Sums of Apostol's Möbius functions of order $k$

तकनीकी सारांश: क्रम $k$ के अस्टोपोल के म्यूबियस फलनों के योग

समस्या विवरण
यह शोध पत्र सामान्यीकृत म्यूबियस फलन $\mu_k(n)$ के क्रम $k$ के योगफल फलन (summatory function) के अनंतस्पर्शी व्यवहार (asymptotic behavior) को संबोधित करता है, विशेष रूप से इस स्थिति में जब योग सूचकांक $n$, एक निश्चित पूर्णांक $q$ के साथ सह-अभाज्य (coprime) हो। शास्त्रीय म्यूबियस फलन $\mu(n)$, $k=1$ के मामले के अनुरूप है। $k \ge 2$ के लिए, टी. एम. अस्टोपोल (1970) ने स्थापित किया कि $\sum_{n \le x} \mu_k(n) = A_k x + E_k(x)$, जहाँ त्रुटि पद (error term) $E_k(x) = O(x^{1/k} \log x)$ है।

ए. बेगे (2001) ने सह-अभाज्य मामले $\sum_{n \le x, (n,q)=1} \mu_k(n) = A_{k,q} x + E_{k,q}(x)$ के लिए त्रुटि पद $E_{k,q}(x)$ के लिए काफी बेहतर सीमाओं का अनुमान लगाया था। बेगे के अनुमान में दो संस्करण प्रस्तावित किए गए थे:

1. अप्रतिबंधित (Unconditional): $E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{1/k} \exp\left(-D \frac{(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)$।
2. प्रतिबंधित (Conditional - रीमान परिकल्पना (Riemann Hypothesis) मानते हुए): $E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{2/(2k+1)} \exp\left(A \frac{\log x}{\log \log x}\right)$।

जबकि हाल के कार्यों द्वारा बनर्जी एवं अन्य (2023) और मार्टिन और यिप (2025) ने $q=1$ के मामले के लिए इन अनुमानों को हल कर दिया है, सामान्य मामला किसी भी $q \ge 1$ के लिए अभी भी खुला रहा। यह शोध पत्र इन हालिया परिणामों को किसी भी $q$ के लिए सामान्यीकृत करने और त्रुटि पद के माध्य वर्ग अनुमान (mean square estimate) प्रदान करने का लक्ष्य रखता है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की तकनीकों का उपयोग करते हैं, जो मुख्य रूप से डिरिचलेट श्रेणियों (Dirichlet series), पेरोन के सूत्र (Perron's formula) और कॉन्टूर एकीकरण (contour integration) पर निर्भर करती हैं। मुख्य कार्यप्रणालीगत चरण शामिल हैं:

1. $\mu_k$ का अपघटन (Decomposition): $\mu_k$ को डिरिचलेट संवोलन (Dirichlet convolution) के माध्यम से $\mu_k = f_k * c_k$ के रूप में अपघटित किया गया है। फलन $f_k$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि इसकी डिरिचलेट श्रेणी $\zeta^{-2}(s)$ से संबंधित है, जबकि $c_k$ एक सहायक फलन है जिसके विकास गुण नियंत्रित हैं।
2. योग का विभाजन (Splitting the Sum): मुख्य पद (main term) को त्रुटि पद से अलग करने के लिए एक पैरामीटर (जैसे, $d \le \rho z$ बनाम $d > \rho z$) के आधार पर योग के परास (ranges) को विभाजित किया गया है। यह योग के विभिन्न भागों के लिए विभिन्न अनुमानों को लागू करने की अनुमति देता है।
3. डिरिचलेट श्रेणी विश्लेषण: शोध पत्र प्रासंगिक डिरिचलेट श्रेणियों के यूलर उत्पाद विस्तार (Euler product expansions) का उपयोग करता है। प्रमुख लेम्मा विशिष्ट अर्ध-तलों (half-planes) में इन श्रेणियों के पूर्ण अभिसरण (absolute convergence) को स्थापित करते हैं और सहायक फलनों (जैसे, $b_k(n)$ और $d_k(n)$) के गुणांकों के लिए सीमाएँ प्रदान करते हैं।
4. कॉन्टूर एकीकरण (Contour Integration): आंशिक योगों को जटिल समाकल (complex integrals) के रूप में व्यक्त करने के लिए पेरोन के सूत्र का उपयोग किया जाता है। मुख्य पदों (residues) को निकालने और शेष समाकलों को बांधने के लिए एकीकरण कंटूर को बाईं ओर (क्रिटिकल लाइन की ओर) स्थानांतरित किया जाता है।
   • अप्रतिबंधित प्रमाण (थ्योरम 1) के लिए, कंटूर को रीमान ज़ेटा-फंक्शन के शून्य-मुक्त क्षेत्रों (zero-free regions) का उपयोग करने वाले क्षेत्र में स्थानांतरित किया जाता है, जिससे $(\log x)^{3/5}$ वाले घातांकीय क्षय कारक (exponential decay factor) की प्राप्ति होती है।
   • प्रतिबंधित प्रमाण (थ्योरम 2) के लिए, रीमान परिकल्पना (RH) मानते हुए, कंटूर को $\text{Re}(s) = 1/2$ पर स्थानांतरित किया जाता है। $\zeta(s)$ और $\zeta^{-1}(s)$ पर RH के तहत सीमाएँ ( $\omega$-फलन नोटेशन का उपयोग करते हुए) समाकलों का अनुमान लगाने के लिए लागू की जाती हैं।
5. माध्य वर्ग अनुमान (Mean Square Estimation): थ्योरम 3 के लिए, लेखक विसंगति (discrepancy) $\Xi_{k,q}(x)$ (एक द्वितीयक मुख्य पद के लिए समायोजित त्रुटि पद) के माध्य वर्ग का विश्लेषण करते हैं। इसमें संबंधित डिरिचलेट श्रेणी पर पार्सवल की पहचान (Parseval's identity) का अनुप्रयोग शामिल है, जो फलन के वर्ग के समाकल को एक ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ संबंधित डिरिचलेट श्रेणी के वर्ग के मापांक (squared modulus) के समाकल में परिवर्तित करता है।

