🔢 mathematics

On transcendence of non-periodic continued fractions associated with modular forms and arithmetic functions

Este artículo establece condiciones suficientes para la no periodicidad de secuencias de funciones aritméticas y formas modulares módulo $m$ , y utiliza estos resultados para demostrar la trascendencia de números construidos a partir de sus fracciones continuas asociadas.

Autores originales: Tapas Chatterjee, Sagar Mandal

Publicado 2026-02-17

📖 4 min de lectura🧠 Análisis profundo

CC BY 4.0

Autores originales: Tapas Chatterjee, Sagar Mandal

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina que los números no son solo cifras frías, sino una gran orquesta donde cada instrumento (cada número) sigue una partitura secreta. Los matemáticos, como Tapas Chatterjee y Sagar Mandal en este artículo, son los directores de orquesta que intentan descubrir si esa partitura tiene un patrón repetitivo o si es una melodía infinita y caótica.

Aquí tienes una explicación sencilla de lo que descubrieron, usando analogías cotidianas:

1. El Gran Misterio: ¿Es la música repetitiva o única?

En matemáticas, hay secuencias de números que se comportan como un disco rayado: después de un tiempo, vuelven a empezar el mismo ciclo. A esto lo llamamos periódico.

Analogía: Imagina una canción de radio que toca el mismo estribillo cada 3 minutos. Sabes exactamente qué va a sonar después.

Pero hay otras secuencias que son no periódicas. Son como una improvisación de jazz infinita: nunca se repiten exactamente igual, nunca hay un "final" predecible.

Analogía: Imagina que caminas por un bosque y cada paso que das es en una dirección nueva, sin volver a pisar el mismo sendero dos veces.

El objetivo del artículo: Los autores querían demostrar que ciertas secuencias de números, derivadas de funciones matemáticas muy famosas (como las de Ramanujan o Euler), son como ese jazz infinito: nunca se repiten.

2. Los "Detectives" de Números (Funciones Aritméticas)

El papel analiza a varios "personajes" famosos de la teoría de números:

La función de Ramanujan ( $\tau$ ): Un genio matemático que dejó un misterio sobre cómo se comportan ciertos números.
La función de Euler ( $\phi$ ): Cuenta cuántos amigos tiene un número (números que no comparten factores con él).
Series de Eisenstein: Son como estructuras arquitectónicas hechas de números complejos.

Los autores crearon dos reglas generales (como dos herramientas de detective) para probar que, si aplicas una "lupa" (un módulo $m$ , que es como mirar los números solo por su último dígito o sus últimos dígitos), estas secuencias no se repiten.

La analogía de la herramienta: Imagina que tienes un reloj que solo muestra horas de 1 a 12. Si miras una secuencia de eventos a través de este reloj y descubres que los eventos nunca siguen el mismo patrón de horas, entonces la secuencia original es caótica y única.

3. El Gran Hallazgo: ¡Son infinitamente únicos!

El equipo demostró que, para muchos de estos personajes matemáticos (Ramanujan, Euler, etc.), si los miras bajo ciertas condiciones (por ejemplo, mirando los restos al dividir por 5, 7, 9, etc.), nunca caerán en un bucle repetitivo.

Lo que significa: No importa cuánto tiempo sigas la secuencia, nunca podrás predecir el siguiente número basándote en un patrón antiguo. Son verdaderamente impredecibles.

4. El Tesoro Oculto: Números "Transcendentales"

Aquí viene la parte más mágica. Una vez que probaron que estas secuencias nunca se repiten, usaron esa información para crear números trascendentales.

¿Qué es un número trascendental?
Imagina que los números son como ingredientes.
- Los números "algebraicos" (como 2, 1/2, o $\sqrt{2}$ ) son ingredientes comunes que puedes encontrar en cualquier cocina (son soluciones de ecuaciones sencillas).
- Los números trascendentales (como $\pi$ o $e$ ) son ingredientes raros, casi mágicos, que no pueden ser creados con recetas estándar. Son "demasiado complejos" para ser descritos por ecuaciones simples.
La receta de los autores:
Ellos tomaron sus secuencias infinitas y no repetitivas (el jazz infinito) y las convirtieron en la "parte decimal" de un número nuevo.
- Analogía: Imagina que tomas los dígitos de la secuencia de Ramanujan (que nunca se repite) y los pegas uno tras otro después de una coma: 0.1248...
- Como la secuencia nunca se repite, el número resultante es tan complejo y desordenado que no puede ser algebraico. ¡Es un número trascendental nuevo!

