On transcendence of non-periodic continued fractions associated with modular forms and arithmetic functions

1. 연구 문제 (Problem Statement)

이 논문은 두 가지 주요 목표를 가지고 있습니다.

1. 산술 함수의 비주기성 (Non-periodicity) 규명:

   • 정수 $m$에 대한 산술 함수 $f(n)$의 수열 $\{f(n) \pmod m\}_{n \ge 1}$이 **비주기적 (non-periodic)**임을 보장하는 일반적인 충분 조건을 수립하는 것입니다.
   • 특히, 모듈러 형식 (Modular Forms) 에서 유래한 함수 (라마누잔 타우 함수 $\tau(n)$, 정규화된 Eisenstein 급수 $E_k(z)$의 푸리에 계수) 와 다양한 산술 함수 (Nathanson 의 오일러 피 함수 $\Phi(n)$, 고전적 오일러 피 함수 $\phi(n)$, 약수 합 함수 $\sigma(n)$, Jordan 의 피 함수 $J_k(n)$ 등) 에 대해 모듈로 $m$에서의 비주기성을 증명하는 것입니다.

2. 초월수 (Transcendental Numbers) 의 구성:

   • 위에서 증명된 비주기적인 수열들을 이용하여 새로운 초월수를 구성하는 것입니다. 구체적으로는 이러한 수열들을 연분수 (Continued Fraction) 의 계수로 사용하여 생성된 수가 초월수임을 보이는 것입니다.

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2. 방법론 (Methodology)

논문의 증명 과정은 다음과 같은 수학적 도구와 논리 구조를 사용합니다.

• 일반적인 비주기성 판정 기준 수립:

  • Theorem 1.9: 함수 $f$가 소수 $p$에 대해 $p|n$일 때 $f(p)|f(n)$을 만족하고, 특정 조건 ($m \nmid f(p)$인 소수가 무한히 존재하며, $p \equiv 1 \pmod{K(m)}$일 때 $m|f(p)$) 을 만족하면 수열은 비주기적임을 증명합니다. (증명 기법: 반증법과 디리클레 소수 정리 사용)
  • Theorem 1.10: $f$가 제곱인수 없는 정수 (square-free integers) 에 대해 곱셈적 (multiplicative) 일 때, 소수 $p \equiv 1 \pmod m$일 때와 다른 조건을 만족하는 소수들에 대해 $f(p)$의 값이 서로 다른 잉여류 (residue classes) 를 가지면 비주기적임을 증명합니다.

• 구체적인 함수에 대한 적용:

  • 모듈러 형식: 라마누잔 타우 함수 $\tau(n)$과 Eisenstein 급수 $E_k(z)$의 푸리에 계수 ($a(n), b(n), \dots$) 에 대해, Ramanujan 의 합동식 (Congruences) 과 $\tau(n)$의 곱셈적 성질을 활용하여 위 일반 정리를 적용합니다.
  • 산술 함수: Nathanson 의 함수 $\Phi(n)$과 $g(n)$은 Möbius 역변환 공식과 $\Phi(p) | \Phi(n)$ 성질 (Lemma 2.3) 을 이용합니다. 또한 $g(n)$과 $\Phi(n)$의 관계식 ($g(n+1) - g(n) = \frac{1}{2}\Phi(n+1)$) 을 통해 비주기성을 연결합니다.
  • 기타 함수: $\phi(n), \sigma(n), J_k(n), \phi^*(n)$ 등에 대해서는 소수 $p$에 대한 값의 분포를 분석하여 Theorem 1.9 또는 1.10 을 적용합니다.

• 초월성 증명:

  • Adamczewski-Bugeaud-Davison 정리 (Theorem 2.5): 무리수 $\theta$와 정수 $k \ge 2$에 대해 $d_n = 1 + ([n\theta] \pmod k)$로 정의된 연분수 $[0; d_1, d_2, \dots]$는 초월수임을 이용합니다.
  • 논문에서 증명된 비주기 수열들이 생성하는 무리수 (연분수 형태) 가 이 정리의 조건을 만족함을 보여 초월성을 유도합니다.

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3. 주요 기여 및 결과 (Key Contributions and Results)

A. 비주기성 결과 (Non-periodicity Results)

다음 수열들이 특정 모듈로 $m$에서 비주기적임을 증명했습니다.

