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On transcendence of non-periodic continued fractions associated with modular forms and arithmetic functions

Cet article établit des conditions suffisantes pour la non-périodicité de suites d'arithmétiques modulo $m$ associées à diverses fonctions (telles que la fonction $\tau$ de Ramanujan, les coefficients de séries d'Eisenstein et les fonctions totatives) et déduit de ce résultat la transcendance de nombres construits à partir des fractions continues liées à ces mêmes fonctions.

Auteurs originaux : Tapas Chatterjee, Sagar Mandal

Publié 2026-02-17

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Tapas Chatterjee, Sagar Mandal

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que les nombres sont comme une immense symphonie, où chaque note (chaque entier) suit une mélodie précise. Les mathématiciens, comme Tapas Chatterjee et Sagar Mandal, les auteurs de cet article, s'intéressent à une question fascinante : cette mélodie est-elle prévisible ou chaotique ?

Voici une explication simple de leur travail, sans jargon technique, en utilisant des images du quotidien.

1. Le problème de la "Boucle Infinie" (La périodicité)

Pour comprendre leur découverte, imaginez que vous regardez une série de nombres, par exemple les restes de la division de certains nombres par un chiffre fixe (comme le reste quand on divise par 5, 7 ou 10).

Une séquence périodique, c'est comme une chanson de radio qui répète le même refrain indéfiniment. Si vous connaissez les 10 premières notes, vous savez exactement ce qui va suivre pour toujours. C'est prévisible, un peu ennuyeux.
Une séquence non-périodique, c'est comme une improvisation de jazz ou une tempête. Il n'y a pas de motif répétitif. Même si vous connaissez des milliers de notes, vous ne pouvez jamais prédire la suivante avec certitude. C'est le chaos organisé.

L'objectif principal de l'article est de prouver que certaines suites de nombres très célèbres en mathématiques (liées à des fonctions spéciales) sont de ce type "improvisation". Elles ne répètent jamais leur motif, même si on les observe pendant des milliards d'années.

2. Les "Super-Héros" des nombres

Les auteurs ont testé plusieurs de ces "super-héros" mathématiques :

La fonction de Ramanujan (τ(n)) : Imaginez un magicien qui attribue un nombre secret à chaque entier. Les auteurs ont prouvé que si on regarde les restes de ces nombres secrets divisés par 5, 7, 8, 9 ou 691, le magicien ne triche jamais en répétant un motif. C'est une improvisation pure.
Les séries d'Eisenstein (Ek(z)) : Ce sont comme des structures architecturales complexes faites de nombres. Les auteurs ont montré que les briques qui composent ces structures (les coefficients) ne suivent pas de schéma répétitif simple.
Les fonctions totient (φ, Φ, Jk, etc.) : Ce sont des compteurs qui disent combien de nombres sont "amis" (premiers entre eux) avec un nombre donné. Les auteurs ont démontré que même ces compteurs, qui semblent très ordonnés, deviennent imprévisibles lorsqu'on les regarde sous un certain angle (modulo un nombre).

L'analogie de la clé :
Pour prouver que ces suites ne sont pas périodiques, les auteurs ont utilisé une astuce de détective. Ils ont dit : "Si cette suite était une boucle répétitive, elle devrait se comporter de la même façon pour tous les nombres premiers (les briques de base des nombres). Mais nous avons trouvé des briques qui réagissent différemment selon leur taille. Donc, impossible que ce soit une boucle !"

3. Le Grand Trésor : Les Nombres Transcendants

Une fois qu'ils ont prouvé que ces suites sont imprévisibles (non-périodiques), ils ont fait une deuxième étape incroyable : créer des nombres nouveaux et mystérieux.

Imaginez que vous prenez cette suite de nombres imprévisibles et que vous les utilisez pour construire un nombre décimal infini (comme 0,12345...).

Si la suite était périodique, le nombre obtenu serait "simple" (comme 1/3 = 0,333...).
Mais comme la suite est une improvisation sans fin, le nombre obtenu est transcendant.