5. ¿Por qué es importante?

En resumen, este artículo hace dos cosas brillantes:

Demuestra el caos ordenado: Proba que ciertas reglas matemáticas antiguas, que parecían que podrían tener un patrón oculto, en realidad son infinitamente libres y no repetitivas.
Crea magia nueva: Usó ese "caos" para cocinar nuevos números trascendentales. Es como si dijera: "Mira, si mezclas estos ingredientes que nunca se repiten, obtienes un sabor (un número) que el universo nunca ha probado antes".

En conclusión: Los autores nos dicen que la naturaleza de estos números es tan rica y compleja que nunca se cansan de inventar algo nuevo, y gracias a eso, podemos crear nuevos números que desafían todas las reglas simples de la matemática.

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "Sobre la trascendencia de fracciones continuas no periódicas asociadas a formas modulares y funciones aritméticas", escrito por Tapas Chatterjee y Sagar Mandal.

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda dos problemas fundamentales interconectados en la teoría de números y el análisis de funciones aritméticas:

No-periodicidad modular: Determinar condiciones suficientes bajo las cuales la secuencia de valores de una función aritmética $f(n)$ módulo $m$ , denotada como $\{f(n) \pmod m\}_{n \ge 1}$ , sea no periódica (es decir, no sea eventualmente periódica). La periodicidad de tales secuencias es una propiedad deseable en ciertos contextos computacionales, pero su ausencia es crucial para establecer propiedades de trascendencia.
Construcción de números trascendentes: Utilizar la no-periodicidad de estas secuencias para construir explícitamente números trascendentes mediante fracciones continuas. El objetivo es demostrar que ciertos números definidos por coeficientes derivados de funciones aritméticas famosas (como la función tau de Ramanujan o coeficientes de series de Eisenstein) no son raíces de polinomios con coeficientes enteros.

2. Metodología

Los autores emplean una combinación de teoría analítica de números, propiedades de formas modulares y teoría de trascendencia. La metodología se estructura en tres pilares:

Criterios Generales de No-Periodicidad: Se establecen dos teoremas generales (Teoremas 1.9 y 1.10) que proporcionan condiciones suficientes para que una secuencia $\{f(n) \pmod m\}$ sea no periódica. Estos criterios se basan en:
- La existencia de infinitos primos $p$ para los cuales $m \nmid f(p)$ .
- El comportamiento de $f(p)$ para primos en ciertas clases de residuos (específicamente $p \equiv 1 \pmod K$ ).
- Propiedades multiplicativas de la función $f$ (especialmente para enteros libres de cuadrados).
- El uso del Teorema de los Números Primos de Dirichlet para garantizar la existencia de primos en progresiones aritméticas específicas, lo cual permite construir contradicciones si se asume la periodicidad.
Aplicación a Funciones Específicas:
- Formas Modulares: Se utilizan las expansiones de Fourier de las series de Eisenstein normalizadas $E_k(z)$ y la forma cuspidal $\Delta(z)$ (cuyos coeficientes son la función $\tau(n)$ de Ramanujan). Se aprovechan las congruencias conocidas de Ramanujan y las propiedades de multiplicatividad de $\tau(n)$ .
- Funciones Aritméticas: Se analizan funciones como la función totiente de Euler $\phi(n)$ , la función totiente de Jordan $J_k(n)$ , la función totiente unitaria $\phi^*(n)$ , la función de suma de divisores $\sigma(n)$ , y las funciones introducidas por Nathanson: $\Phi(n)$ (totiente de Nathanson) y $g(n)$ (número de subconjuntos relativamente primos).
- Se utilizan relaciones de inversión de Möbius y lemas auxiliares (como la relación entre $g(n)$ y $\Phi(n)$ establecida por Ayad y Kihel) para extender los resultados de no-periodicidad.
Construcción de Números Trascendentes:
- Se aplica el Teorema 2.5 de Adamczewski, Bugeaud y Davison. Este teorema establece que si $\theta$ es un número irracional en $(0,1)$ , y se define una secuencia de enteros $d_n = 1 + ([n\theta] \pmod k)$ , entonces el número definido por la fracción continua $[0; d_1, d_2, \dots]$ es trascendente.
- Los autores demuestran que las sumas parciales de las series generadas por las secuencias no periódicas (módulo $m$ y luego módulo 10) producen números irracionales, satisfaciendo así las condiciones del teorema mencionado.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

