On transcendence of non-periodic continued fractions associated with modular forms and arithmetic functions

1. Problema e Obiettivi

Il lavoro si pone all'intersezione tra la teoria dei numeri analitica, la teoria delle forme modulari e la teoria dei numeri trascendenti. L'obiettivo principale è duplice:

1. Stabilire criteri generali per dimostrare che le sequenze generate da funzioni aritmetiche classiche (come il funzione tau di Ramanujan, le serie di Eisenstein e varie funzioni di tipo "totient") sono non periodiche modulo un intero $m$.
2. Costruire numeri trascendenti utilizzando le frazioni continue associate a queste sequenze non periodiche.

Il problema di fondo risiede nel fatto che la periodicità (o la non periodicità) di una sequenza modulo $m$ è una proprietà cruciale per determinare la natura trascendente dei numeri reali costruiti a partire da tali sequenze tramite frazioni continue.

2. Metodologia

Gli autori adottano un approccio che combina strumenti della teoria analitica dei numeri e della teoria delle forme modulari:

• Criteri di Non-Periodicità: Vengono sviluppati due teoremi generali (Teoremi 1.9 e 1.10) che forniscono condizioni sufficienti affinché una sequenza $\{f(n) \pmod m\}$ sia non periodica.

  • Il primo criterio si basa sulla proprietà di divisibilità $f(p) \mid f(n)$ quando $p \mid n$ e sull'esistenza di infiniti primi per cui $f(p) \not\equiv 0 \pmod m$.
  • Il secondo criterio utilizza la moltiplicatività della funzione su interi privi di quadrati e la distribuzione dei valori di $f(p)$ per primi in diverse classi di resto.
  • Le dimostrazioni si basano su contraddizione: si assume che la sequenza sia periodica (con periodo $L$) e si utilizza il Teorema dei Numeri Primi di Dirichlet per costruire un primo specifico che viola la relazione di periodicità, portando a una contraddizione logica.

• Proprietà delle Forme Modulari: Per le funzioni legate alle forme modulari (come $\tau(n)$ e i coefficienti di Fourier delle serie di Eisenstein $E_k(z)$), gli autori sfruttano le proprietà di moltiplicatività e le congruenze di Ramanujan (es. $\tau(n) \equiv n\sigma_1(n) \pmod 5$).

• Costruzione di Numeri Trascendenti: Una volta stabilita la non periodicità, gli autori applicano un teorema di Adamczewski, Bugeaud e Davison (Teorema 2.5). Questo teorema afferma che se $\theta$ è un numero irrazionale in $(0,1)$ e si costruisce una frazione continua $[0; d_1, d_2, \dots]$ dove i termini $d_n$ dipendono da $[n\theta] \pmod k$, allora il numero risultante è trascendente.

3. Risultati Chiave

A. Non-Periodicità di Sequenze Aritmetiche

Gli autori dimostrano che le seguenti sequenze sono non periodiche modulo $m$ per specifici intervalli di $m$:

1. Funzione Tau di Ramanujan ($\tau(n)$): La sequenza $\{\tau(n) \pmod m\}$ è non periodica per $m = 5, 7, 8, 9, 691$.
2. Serie di Eisenstein Normalizzate ($E_k(z)$): I coefficienti di Fourier $a(n), b(n), c(n), d(n), e(n)$ delle serie $E_4, E_6, E_8, E_{10}, E_{14}$ sono non periodici modulo $m$ sotto condizioni di coprimalità con certi coefficienti (es. per $E_4$, $m \ge 3$ e $\gcd(m, 240)=1$).
3. Funzioni di Tipo Totient e Divisori:
   • Funzione di Nathanson ($\Phi(n)$ e $g(n)$): La sequenza $g(n)$ (numero di sottoinsiemi relativamente primi) e $\Phi(n)$ sono non periodiche per tutti gli interi dispari $m \ge 5$. Questo estende un risultato precedente di Ayad e Kihel.
   • Funzioni Classiche: Vengono provate la non periodicità per la funzione di Eulero $\phi(n)$, la somma dei divisori $\sigma(n)$, la loro convoluzione di Dirichlet $\sigma * \phi(n)$, la funzione totient di Jordan $J_k(n)$ e la funzione totient unitaria $\phi^*(n)$, per vari intervalli di $m$.

B. Costruzione di Numeri Trascendenti

Sfruttando i risultati sulla non periodicità, gli autori costruiscono una famiglia infinita di numeri trascendenti $\alpha_{k,m}$ definiti dalle frazioni continue:
$$\alpha_{k,m} = [0; d_{1,k,m}, d_{2,k,m}, \dots]$$
dove i termini $d_{n,k,m}$ sono costruiti combinando somme parziali delle funzioni aritmetiche sopra citate (modulo $m$ e modulo $k$).
In particolare, vengono dimostrati trascendenti i numeri associati a:

• $\tau(n)$, coefficienti di $E_k(z)$, $\Phi(n)$, $g(n)$, $\phi(n)$, $\sigma(n)$, $\sigma * \phi(n)$, $J_k(n)$ e $\phi^*(n)$.

4. Contributi Principali

1. Generalizzazione dei Criteri: I Teoremi 1.9 e 1.10 offrono un quadro metodologico flessibile per dimostrare la non periodicità di una vasta classe di funzioni aritmetiche, andando oltre i casi specifici trattati in letteratura.
2. Estensione dei Risultati su $g(n)$ e $\Phi(n)$: Si generalizza il lavoro di Ayad e Kihel, dimostrando la non periodicità per un intervallo più ampio di moduli $m$ (tutti gli interi dispari $\ge 5$) e si estende l'analisi alla funzione $\Phi(n)$ di Nathanson.
3. Collegamento Diretto: Si stabilisce un ponte esplicito tra le proprietà di periodicità modulo $m$ di funzioni aritmetiche profonde (come $\tau(n)$) e la trascendenza di numeri reali costruiti tramite frazioni continue, fornendo nuovi esempi concreti di numeri trascendenti.
4. Applicazione alle Forme Modulari: Si applicano tecniche di teoria delle forme modulari (congruenze di Ramanujan) per risolvere problemi di periodicità in contesti aritmetici.

5. Significato e Impatto

Questo lavoro è significativo per diversi motivi:

• Teoria dei Numeri Trascendenti: Fornisce nuovi metodi per generare numeri trascendenti, un'area in cui la costruzione di esempi espliciti è spesso difficile. L'uso di funzioni aritmetiche "ricche" come $\tau(n)$ arricchisce il catalogo dei numeri trascendenti noti.
• Struttura delle Sequenze Aritmetiche: Dimostra che le sequenze derivate da forme modulari e funzioni moltiplicative, sebbene altamente strutturate, non mostrano periodicità semplice modulo $m$, evidenziando la complessità intrinseca della loro distribuzione.
• Metodologia Unificante: L'articolo unifica concetti di teoria analitica (teorema di Dirichlet), algebra (proprietà moltiplicative) e analisi (frazioni continue), offrendo un modello per future ricerche su proprietà di non periodicità e trascendenza.

In sintesi, il paper risolve problemi aperti sulla periodicità di sequenze aritmetiche fondamentali e utilizza tali risultati per generare una nuova classe di numeri trascendenti, consolidando il legame tra la teoria delle forme modulari e la teoria dei numeri trascendenti.