Qu'est-ce qu'un nombre transcendant ?
C'est un nombre si complexe qu'il ne peut pas être la solution d'une équation mathématique simple (comme $x^2 - 2 = 0$ ). Les seuls nombres transcendants que vous connaissez probablement sont Pi (π) et e.
Les auteurs disent : "Regardez ! Nous avons créé une famille entière de nouveaux nombres Pi et e, basés sur nos suites de nombres magiques."

C'est comme si, après avoir prouvé que la musique d'un orchestre était totalement libre et sans répétition, ils avaient utilisé cette musique pour composer une nouvelle mélodie qui n'existe nulle part ailleurs dans l'univers mathématique.

En résumé

Ce papier est une aventure en deux actes :

Le Détective : Il prouve que certaines suites de nombres célèbres (Ramanujan, Euler, etc.) ne répètent jamais leur motif. Elles sont infiniment imprévisibles.
L'Architecte : Il utilise cette imprévisibilité pour construire de nouveaux nombres "magiques" (transcendants), aussi étranges et uniques que Pi.

C'est une preuve que même dans le monde très structuré des nombres entiers, il existe un chaos magnifique et infini qui échappe à toute prévision simple.

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque à deux problèmes fondamentaux en théorie des nombres et en analyse :

La non-périodicité modulo $m$ : Déterminer des conditions suffisantes pour qu'une suite d'arithmetic functions $\{f(n) \pmod m\}_{n \ge 1}$ soit non-périodique. Une suite est dite non-périodique si elle n'est pas éventuellement périodique (c'est-à-dire qu'il n'existe pas d'entiers $N, L$ tels que $f(n+L) \equiv f(n) \pmod m$ pour tout $n \ge N$ ).
La transcendance de nombres réels : Construire des nombres transcendants en utilisant des fractions continues dont les coefficients sont dérivés de suites d'arithmetic functions non-périodiques.

Les auteurs se concentrent sur une large famille de fonctions arithmétiques classiques issues de la théorie des formes modulaires (fonction $\tau$ de Ramanujan, coefficients de séries d'Eisenstein) et de la théorie multiplicative des nombres (fonctions totient de Nathanson, Euler, Jordan, etc.).

2. Méthodologie

La méthodologie repose sur une approche combinant l'analyse des propriétés de congruence des fonctions arithmétiques et la théorie des nombres transcendants.

A. Critères de Non-Périodicité

Les auteurs établissent deux théorèmes généraux (Théorèmes 1.9 et 1.10) pour prouver la non-périodicité :

Théorème 1.9 : Si une fonction $f$ possède la propriété de divisibilité ( $p|n \implies f(p)|f(n)$ ) et si $m$ ne divise pas $f(p)$ pour une infinité de nombres premiers $p$ , tout en divisant $f(p)$ pour les $p \equiv 1 \pmod{K(m)}$ , alors la suite est non-périodique. La preuve utilise le théorème des nombres premiers de Dirichlet pour construire des contradictions basées sur la périodicité supposée.
Théorème 1.10 : Si $f$ est multiplicative pour les entiers sans facteur carré, et si les valeurs de $f(p) \pmod m$ prennent deux valeurs distinctes $r_1$ et $r_2$ (avec $r_2 r_1 \not\equiv r_2 \pmod m$ ) sur des classes de nombres premiers spécifiques, alors la suite est non-périodique.

B. Construction de Nombres Transcendants

Pour la seconde partie, les auteurs utilisent un théorème d'Adamczewski, Bugeaud et Davison (Théorème 2.5). Ce théorème stipule que si $\theta$ est un nombre irrationnel dans $(0,1)$ , alors le nombre défini par la fraction continue $[0; d_1, d_2, \dots]$ où $d_n = 1 + ([n\theta] \pmod k)$ est transcendant.
La stratégie consiste donc à :

Prouver que la suite des coefficients modulo $m$ est non-périodique.
En déduire que la série $\sum \frac{f(n) \pmod m}{10^n}$ est irrationnelle.
Appliquer le théorème 2.5 pour conclure à la transcendance des nombres associés.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

