🔢 mathematics

On transcendence of non-periodic continued fractions associated with modular forms and arithmetic functions

Dit artikel stelt voldoende voorwaarden vast voor de niet-periodiciteit van modulo-rijen van diverse arithmetische functies, waaronder de Ramanujan-tau-functie en de Euler-totientfunctie, en gebruikt deze resultaten om de transcendentie van de bijbehorende niet-periodieke kettingbreuken te bewijzen.

Oorspronkelijke auteurs: Tapas Chatterjee, Sagar Mandal

Gepubliceerd 2026-02-17

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Tapas Chatterjee, Sagar Mandal

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

Stel je voor dat je een gigantische, oneindige ketting van schakels hebt. Elke schakel heeft een nummer erop, en die nummers worden bepaald door speciale wiskundige regels. Soms herhalen die nummers zich in een vast patroon, net als een liedje dat steeds weer hetzelfde refrein zingt. Dat noemen we een periodieke rij.

Maar wat als die nummers nooit echt in een patroon terugkeren? Wat als ze altijd een verrassing in petto hebben? Dat noemen we niet-periodiek.

Deze wetenschappelijke tekst, geschreven door Tapas Chatterjee en Sagar Mandal, gaat over twee grote dingen:

Het vinden van de "brekers" van patronen: Ze bewijzen dat bepaalde wiskundige rijen nooit in een patroon terugkeren, zelfs niet als je ze bekijkt door een "kleine bril" (modulus $m$ ).
Het bouwen van "onbegrijpelijke" getallen: Ze gebruiken die chaotische rijen om nieuwe, heel speciale getallen te maken die zo complex zijn dat ze niet kunnen worden beschreven door gewone vergelijkingen. Wiskundigen noemen dit transcendente getallen.

Hier is een uitleg in alledaagse taal, met een paar creatieve vergelijkingen:

Deel 1: Het jagen op patronen (of het ontbreken daarvan)

Stel je voor dat je een reusachtige lijst hebt met getallen, zoals de Ramanujan-tau functie ( $\tau(n)$ ) of de Euler-totient functie ( $\phi(n)$ ). Deze getallen komen uit de wereld van de getaltheorie en modulaire vormen (een soort van abstracte meetkunde die met getallen werkt).

De auteurs vragen zich af: "Als we deze getallen delen door een getal $m$ (bijvoorbeeld 5 of 7) en alleen kijken naar de rest, krijgen we dan ooit een patroon?"

Het idee van een patroon: Als je de resten bekijkt en je ziet: 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3... dan heb je een patroon. De rij is "periodiek".
De ontdekking: De auteurs bewijzen dat voor veel van deze beroemde functies (zoals die van Ramanujan en Euler), je nooit zo'n patroon vindt. Het is alsof je een muziekplaat draait die nooit in de refrein terechtkomt, maar steeds nieuwe, onverwachte noten speelt.

Hoe doen ze dit?
Ze gebruiken een slimme truc. Ze zeggen: "Stel je voor dat er wel een patroon is. Dan moeten er op een bepaald moment twee getallen zijn die precies hetzelfde zijn, ook al zijn ze ver uit elkaar."
Vervolgens gebruiken ze een wiskundig gereedschap (de stelling van Dirichlet over priemgetallen) om te laten zien dat er altijd een "boosdoener" is: een specifiek priemgetal dat het patroon breekt. Het is alsof je denkt dat een slot altijd opent met dezelfde sleutel, maar plotseling blijkt dat er een sleutel is die het slot voor altijd blokkeert.

Ze toetsen dit aan veel bekende functies:

De Ramanujan-tau functie (een beroemd getal uit de wereld van modulaire vormen).
De Eisenstein-reeksen (andere complexe getallenrijen).
Verschillende soorten totaal-functies (functies die tellen hoe je getallen kunt verdelen).

Het resultaat? Voor veel van deze functies is het antwoord: Geen patroon. Nooit. Ze zijn chaotisch, maar op een wiskundig voorspelbare manier.

Deel 2: Het bouwen van "Transcendente" getallen

Nu komt het tweede deel, dat nog spannender is. Wiskundigen houden van getallen zoals $\pi$ (3,14159...) en $e$ (2,718...). Deze zijn transcendent. Dat betekent dat ze niet kunnen worden gemaakt door een eindige vergelijking met gehele getallen. Ze zijn "te gek" voor de gewone algebra.

De auteurs zeggen: "Laten we deze chaotische rijen gebruiken om nieuwe transcendenten getallen te bouwen."

Hoe bouwen ze die?
Stel je een oneindige kettingbreuk voor. Dit is een manier om een getal te schrijven als een breuk in een breuk in een breuk...
$[0; d_1, d_2, d_3, \dots]$
De auteurs nemen hun chaotische rijen (zoals de resten van de Ramanujan-functie) en gebruiken die als de nummers ( $d_1, d_2, \dots$ ) in deze ketting.

