्रांसेंडेंटल (transcendental) कहा जाता है, जैसे $\pi$ या $e$ )।

यहाँ उनकी खोज की कहानी दी गई है, जिसे सरल रूप में समझाया गया है।

भाग 1: टूटा हुआ लूप (गैर-आवर्तता / Non-Periodicity)

कल्पना कीजिए कि आप एक गाना सुन रहे हैं। यदि गाना आवर्ती (periodic) है, तो यह एक आकर्षक कोरस की तरह है जो हर 30 सेकंड में दोहराया जाता है: ला-ला-ला, बूम-बूम, ला-ला-ला, बूम-बूम। आप सटीक रूप से अनुमान लगा सकते हैं कि आगे क्या होने वाला है क्योंकि पैटर्न एक लूप में लॉक है।

लेखक जानना चाहते थे: क्या इन संख्या अनुक्रमों (sequences) में कोई "आकर्षक कोरस" होता है?

उन्होंने उन अनुक्रमों को देखा जो प्रसिद्ध संख्याओं (जैसे रामानुजन ताऊ फंक्शन या यूलर टोटिएंट फंक्शन) को एक विशिष्ट संख्या $m$ से विभाजित करके उनके शेषफल (remainder) को देखने से बनते हैं। उदाहरण के लिए, यदि अनुक्रम $1, 5, 12, 7... $है और हम इसे 5 से विभाजित करते हैं, तो शेषफल$ 1, 0, 2, 2...$ होंगे।

खोज:
लेखकों ने सिद्ध किया कि इन प्रसिद्ध अनुक्रमों में से कई के लिए, कोई आकर्षक कोरस नहीं है। पैटर्न कभी भी एक दोहराने वाले लूप में स्थिर नहीं होता है। यह हमेशा एक ऐसे तरीके से बदलता रहता है जो अप्रत्याशित और गैर-दोहराने वाला है।

उन्होंने इसे कैसे सिद्ध किया?
उन्होंने अभाज्य संख्याओं (prime numbers) (वे संख्याएँ जैसे 2, 3, 5, 7, 11 जिन्हें किसी और से विभाजित नहीं किया जा सकता) से जुड़ा एक चतुर तरीका इस्तेमाल किया।

अनुक्रम को एक ऐसी मशीन के रूप में सोचें जो एक अभाज्य संख्या लेती है और एक शेषफल बाहर निकालती है।
लेखकों ने दिखाया कि यदि आप इस मशीन में अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ डालते हैं, तो यह ऐसे शेषफल देती है जो किसी भी दोहराने वाले चक्र में फिट होने के लिए "बहुत अलग" होते हैं।
उन्होंने किसी भी संभावित लूप को तोड़ने के लिए विशिष्ट अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक गणितीय "आवर्धक लेंस" (Dirichlet's Theorem) का उपयोग किया।

यह क्यों मायने रखता है?
यह हमें बताता है कि ये संख्यात्मक पैटर्न स्वाभाविक रूप से अराजक (chaotic) और जटिल हैं। वे केवल सरल, दोहराने वाली लय नहीं हैं; वे जंगली, स्वतंत्र रूप से बहने वाली डेटा की धाराएं हैं।

भाग 2: जादुई संख्या (ट्रांसेंडेंस / Transcendence)

अब, कल्पना कीजिए कि आप उस गैर-दोहराने वाले शेषफल अनुक्रम को लेते हैं और उससे एक कंटीन्यूड फ्रैक्शन (Continued Fraction) बनाते हैं।

कंटीन्यूड फ्रैक्शन को रूसी गुड़िया (Russian nesting doll) की तरह समझें, लेकिन गुड़ियों के बजाय, इसमें भिन्न के भीतर भिन्न होते हैं।
$0 + \frac{1}{d_1 + \frac{1}{d_2 + \frac{1}{d_3 + \dots}}}$
यहाँ संख्याएँ $d_1, d_2, d_3$ हमारे अनुक्रमों के शेषफल हैं।

लेखकों ने पूछा: यदि हम इन गैर-दोहराने वाले अनुक्रमों का उपयोग करके एक संख्या बनाते हैं, तो क्या परिणामी संख्या "विशेष" होती है?