Les résultats sont divisés en deux catégories principales :

A. Non-Périodicité des Suites Arithmétiques

Les auteurs démontrent la non-périodicité modulo $m$ pour plusieurs fonctions majeures :

Fonction $\tau(n)$ de Ramanujan :
- La suite $\{\tau(n) \pmod m\}$ est non-périodique pour $m = 5, 7, 8, 9, 691$ .
- Le cas $m=691$ est particulièrement notable car il fait intervenir la célèbre congruence de Ramanujan.
Coefficients de Fourier des Séries d'Eisenstein $E_k(z)$ :
- Pour les séries normalisées $E_4, E_6, E_8, E_{10}, E_{14}$ , les suites de leurs coefficients $a(n), b(n), c(n), d(n), e(n)$ sont non-périodiques modulo $m$ sous certaines conditions de coprimalité avec les constantes liées aux séries (ex: $\gcd(m, 240)=1$ pour $E_4$ ).
Fonctions Totient et Arithmétiques Diverses :
- Fonction de Nathanson $\Phi(n)$ et comptage de sous-ensembles premiers entre eux $g(n)$ : Non-périodiques pour tout entier impair $m \ge 5$ . Cela généralise un résultat antérieur d'Ayad et Kihel.
- Fonction Totient d'Euler $\phi(n)$ : Non-périodique pour $m \ge 3$ .
- Somme des diviseurs $\sigma(n)$ et convolution $\sigma * \phi(n)$ : Non-périodiques pour $m \ge 7$ .
- Fonction Totient de Jordan $J_k(n)$ : Non-périodique pour $m \ge 3$ et $k$ impair.
- Fonction Totient Unitary $\phi^*(n)$ : Non-périodique pour $m \ge 3$ .

B. Transcendance de Nombres

En utilisant les résultats de non-périodicité, les auteurs construisent une infinité de nombres transcendants $\alpha_{k,m}$ définis par des fractions continues. Les coefficients de ces fractions continues sont construits à partir des sommes partielles des suites arithmétiques modulo $m$ (ex: $d_{n,k,m} = 1 + ([\sum_{r=1}^n \tau(r) \pmod m / 10^r] \pmod k)$ ).

Le Théorème 1.11 énonce explicitement que ces nombres sont transcendants pour les combinaisons spécifiques de $m$ et $k$ listées ci-dessus, couvrant ainsi les fonctions $\tau, E_k, \Phi, g, \phi, \sigma, \sigma*\phi, J_k, \phi^*$ .

4. Signification et Impact

Généralisation des résultats existants : L'article étend significativement les travaux d'Ayad et Kihel sur la non-périodicité de $g(n)$ et fournit de nouveaux critères généraux (Théorèmes 1.9 et 1.10) applicables à une vaste classe de fonctions multiplicatives.
Lien entre Formes Modulaires et Transcendance : L'article établit un pont rigoureux entre les propriétés de congruence profondes des formes modulaires (comme les congruences de Ramanujan) et la théorie des nombres transcendants. Il montre que la structure arithmétique complexe de ces fonctions se traduit par la transcendance de nombres construits à partir d'elles.
Nouveaux Nombres Transcendants : Avant cet article, peu de résultats connus concernaient la transcendance de nombres associés spécifiquement aux coefficients de séries d'Eisenstein ou aux fonctions totient généralisées via des fractions continues. L'article fournit une méthode systématique pour générer de tels nombres.
Outils Théoriques : L'utilisation combinée du théorème des nombres premiers de Dirichlet et du théorème d'Adamczewski-Bugeaud-Davison offre une boîte à outils puissante pour l'analyse de la périodicité et de la transcendance dans d'autres contextes arithmétiques.

En résumé, cet article apporte des preuves rigoureuses de la nature "chaotique" (non-périodique) de nombreuses suites arithmétiques classiques modulo $m$ et exploite cette propriété pour démontrer la transcendance de nouveaux nombres réels, enrichissant ainsi la théorie des nombres transcendants et l'étude des formes modulaires.