Omdat de rijen niet-periodiek zijn (zoals bewezen in deel 1), is het getal dat hieruit ontstaat ook transcendent.

De analogie: Als je een muur bouwt met bakstenen die in een perfect patroon liggen (rood, blauw, rood, blauw), is de muur voorspelbaar. Maar als je bakstenen gebruikt die willekeurig gekleurd zijn en nooit een patroon volgen, wordt de muur zo complex dat je er geen simpele formule voor kunt bedenken. Die muur is dan "transcendent".

Waarom is dit belangrijk?

Dieper inzicht in de natuur van getallen: Het laat zien dat zelfs de meest ingewikkelde wiskundige functies (die vaak uit de kwantummechanica of cryptografie komen) een fundamentele eigenschap hebben: ze zijn niet simpel te voorspellen door een herhalend patroon.
Nieuwe getallen: Ze leveren een fabriek op voor het maken van nieuwe transcendenten getallen. Dit is handig voor wiskundigen die willen begrijpen hoe "vol" het getallenstelsel is.
Verbindingen: Ze verbinden verschillende gebieden van de wiskunde: de theorie van getallen (priemgetallen), de theorie van modulaire vormen (complexe analyse) en de theorie van getallen die niet algebraïsch zijn.

Samenvatting in één zin

De auteurs hebben bewezen dat bepaalde beroemde wiskundige rijen nooit in een patroon terugkeren, en ze hebben die chaotische rijen gebruikt om een fabriek te bouwen voor het maken van nieuwe, onbegrijpelijke (transcendente) getallen.

Het is alsof ze hebben ontdekt dat de natuur van de getallen niet in een strakke dans zit, maar in een vrije jazz-improvisatie, en dat ze die improvisatie kunnen gebruiken om nieuwe, unieke kunstwerken (getallen) te creëren.

Titel en Doelstelling

Het artikel heeft een tweeledig doel:

Het vaststellen van algemene criteria om de niet-periodiciteit van rijen $\{f(n) \pmod m\}$ te garanderen, waarbij $f(n)$ een rekenkundige functie is.
Het construeren van transcendente getallen via kettingbreuken die zijn gebaseerd op deze niet-periodieke rijen, met name die welke voortkomen uit modulaire vormen en klassieke rekenkundige functies.

1. Probleemstelling en Context

In de getaltheorie is een rij $a_n$ periodiek als er een vaste periode $L$ bestaat zodat $a_{n+L} = a_n$ voor alle $n$ . Een rij is niet-periodiek als deze niet uiteindelijk periodiek is.
De auteurs onderzoeken de periodiciteit van rijen gegenereerd door belangrijke rekenkundige functies modulo $m$ , waaronder:

De Ramanujan-tau functie $\tau(n)$ (coëfficiënten van de modulaire vorm $\Delta(z)$ ).
De Fourier-coëfficiënten van genormaliseerde Eisenstein-reeksen $E_k(z)$ .
Variaties van de Euler-totientfunctie en gerelateerde functies: Nathanson's $\Phi(n)$ , de klassieke $\varphi(n)$ , de delerfunctie $\sigma(n)$ , hun Dirichlet-convolutie $\sigma * \varphi(n)$ , Jordan's totientfunctie $J_k(n)$ , en de unitaire totientfunctie $\varphi^*(n)$ .
De functie $g(n)$ , die het aantal onderling ondeelbare deelverzamelingen van $\{1, \dots, n\}$ telt.

Het centrale probleem is om te bewijzen dat deze rijen modulo specifieke waarden van $m$ niet-periodiek zijn, en vervolgens te gebruiken dat deze eigenschap leidt tot de transcendentie van bepaalde reële getallen.

2. Methodologie

De auteurs hanteren een combinatie van analytische getaltheorie en de theorie van modulaire vormen.

A. Criteria voor niet-periodiciteit

Er worden twee hoofdstellingen (Stelling 1.9 en 1.10) bewezen die voldoende voorwaarden geven voor niet-periodiciteit. De bewijzen gebruiken een contradictie-bewijs:

Men neemt aan dat de rij periodiek is met periode $L$ .
Door gebruik te maken van de Stelling van Dirichlet over priemgetallen, construeren de auteurs specifieke priemgetallen $p$ die voldoen aan bepaalde congruenties (bijv. $p \equiv 1 \pmod K$ ).
Door de multiplicatieve eigenschappen van de functies $f(n)$ en de veronderstelde periodiciteit te combineren, leiden ze tot een contradictie (bijvoorbeeld $0 \equiv c \pmod m$ met $c \not\equiv 0$ ).

