Sums of Apostol's Möbius functions of order $k$

技术摘要：Apostol $k$ 阶 Möbius 函数之和

问题陈述
本文研究了广义 Möbius 函数 $\mu_k(n)$ 的和函数在求和指数 $n$ 与固定整数 $q$ 互素条件下的渐近行为。经典 Möbius 函数 $\mu(n)$ 对应于 $k=1$ 的情况。对于 $k \ge 2$，T. M. Apostol (1970) 确定了 $\sum_{n \le x} \mu_k(n) = A_k x + E_k(x)$，其中误差项 $E_k(x)$ 为 $O(x^{1/k} \log x)$。

A. Bege (2001) 对互素情况下的误差项 $E_{k,q}(x)$（即 $\sum_{n \le x, (n,q)=1} \mu_k(n) = A_{k,q} x + E_{k,q}(x)$）提出了显著更精细的界限猜想。Bege 的猜想提出了两个版本：

1. 无条件版本： $E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{1/k} \exp\left(-D \frac{(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)$。
2. 有条件版本（假设黎曼假设）： $E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{2/(2k+1)} \exp\left(A \frac{\log x}{\log \log x}\right)$。

虽然最近由 Banerjee 等人 (2023) 以及 Martin 和 Yip (2025) 完成的工作解决了 $q=1$ 时的这些猜想，但对于任意 $q \ge 1$ 的一般情况仍悬而未决。本文旨在将这些近期的研究结果推广到任意 $q$，并为误差项提供一个均方估计。

方法论
作者采用了解析数论技术，主要依赖于狄利克雷级数、Perron 公式和围道积分。核心方法步骤包括：

1. $\mu_k$ 的分解： 通过狄利克雷卷积将 $\mu_k$ 分解为 $\mu_k = f_k * c_k$。函数 $f_k$ 的定义使其狄利克雷级数与 $\zeta^{-2}(s)$ 相关，而 $c_k$ 是一个具有受控增长性质的辅助函数。
2. 拆分求和： 根据参数（例如 $d \le \rho z$ 与 $d > \rho z$）将和函数进行拆分，以分离主项与误差项。这使得能够对求和的不同部分应用不同的估计。
3. 狄利克雷级数分析： 本文利用了相关狄利克雷级数的欧拉乘积展开。关键引理确立了这些级数在特定半平面内的绝对收敛性，并提供了辅助函数（如 $b_k(n)$ 和 $d_k(n)$）系数的界限。
4. 围道积分： 使用 Perron 公式将部分和表示为复积分。积分路径被向左移动（向临界线方向），以提取主项（留数）并控制剩余积分。
   • 对于无条件证明（定理 1），积分路径被移动到利用 Riemann $\zeta$ 函数零点区域的区域，从而产生包含 $(\log x)^{3/5}$ 的指数衰减因子。
   • 对于有条件证明（定理 2），在假设黎曼假设 (RH) 的情况下，积分路径被移动到 $\text{Re}(s) = 1/2$。通过应用 RH 下 $\zeta(s)$ 和 $\zeta^{-1}(s)$ 的界限（使用 $\omega$ 函数符号）来估计积分。
5. 均方估计： 对于定理 3，作者分析了偏差 $\Xi_{k,q}(x)$（经过二次主项调整后的误差项）的均方。这涉及将 Parseval 等式应用于狄利克雷级数，将函数平方的积分转化为沿垂直线的相关狄利克雷级数模平方的积分。

主要贡献与结果

• 定理 1（无条件估计）： 本文证明了对于任何 $x \ge 3, k \ge 2, q \ge 1$：
  $$E_{k,q}(x) \ll_k \theta(q) x^{1/k} \exp\left(-D_0 k^{-8/5} \frac{(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)$$
  其中 $D_0$ 是一个绝对正常数。这为 Bege 猜想的无条件版本提供了肯定的解答，允许隐含常数和常数 $D$ 依赖于 $k$。它也略微改进了 Banerjee 等人的 $q=1$ 结果。

• 定理 2（有条件估计）： 在假设黎曼假设的情况下，本文证明了：
  $$E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{1/(k+1)} \exp\left(C_0 \frac{\log x}{\log \log x}\right)$$
  其中 $C_0$ 是一个绝对正常数。这完全解决了针对一般 $q$ 的 Bege 猜想的有条件部分。它通过提供更精确的误差项结构，精炼了 Martin 和 Yip 的 $q=1$ 结果。

• 定理 3（均方估计）： 本文建立了调整后的误差项 $\Xi_{k,q}(x) = E_{k,q}(x) - B_{k,q}x^{1/(k+1)}$ 的均方估计：
  $$\int_1^T \Xi_{k,q}^2(x) \, dx \ll C_{k,q}^2 T^{1+1/k} \exp\left(G_0 (\log T)^{G_1 k / (G_1 k + 1)}\right)$$
  其中 $C_{k,q}$ 是依赖于 $q$ 和 $k$ 的常数，$G_0, G_1$ 是绝对常数。这量化了误差项振荡的平均大小。

意义
该论文声称为 Bege 猜想的有条件版本提供了“肯定的解答”（完全解决），并对无条件版本提供了部分解答（就常数依赖于 $k$ 而言）。通过将近期针对 $q=1$ 的突破推广到任意 $q$，这项工作扩展了对算术级数中高阶 Möbius 函数分布的理解。结果证实了误差项的行为符合 Bege 的预测，其量级受 $q$ 的无平方因子除数个数 ($\theta(q)$) 和阶数 $k$ 控制。均方估计进一步刻画了这些和函数的波动，为误差项的性质提供了超越简单上界的更深层见解。