1. 라마누잔 타우 함수 ($\tau(n)$):
   • $m = 5, 7, 8, 9, 691$에 대해 $\{\tau(n) \pmod m\}$는 비주기적입니다. (Theorem 1.1)
2. 정규화된 Eisenstein 급수 ($E_k(z)$) 의 계수:
   • $E_4, E_6, E_8, E_{10}, E_{14}$의 푸리에 계수 수열들이 특정 조건을 만족하는 $m$에 대해 비주기적입니다. (Theorem 1.3)
   • 예: $E_4(z)$의 계수 $a(n)$은 $m \ge 3, \gcd(m, 240)=1$일 때 비주기적입니다.
3. Nathanson 의 함수 및 기타 산술 함수:
   • $\Phi(n)$ (Nathanson's totient): 모든 홀수 $m \ge 5$에 대해 비주기적. (Theorem 1.7)
   • $g(n)$ (상대적으로 소인 부분집합의 개수): 모든 홀수 $m \ge 5$에 대해 비주기적. (Theorem 1.6, Ayad & Kihel 의 결과 확장)
   • $\phi(n)$ (오일러 피 함수): $m \ge 3$에 대해 비주기적.
   • $\sigma(n)$ (약수 합 함수): $m \ge 7$에 대해 비주기적.
   • $\sigma * \phi(n)$ (디리클레 합성곱): $m \ge 7$에 대해 비주기적.
   • $J_k(n)$ (Jordan 피 함수): $m \ge 3$ 및 홀수 $k \ge 3$에 대해 비주기적.
   • $\phi^*(n)$ (단위 피 함수): $m \ge 3$에 대해 비주기적.

B. 초월수 구성 (Construction of Transcendental Numbers)

위에서 증명된 비주기 수열들을 기반으로 다음과 같은 형태의 연분수 $\alpha_{k,m} = [0; d_1, d_2, \dots]$가 초월수임을 증명했습니다 (Theorem 1.11).

• $d_{n,k,m} = 1 + \left( \left[ \sum_{r=1}^n \frac{f(r) \pmod m}{10^r} \right] \pmod k \right)$
• 여기서 $f(r)$은 $\tau(r), a(r), b(r), \dots, \phi^*(r)$ 등 논문에서 다룬 다양한 산술 함수입니다.
• 이 결과들은 특정 모듈로 조건 하에서 생성된 무한 연분수가 초월수임을 보여줍니다.

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4. 의의 및 중요성 (Significance)

1. 일반화된 비주기성 기준 제시:

   • 개별 함수에 대한 증명을 넘어, 산술 함수의 비주기성을 판단할 수 있는 **보편적인 충분 조건 (Theorem 1.9, 1.10)**을 제시했습니다. 이는 향후 다른 산술 함수의 비주기성 연구에 강력한 도구를 제공합니다.

2. 모듈러 형식과 산술 함수의 연결 강화:

   • 모듈러 형식 (타우 함수, Eisenstein 급수) 의 깊은 성질 (합동식, 곱셈성) 이 산술 함수의 비주기성 및 초월성 문제와 어떻게 밀접하게 연결되는지를 명확히 보여주었습니다.

3. 초월수 생성의 새로운 경로:

   • 기존의 초월수 구성 방법 (예: Liouville 수) 외에, 산술 함수의 모듈로 수열을 연분수 계수로 사용하여 새로운 초월수 계열을 구성했습니다. 이는 정수론과 해석적 수론 (초월수론) 의 교차점을 확장하는 의미 있는 결과입니다.

4. 기존 연구의 확장:

   • Ayad 와 Kihel 이 $g(n)$에 대해 증명했던 결과를 더 넓은 범위의 모듈로 $m$과 다른 산술 함수 ($\Phi(n)$ 등) 로 확장하여, 해당 분야 연구의 지평을 넓혔습니다.

요약

이 논문은 모듈러 형식과 고전적 산술 함수에서 유도된 수열들이 모듈로 $m$에서 비주기적임을 엄밀하게 증명하고, 이를 바탕으로 새로운 초월수들을 연분수 형태로 구성함으로써 정수론과 초월수론 간의 중요한 연결고리를 제시한 연구입니다.