B. Constructie van Transcendente Getallen

Voor het tweede doel maken de auteurs gebruik van een stelling van Adamczewski, Bugeaud en Davison (Stelling 2.5). Deze stelling stelt dat als $\theta$ een irrationaal getal is en men een kettingbreuk construeert met gedeeltelijke quotiënten $d_n = 1 + ([n\theta] \pmod k)$ , dan is het resulterende getal transcendent.
De auteurs tonen aan dat de sommen $\sum \frac{f(r) \pmod m}{10^r}$ irrationaal zijn (als gevolg van de niet-periodiciteit), en gebruiken dit om de transcendentie van de gegenereerde getallen $\alpha_{k,m}$ te bewijzen.

3. Belangrijkste Resultaten

Resultaat 1: Niet-periodiciteit van Modulaire Vormen

Ramanujan-tau functie: De rij $\{\tau(n) \pmod m\}$ is niet-periodiek voor $m = 5, 7, 8, 9, 691$ . (Stelling 1.1)
Eisenstein-reeksen: De Fourier-coëfficiënten van $E_4, E_6, E_8, E_{10}, E_{14}$ zijn niet-periodiek modulo $m$ onder specifieke voorwaarden voor $m$ (bijv. voor $E_4$ geldt $m \ge 3$ en $\gcd(m, 240)=1$ ). (Stelling 1.3)

Resultaat 2: Uitbreiding naar Rekenkundige Functies

De auteurs generaliseren eerdere resultaten van Ayad en Kihel:

Nathanson's functie: $\{g(n) \pmod m\}$ is niet-periodiek voor alle oneven $m \ge 5$ . (Stelling 1.6)
Nathanson's totientfunctie: $\{\Phi(n) \pmod m\}$ is niet-periodiek voor alle oneven $m \ge 5$ . (Stelling 1.7)
Klassieke functies:
- $\{\varphi(n) \pmod m\}$ is niet-periodiek voor $m \ge 3$ .
- $\{\sigma(n) \pmod m\}$ en $\{\sigma * \varphi(n) \pmod m\}$ zijn niet-periodiek voor $m \ge 7$ .
- $\{J_k(n) \pmod m\}$ is niet-periodiek voor $m \ge 3$ en oneven $k \ge 3$ .
- $\{\varphi^*(n) \pmod m\}$ is niet-periodiek voor $m \ge 3$ . (Stelling 1.8)

Resultaat 3: Transcendentie

De auteurs construeren een familie van getallen $\alpha_{k,m}$ gedefinieerd door de kettingbreuk $[0; d_1, d_2, \dots]$ , waarbij de termen $d_n$ afhangen van de bovenstaande rijen modulo $m$ .

Stelling 1.11: Alle gegenereerde getallen $\alpha_{k,m}$ zijn transcendent. Dit geldt voor specifieke combinaties van de functies $\tau, a, b, c, d, e, \Phi, g, \varphi, \sigma, \sigma*\varphi, J_k, \varphi^*$ en de modulus $m$ .

4. Significatie en Bijdrage

Generalisatie van bestaande theorie: Het artikel biedt een krachtig, algemeen raamwerk (Stelling 1.9 en 1.10) om de niet-periodiciteit van een breed scala aan rekenkundige functies te bewijzen, in plaats van elke functie afzonderlijk te behandelen.
Verbinding tussen Discrete en Transcendente Getaltheorie: Het artikel legt een directe link tussen de structurele eigenschappen van rijen modulo $m$ (niet-periodiciteit) en de diepere eigenschappen van reële getallen (transcendentie).
Nieuwe Transcendente Getallen: Het construeert expliciete voorbeelden van transcendente getallen die zijn afgeleid van fundamentele objecten uit de modulaire vormtheorie (zoals $\tau(n)$ ) en klassieke rekenkunde. Dit vult de lijst van bekende transcendente getallen (zoals $\pi$ en $e$ ) aan met nieuwe, structureel gedefinieerde getallen.
Versterking van Congruentie-eigenschappen: Door de niet-periodiciteit van $\tau(n)$ en Eisenstein-coëfficiënten te benadrukken, bevestigt het artikel de complexiteit en de "willekeurige" aard van deze coëfficiënten, zelfs in de context van modulaire congruenties.

Conclusie

Chatterjee en Mandal tonen aan dat de rijen van veel belangrijke rekenkundige functies, wanneer ze modulo $m$ worden beschouwd, geen periodiek patroon vertonen. Deze fundamentele eigenschap wordt vervolgens gebruikt om de transcendentie van een nieuwe klasse van getallen, gedefinieerd via kettingbreuken, rigoureus te bewijzen. Dit werk verenigt de theorie van modulaire vormen, de analytische getaltheorie en de transcendentie-theorie op een elegante manier.