Sums of Apostol's Möbius functions of order $k$

Technische Samenvatting: Sommen van Apostols Möbiusfuncties van Orde $k$

Probleemstelling
Het artikel behandelt het asymptotische gedrag van de sommatiefunctie van de gegeneraliseerde Möbiusfunctie $\mu_k(n)$ van orde $k$, specifiek onder de conditie dat de sommatie-index $n$ relatief priem is aan een vaste integer $q$. De klassieke Möbiusfunctie $\mu(n)$ komt overeen met de casus $k=1$. Voor $k \ge 2$ stelde T. M. Apostol (1970) vast dat $\sum_{n \le x} \mu_k(n) = A_k x + E_k(x)$, waarbij de foutterm $E_k(x)$ gelijk is aan $O(x^{1/k} \log x)$.

A. Bege (2001) conjectureerde aanzienlijk scherpere grenzen voor de foutterm $E_{k,q}(x)$ in de relatief priem-casus $\sum_{n \le x, (n,q)=1} \mu_k(n) = A_{k,q} x + E_{k,q}(x)$. Bege's conjectuur stelde twee versies voor:

1. Onvoorwaardelijk: $E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{1/k} \exp\left(-D \frac{(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)$.
2. Voorwaardelijk (uitgaande van de Riemann-hypothese): $E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{2/(2k+1)} \exp\left(A \frac{\log x}{\log \log x}\right)$.

Hoewel recente werken door Banerjee et al. (2023) en Martin en Yip (2025) deze conjecturen hebben opgelost voor de casus $q=1$, bleef de algemene casus voor willekeurige $q \ge 1$ open. Dit artikel beoogt deze recente resultaten te generaliseren naar willekeurige $q$ en een gemiddelde kwadratische schatting te bieden voor de foutterm.

Methodologie
De auteur maakt gebruik van technieken uit de analytische getaltheorie, primair gebaseerd op Dirichlet-reeksen, Perron's formule en contourintegratie. De kernstappen van de methodologie zijn:

1. Decompositie van $\mu_k$: De functie $\mu_k$ wordt gedecomposeerd via Dirichlet-convolutie als $\mu_k = f_k * c_k$. De functie $f_k$ is gedefinieerd zodanig dat de Dirichlet-reeks ervan gerelateerd is aan $\zeta^{-2}(s)$, terwijl $c_k$ een hulpfunctie is met gecontroleerde groei-eigenschappen.
2. Splitsing van de Som: De sommatiefunctie wordt gesplitst in bereiken op basis van een parameter (bijv. $d \le \rho z$ versus $d > \rho z$) om de hoofdbegrip te isoleren van de foutterm. Dit maakt de toepassing van verschillende schattingen op verschillende delen van de som mogelijk.
3. Analyse van Dirichlet-reeksen: Het artikel maakt gebruik van de Eulerproductexpansies van de relevante Dirichlet-reeksen. Kernlemma's vestigen de absolute convergentie van deze reeksen in specifieke halfvlakken en bieden grenzen voor de coëfficiënten van de hulpfuncties (bijv. $b_k(n)$ en $d_k(n)$).
4. Contourintegratie: Perron's formule wordt gebruikt om de partiële sommen uit te drukken als complexe integralen. De integratiecontouren worden naar links verschoven (naar de kritieke lijn) om hoofdbegrippen (residuen) te extraheren en de resterende integralen te begrenzen.
   • Voor het onvoorwaardelijke bewijs (Theorem 1), wordt de contour verschoven naar een gebied dat gebruikmaakt van nulvrije regio's van de Riemann zeta-functie, wat leidt tot de exponentiële vervalfactor met betrekking tot $(\log x)^{3/5}$.
   • Voor het voorwaardelijke bewijs (Theorem 2), uitgaande van de Riemann-hypothese (RH), wordt de contour verschoven naar $\text{Re}(s) = 1/2$. Grenzen op $\zeta(s)$ en $\zeta^{-1}(s)$ onder de RH (met gebruik van de $\omega$-functie notatie) worden toegepast om de integralen te schatten.
5. Gemiddelde Kwadratische Schatting: Voor Theorem 3 analyseert de auteur het gemiddelde kwadraat van de discrepantie $\Xi_{k,q}(x)$ (de foutterm aangepast voor een secundair hoofdbegrip). Dit omvat de toepassing van Parseval's identiteit op de Dirichlet-reeksen, waarbij het integraal van het kwadraat van de functie wordt omgezet in een integraal van het kwadraat van de modulus van de bijbehorende Dirichlet-reeks langs een verticale lijn.

Kernbijdragen en Resultaten

• Theorem 1 (Onvoorwaardelijke Schatting): Het artikel bewijst dat voor elke $x \ge 3$, $k \ge 2$, en $q \ge 1$:
  $$E_{k,q}(x) \ll_k \theta(q) x^{1/k} \exp\left(-D_0 k^{-8/5} \frac{(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)$$
  waarbij $D_0$ een absolute positieve constante is. Dit biedt een bevestigende oplossing voor de onvoorwaardelijke versie van Bege's conjectuur, waarbij de geïmpliceerde constante en de constante $D$ afhankelijk mogen zijn van $k$. Het verbetert ook licht de $q=1$ resultaten van Banerjee et al.

• Theorem 2 (Voorwaardelijke Schatting): Uitgaande van de Riemann-hypothese bewijst het artikel dat:
  $$E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{1/(k+1)} \exp\left(C_0 \frac{\log x}{\log \log x}\right)$$
  waarbij $C_0$ een absolute positieve constante is. Dit lost het voorwaardelijke deel van Bege's conjectuur volledig op voor algemene $q$. Het verfijnt het $q=1$ resultaat van Martin en Yip door een preciezere structuur van de foutterm te bieden.

• Theorem 3 (Gemiddelde Kwadratische Schatting): Het artikel stelt een grens vast voor het gemiddelde kwadraat van de aangepaste foutterm $\Xi_{k,q}(x) = E_{k,q}(x) - B_{k,q}x^{1/(k+1)}$:
  $$\int_1^T \Xi_{k,q}^2(x) \, dx \ll C_{k,q}^2 T^{1+1/k} \exp\left(G_0 (\log T)^{G_1 k / (G_1 k + 1)}\right)$$
  waarbij $C_{k,q}$ een constante is die afhankelijk is van $q$ en $k$, en $G_0, G_1$ absolute constanten zijn. Dit kwantificeert de gemiddelde grootte van de oscillatie van de foutterm.

Significantie
Het artikel beweert "bevestigende oplossingen" te bieden voor de voorwaardelijke versie van Bege's conjectuur volledig, en voor de onvoorwaardelijke versie gedeeltelijk (in de zin dat de constanten afhankelijk zijn van $k$). Door de recente doorbraken voor $q=1$ te generaliseren naar willekeurige $q$, breidt het werk het begrip van de distributie van hogere-orde Möbiusfuncties in rekenkundige progressies uit. De resultaten bevestigen dat de fouttermen zich gedragen zoals Bege voorspelde, waarbij de grootte van de fout wordt gecontroleerd door het aantal vrij van kwadraten zijnde delers van $q$ ($\theta(q)$) en de orde $k$. De gemiddelde kwadratische schatting karakteriseert verder de fluctuatie van deze sommen, wat een dieper inzicht biedt in het gedrag van de foutterm voorbij eenvoudige bovengrenzen.