प्रमुख योगदान और परिणाम

• थ्योरम 1 (अप्रतिबंधित अनुमान): यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि किसी भी $x \ge 3$, $k \ge 2$, और $q \ge 1$ के लिए:
  $$E_{k,q}(x) \ll_k \theta(q) x^{1/k} \exp\left(-D_0 k^{-8/5} \frac{(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)$$
  जहाँ $D_0$ एक निरपेक्ष धनात्मक स्थिरांक है। यह बेगे के अनुमान के अपरिवर्तित संस्करण का एक सकारात्मक समाधान प्रदान करता है, जिसमें निहित स्थिरांक (implied constant) और स्थिरांक $D$, $k$ पर निर्भर कर सकते हैं। यह बनर्जी एवं अन्य के $q=1$ के परिणाम में थोड़ा सुधार भी करता है।

• थ्योरम 2 (प्रतिबंधित अनुमान): रीमान परिकल्पना (RH) मानते हुए, यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि:
  $$E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{1/(k+1)} \exp\left(C_0 \frac{\log x}{\log \log x}\right)$$
  जहाँ $C_0$ एक निरपेक्ष धनात्मक स्थिरांक है। यह सामान्य $q$ के लिए बेगे के अनुमान के प्रतिबंधित भाग को पूरी तरह से हल करता है। यह मार्टिन और यिप के $q=1$ परिणाम को परिष्कृत करता है और अधिक सटीक त्रुटि पद संरचना प्रदान करता है।

• थ्योरम 3 (माध्य वर्ग अनुमान): शोध पत्र समायोजित त्रुटि पद $\Xi_{k,q}(x) = E_{k,q}(x) - B_{k,q}x^{1/(k+1)}$ के माध्य वर्ग के लिए एक सीमा स्थापित करता है:
  $$\int_1^T \Xi_{k,q}^2(x) \, dx \ll C_{k,q}^2 T^{1+1/k} \exp\left(G_0 (\log T)^{G_1 k / (G_1 k + 1)}\right)$$
  जहाँ $C_{k,q}$, जो $q$ और $k$ पर निर्भर करता है, तथा $G_0, G_1$ निरपेक्ष स्थिरांक हैं। यह त्रुटि पद के दोलन (oscillation) के औसत आकार को मात्रात्मक रूप से निर्धारित करता है।

महत्व
शोध पत्र दावा करता है कि यह बेगे के अनुमान के प्रतिबंधित संस्करण को पूरी तरह से और अपरिवर्तित संस्करण को आंशिक रूप से (इस अर्थ में कि स्थिरांक $k$ पर निर्भर करते हैं) "सकारात्मक समाधान" प्रदान करता है। $q=1$ के लिए हालिया सफलताओं को किसी भी $q$ के लिए सामान्यीकृत करके, यह कार्य अंकगणितीय प्रगति (arithmetic progressions) में उच्च-क्रम के म्यूबियस फलनों के वितरण की समझ को विस्तारित करता। परिणाम पुष्टि करते हैं कि त्रुटि पद बेगे द्वारा अनुमानित व्यवहार करते हैं, जहाँ त्रुटि का परिमाण $q$ के वर्ग-मुक्त विभाजकों (square-free divisors) की संख्या ($\theta(q)$) और क्रम $k$ द्वारा नियंत्रित होता है। माध्य वर्ग अनुमान त्रुटि पद के उतार-चढ़ाव को और अधिक स्पष्ट करता है, जो केवल सरल ऊपरी सीमाओं (upper bounds) से परे इसके व्यवहार के बारे में गहरी अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।