गणित में, दो प्रकार की संख्याएँ होती हैं:

बीजगणितीय संख्याएँ (Algebraic Numbers): ये वे संख्याएँ हैं जो सरल समीकरणों के समाधान हैं (जैसे $x^2 - 2 = 0$ , जहाँ $x = \sqrt{2}$ )। ये "पालतू" (tame) होती हैं।
ट्रांसेंडेंटल संख्याएँ (Transcendental Numbers): ये इतनी जंगली होती हैं कि ये किसी भी सरल पूर्णांक समीकरण का समाधान नहीं हो सकतीं। ये "अनियंत्रित" (untamable) होती हैं। प्रसिद्ध उदाहरण $\pi$ (एक वृत्त की परिधि और उसके व्यास का अनुपात) और $e$ (प्राकृतिक लघुगणक का आधार) हैं।

खोज:
लेखकों ने सिद्ध किया कि यदि वे उन गैर-दोहराने वाले अनुक्रमों का उपयोग करके एक संख्या बनाते हैं जिनका उन्होंने अध्ययन किया है (जैसे रामानुजन ताऊ फंक्शन या टोटिएंट फंक्शन), तो परिणामी संख्या हमेशा एक ट्रांसेंडेंटल संख्या (Transcendental Number) होती है।

उपमा (Analogy):
कल्पना कीजिए कि आप ईंटों से एक मीनार बना रहे हैं।

यदि ईंटें एक सरल, दोहराने वाले पैटर्न का पालन करती हैं (जैसे लाल, नीला, लाल, नीला), तो मीनार स्थिर और अनुमानित हो सकती है (बीजगणितीय)।
लेकिन लेखकों ने दिखाया कि यदि आप ऐसी ईंटों का उपयोग करते हैं जो एक जंगली, गैर-दोहराने वाले पैटर्न (जैसे कि अध्ययन किए गए अनुक्रम) का पालन करती हैं, तो परिणामी मीनार इतनी संरचनात्मक रूप से अद्वितीय और जटिल होती है कि वह सभी मानक ज्यामिति के नियमों को चुनौती देती है। यह एक "ट्रांसेंडेंटल" मीनार बन जाती है।

पात्रों की टोली (The Cast of Characters)

यह शोध पत्र इन संख्या पैटर्नों के एक पूरे "परिवार" की जांच करता है:

रामानुजन ताऊ फंक्शन ( $\tau(n)$ ): यह समूह का रॉकस्टार है। यह "मॉड्यूलर फॉर्म्स" (ऐसे आकार जो विशिष्ट तरीकों से खींचने या मोड़ने पर भी समान दिखते हैं) के अध्ययन से आता है।
आइसनस्टीन सीरीज़ ( $E_k$ ): मॉड्यूलर फॉर्म्स का एक अन्य समूह जो संख्याओं के कोरस की तरह कार्य करता है।
टोटिएंट फंक्शन्स ( $\phi, \Phi, J_k$ ): ये "गिनती करने वाली मशीनों" की तरह हैं। ये गिनते हैं कि कितनी संख्याएँ किसी विशिष्ट संख्या के साथ "मैत्रीपूर्ण" (coprime) हैं।
डिविसर सम्स ( $\sigma$ ): ये किसी संख्या के सभी गुणनखंडों को जोड़ते हैं।

लेखकों ने दिखाया कि इनमें से सभी, जब शेषफल के नजरिए से देखे जाते हैं, तो खुद को दोहराने से इनकार करते हैं। और क्योंकि वे खुद को दोहराने से इनकार करते हैं, इसलिए उनका उपयोग उन "अनियंत्रित" ट्रांसेंडेंटल संख्याओं को बनाने के लिए किया जा सकता है।

बड़ी तस्वीर (The Big Picture)

एक सामान्य व्यक्ति को इसकी परवाह क्यों होनी चाहिए?