El artículo presenta una serie de teoremas que generalizan y extienden resultados previos (como los de Ayad y Kihel):

A. No-Periodicidad de Secuencias Modulares

Función Tau de Ramanujan ( $\tau(n)$ ): Se demuestra que $\{\tau(n) \pmod m\}$ es no periódica para $m = 5, 7, 8, 9, 691$ . El caso $m=691$ es particularmente notable debido a la famosa congruencia de Ramanujan.
Series de Eisenstein ( $E_k(z)$ ): Se prueba la no-periodicidad de los coeficientes de Fourier de $E_4, E_6, E_8, E_{10}, E_{14}$ módulo $m$ bajo condiciones específicas de $m$ (generalmente relacionadas con la coprimalidad con ciertos coeficientes como 240, 504, etc.).
Funciones de Nathanson y Totientes:
- Se generaliza el resultado de Ayad y Kihel sobre $g(n)$ , demostrando que $\{g(n) \pmod m\}$ es no periódica para todo entero impar $m \ge 5$ .
- Se establece la no-periodicidad para $\Phi(n)$ (totiente de Nathanson), $\phi(n)$ , $\sigma(n)$ , la convolución $\sigma * \phi(n)$ , $J_k(n)$ y $\phi^*(n)$ para diversos rangos de $m$ .

B. Construcción de Números Trascendentes

El resultado más significativo es la construcción explícita de infinitos números trascendentes. Los autores definen números reales $\alpha_{k,m}$ mediante fracciones continuas de la forma:
$\alpha_{k,m} = [0; d_{1,k,m}, d_{2,k,m}, \dots]$
donde los coeficientes $d_{n,k,m}$ se construyen a partir de sumas parciales de las funciones aritméticas mencionadas anteriormente, tomadas módulo $m$ y luego módulo $k$ .

Ejemplos de trascendencia demostrada:

Números generados por $\tau(n) \pmod m$ para $m \in \{5, 7, 8, 9\}$ .
Números generados por coeficientes de $E_k(z)$ para $k \in \{4, 6, 8, 10, 14\}$ .
Números generados por $\Phi(n)$ , $g(n)$ , $\phi(n)$ , $\sigma(n)$ , etc., bajo condiciones de paridad y congruencia específicas (ej. $m$ impar, $m \not\equiv 3 \pmod{10}$ ).

4. Significado e Impacto

Avance en Teoría de Números: El trabajo proporciona criterios unificados y potentes para determinar la no-periodicidad de secuencias aritméticas complejas, conectando la teoría de formas modulares con la teoría de funciones multiplicativas.
Nuevos Ejemplos de Trascendencia: Antes de este trabajo, la mayoría de los ejemplos de números trascendentes provenían de constantes clásicas ( $\pi, e$ ) o de series definidas por funciones muy específicas. Este artículo genera una nueva familia infinita de números trascendentes basados en funciones aritméticas fundamentales y coeficientes de formas modulares.
Extensión de Resultados Previos: Generaliza el trabajo de Ayad y Kihel sobre la función $g(n)$ y aborda problemas abiertos sobre la periodicidad de funciones como $\Phi(n)$ y las variantes de totientes.
Aplicabilidad: La metodología basada en el Teorema de Dirichlet y las propiedades multiplicativas ofrece una herramienta reutilizable para analizar la periodicidad de otras funciones aritméticas no estudiadas en este artículo.

En resumen, el artículo demuestra que la estructura profunda de las formas modulares y las funciones aritméticas clásicas impide que sus secuencias modulares sean periódicas, y que esta "caos" estructural es suficiente para garantizar la trascendencia de los números generados por sus fracciones continuas asociadas.