अराजकता को समझना: यह हमें समझने में मदद करता है कि पूर्ण संख्याओं की कठोर दुनिया में भी, अनंत जटिलता और अप्रत्याशितता मौजूद है।
नई जादुई संख्याएँ: यह शोध पत्र हमें नए ट्रांसेंडेंटल नंबर बनाने की रेसिपी देता है। इससे पहले, हम मुख्य रूप से $\pi$ और $e$ के बारे में जानते थे। अब, हमारे पास इन प्राचीन संख्या पैटर्नों से प्राप्त कई नए, अजीब नंबरों का एक पूरा किचन है।
पैटर्न की शक्ति: यह दिखाता है कि जब हम संख्याओं के व्यवहार को उनके विभाजन (शेषफल) के माध्यम से देखते हैं, तो हम वास्तविकता और गणित के गहरे रहस्यों को अनलॉक कर सकते हैं।

संक्षेप में, लेखकों ने कई प्रसिद्ध संख्या अनुक्रमों को लिया, यह सिद्ध किया कि वे कभी ऊबकर खुद को दोहराते नहीं हैं, और फिर उस अनंत विविधता का उपयोग करके नई, जादुई संख्याएँ बनाईं जो सरल समीकरणों की पहुँच से परे हैं।

यहाँ तपस चटर्जी और सागर मंडल के शोध पत्र "On Transcendence of Non-Periodic Continued Fractions Associated with Modular Forms and Arithmetic Functions" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र संख्या सिद्धांत (number theory) और ट्रांसेंडेंटल नंबर थ्योरी (transcendental number theory) में दो परस्पर जुड़े हुए समस्याओं को संबोधित करता है:

अंकगणितीय अनुक्रमों की गैर-आवधिकता (Non-Periodicity of Arithmetic Sequences): विभिन्न अंकगणितीय फलनों $f(n)$ और मापांक (moduli) $m$ के लिए पर्याप्त स्थितियाँ निर्धारित करना जिनके तहत अनुक्रम $\{f(n) \pmod m\}_{n \ge 1}$ गैर-आवधिक (अर्थात, अंततः आवधिक नहीं) होता है।
ट्रांसेंडेंटल संख्याओं का निर्माण (Construction of Transcendental Numbers): इन अनुक्रमों की गैर-आवधिकता का उपयोग करके विशिष्ट निरंतर भिन्नों (continued fractions) का निर्माण करना जो ट्रांसेंडेंटल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

लेखक निम्नलिखित से प्राप्त अनुक्रमों पर ध्यान केंद्रित करते हैं:

मॉड्यूलर फॉर्म्स (Modular Forms): रामानुजन ताऊ फलन $\tau(n)$ और सामान्यीकृत आइजनस्टीन सीरीज़ (normalized Eisenstein series) $E_k(z)$ के फूरियर गुणांक।
अंकगणितीय फलन (Arithmetic Functions): नाथन्सन का टोटिएंट फलन $\Phi(n)$ , यूलर का टोटिएंट फलन $\phi(n)$ , विभाजकों का योग फलन $\sigma(n)$ , उनका डिरिचलेट कॉन्वोल्यूशन (Dirichlet convolution) $\sigma * \phi(n)$ , जॉर्डन का टोटिएंट फलन $J_k(n)$ , और यूनिटरी टोटिएंट फलन $\phi^*(n)$ ।

2. कार्यप्रणाली (Methodology)

लेखक विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत (analytic number theory), मॉड्यूलर फॉर्म सिद्धांत और डायोफेंटाइन सन्निकटन (Diophantine approximation) तकनीकों के संयोजन का उपयोग करते हैं।

A. गैर-आवधिकता के मानदंड (Criteria for Non-Periodicity)

गैर-आवधिकता को सिद्ध करने के लिए उनकी कार्यप्रणाली का मूल डिरिचलेट प्राइम नंबर थ्योरम (Dirichlet Prime Number Theorem) का उपयोग करके विरोधाभास द्वारा सिद्ध करना है। लेखक दो सामान्य प्रमेय (प्रमेय 1.9 और 1.10) स्थापित करते हैं जो उनके विशिष्ट परिणामों का आधार बनते हैं:

प्रमेय 1.9: यदि एक अंकगणितीय फलन $f$ इस प्रकार संतुष्ट करता है कि यदि $p \mid n$ तो $f(p) \mid f(n)$ , और यदि $m \nmid f(p)$ अनंत अभाजों के लिए और $p \equiv 1 \pmod{K(m)}$ वाले अभाजों के लिए $m \mid f(p)$ है, तो $\{f(n) \pmod m\}$ गैर-आवधिक है।
प्रमेय 1.10: यदि $f$ वर्ग-मुक्त पूर्णांकों (square-free integers) के लिए गुणात्मक (multiplicative) है, और $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ में दो भिन्न अवशेष $r_1, r_2$ मौजूद हैं ताकि $p \equiv 1 \pmod m$ के लिए $f(p) \equiv r_1 \pmod m$ और अन्य अनंत अभाजों के लिए $f(p) \equiv r_2 \pmod m$ हो, तो अनुक्रम गैर-आवधिक है।

इन सामान्य प्रमेयों को ज्ञात सर्वांगसमता गुणों (congruence properties) का लाभ उठाते हुए विशिष्ट फलनों पर लागू किया जाता है:

रामानुजन $\tau(n)$ : रामानुजन की सर्वांगमताओं (जैसे, $\tau(n) \equiv n\sigma_1(n) \pmod 5$ ) और $\tau(n)$ की गुणनीयता (multiplicativity) का उपयोग करना।
आइजनस्टीन सीरीज़: $E_k(z)$ के स्पष्ट फूरियर विस्तारों का उपयोग करना जो विभाजक योगों $\sigma_{k-1}(n)$ से संबंधित हैं।
नाथन्सन के फलन: $g(n+1) - g(n) = \frac{1}{2}\Phi(n+1)$ और पूर्व कार्य (लेम्मा 2.3) में स्थापित $\Phi(n)$ के गुणों का उपयोग करना।

B. ट्रांसेंडेंटल संख्याओं का निर्माण (Construction of Transcendental Numbers)

ट्रांसेंडेंस सिद्ध करने के लिए, लेखक एडमज़ेव्स्की, बुगेउड और डेविसन (प्रमेय 2.5) के एक प्रमेय का उपयोग करते हैं।

प्रमेय 2.5: यह बताता है कि यदि $\theta$ $(0,1)$ में एक अपरिमेय संख्या है, और एक पूर्णांकों का अनुक्रम $d_n = 1 + ([n\theta] \pmod k)$ बनाया जाता है, तो निरंतर भिन्न $[0; d_1, d_2, \dots]$ एक ट्रांसेंडेंटल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।
अनुप्रयोग: लेखक $\alpha_{k,m}$ का निर्माण करते हैं जहाँ आंशिक भाग (partial quotients) $d_{n,k,m}$ अंकगणितीय फलनों के आंशिक योगों (modulo $m$ ) से व्युत्पन्न होते हैं (विशेष रूप से, $d_{n,k,m} = 1 + ([\sum_{r=1}^n f(r) \pmod m / 10^r] \pmod k)$ )।
तर्क: चूंकि $\{f(n) \pmod m\}$ अनुक्रम गैर-आवधिक सिद्ध हुए हैं, इसलिए इन श्रेणियों द्वारा परिभाषित परिणामी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं। निरंतर भिन्न के आंशिक भागों की विशिष्ट संरचना फिर प्रमेय 2.5 के माध्यम से ट्रांसेंडेंस की गारंटी देती है।

3. प्रमुख योगदान और परिणाम (Key Contributions and Results)

A. गैर-आवधिकता के परिणाम (Non-Periodicity Results)

यह शोध पत्र विशिष्ट पूर्णांकों के लिए अनुक्रमों की गैर-आवधिकता को स्थापित करता है:

रामानुजन ताऊ फलन: $\{\tau(n) \pmod m\}$ $m \in \{5, 7, 8, 9, 691\}$ के लिए गैर-आवधिक है।
आइजनस्टीन सीरीज़ गुणांक: $E_4, E_6, E_8, E_{10}, E_{14}$ के गुणांकों के अनुक्रम विशिष्ट सह-अभाजता स्थितियों (coprimality conditions) के तहत $m$ के लिए गैर-आवधिक हैं (जैसे, $E_4$ के लिए, $m \ge 3$ और $\gcd(m, 240)=1$ )।
सामान्यीकृत टोटिएंट फलन:
- $\{g(n) \pmod m\}$ सभी विषम $m \ge 5$ के लिए गैर-आवधिक है।
- $\{\Phi(n) \pmod m\}$ सभी विषम $m \ge 5$ के लिए गैर-आवधिक है।
- $\{\phi(n) \pmod m\}$ सभी $m \ge 3$ के लिए गैर-आवधिक है।
- $\{\sigma(n) \pmod m\}$ और $\{\sigma * \phi(n) \pmod m\}$ सभी $m \ge 7$ के लिए गैर-आवधिक हैं।
- $\{J_k(n) \pmod m\}$ $m \ge 3$ और विषम $k \ge 3$ के लिए गैर-आवधिक है।
- $\{\phi^*(n) \pmod m\}$ सभी $m \ge 3$ के लिए गैर-आवधिक है।

B. ट्रांसेंडेंस परिणाम (Transcendence Results)

लेखक निरंतर भिन्न $[0; d_1, d_2, \dots]$ द्वारा परिभाषित अनंत ट्रांसेंडेंटल संख्याओं $\alpha_{k,m}$ का निर्माण करते हैं। आंशिक भाग $d_n$ ऊपर सूचीबद्ध अंकगणितीय फलनों का उपयोग करके बनाए गए हैं।

विशिष्ट मामले: शोध पत्र $\tau(n), E_k$ गुणांकों, $\Phi(n), g(n), \phi(n), \sigma(n), \sigma*\phi(n), J_k(n),$ और $\phi^*(n)$ को शामिल करते हुए $d_{n,k,m}$ के लिए स्पष्ट सूत्र प्रदान करता है।
शर्तें: ये संख्याएँ विशिष्ट $m$ और $k$ के लिए (जैसे, $\tau(n)$ के लिए $m=5,7,8,9$ ; $\Phi(n)$ के लिए $m \ge 5$ विषम) ट्रांसेंडेंटल सिद्ध हैं।

4. महत्व (Significance)

पिछले कार्य का विस्तार: यह शोध पत्र अयाद और कीहेल (जिन्होंने अभाज $m \neq 3$ के लिए $g(n)$ की गैर-आवधिकता सिद्ध की थी) के कार्य को बहुत व्यापक वर्ग के मापांकों (सभी विषम $m \ge 5$ ) और अधिक विविध अंकगणितीय फलनों तक विस्तारित करता है।
क्षेत्रों को जोड़ना: यह मॉड्यूलर फॉर्म के सिद्धांत (विशेष रूप से $m$ के सापेक्ष गुणांकों के वितरण) और ट्रांसेंडेंटल संख्याओं के निर्माण के बीच एक नया संबंध बनाता है।
नई ट्रांसेंडेंटल संख्याएँ: यह शास्त्रीय फलनों के गहरे अंकगणितीय गुणों पर आधारित, न कि केवल तदर्थ (ad-hoc) निर्माणों पर निर्भर रहते हुए, नई श्रेणियों की ट्रांसेंडेंटल संख्याओं को उत्पन्न करने के लिए एक व्यवस्थित पद्धति प्रदान करता है।
सामान्य मानदंड: प्रमेय 1.9 और 1.10 की स्थापना शोधकर्ताओं को अन्य अंकगणितीय अनुक्रमों की $m$ के सापेक्ष गैर-आवधिकता निर्धारित करने के लिए एक पुन: प्रयोज्य उपकरण (toolkit) प्रदान करती है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र कठोरता से सिद्ध करता है कि कई मौलिक अंकगणितीय अनुक्रमों के मॉड्यूलर रिडक्शन गैर-आवधिक हैं और इन गुणों का उपयोग निरंतर भिन्नों की ट्रांसेंडेंस प्रदर्शित करने के लिए करते हैं, जिससे मॉड्यूलर फॉर्म और मल्टीप्लिकेटिव नंबर थ्योरी से प्राप्त उदाहरणों के माध्यम से ट्रांसेंडेंटल नंबर थ्योरी के परिदृश्य को समृद्ध किया जाता है।