Sums of Apostol's Möbius functions of order $k$

Sintesi Tecnica: Somme delle Funzioni di Möbius di Apostol di Ordine $k$

Enunciato del Problema
Il documento affronta il comportamento asintotico della funzione sommatoria della funzione di Möbius generalizzata $\mu_k(n)$ di ordine $k$, specificamente sotto la condizione che l'indice di sommatoria $n$ sia coprimo con un intero fissato $q$. La classica funzione di Möbius $\mu(n)$ corrisponde al caso $k=1$. Per $k \ge 2$, T. M. Apostol (1970) ha stabilito che $\sum_{n \le x} \mu_k(n) = A_k x + E_k(x)$, dove il termine di errore $E_k(x)$ è $O(x^{1/k} \log x)$.

A. Bege (2001) ha ipotizzato vincoli significativamente più stretti per il termine di errore $E_{k,q}(x)$ nel caso coprimo $\sum_{n \le x, (n,q)=1} \mu_k(n) = A_{k,q} x + E_{k,q}(x)$. La congettura di Bege proponeva due versioni:

1. Incondizionata: $E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{1/k} \exp\left(-D \frac{(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)$.
2. Condizionata (assumendo l'Ipotesi di Riemann): $E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{2/(2k+1)} \exp\left(A \frac{\log x}{\log \log x}\right)$.

Sebbene lavori recenti di Banerjee et al. (2023) e Martin e Yip (2025) abbiano risolto queste congetture per il caso $q=1$, il caso generale per un $q \ge 1$ arbitrario rimaneva aperto. Questo articolo mira a generalizzare tali risultati recenti per un $q$ arbitrario e a fornire una stima del quadrato medio del termine di errore.

Metodologia
L'autore impiega tecniche di teoria analitica dei numeri, basandosi principalmente su serie di Dirichlet, la formula di Perron e l'integrazione di contorno. I passaggi metodologici centrali includono:

1. Decomposizione di $\mu_k$: La funzione $\mu_k$ è decomposta tramite convoluzione di Dirichlet come $\mu_k = f_k * c_k$. La funzione $f_k$ è definita tale che la sua serie di Dirichlet sia correlata a $\zeta^{-2}(s)$, mentre $c_k$ è una funzione ausiliaria con proprietà di crescita controllate.
2. Suddivisione della Somma: La funzione sommatoria viene suddivisa in intervalli basati su un parametro (ad esempio, $d \le \rho z$ rispetto a $d > \rho z$) per isolare il termine principale dal termine di errore. Ciò consente l'applicazione di stime differenti per le diverse parti della somma.
3. Analisi della Serie di Dirichlet: Il documento utilizza le espansioni del prodotto di Eulero delle serie di Dirichlet rilevanti. Lemmi chiave stabiliscono la convergenza assoluta di queste serie in specifici semipiani e forniscono limiti per i coefficienti delle funzioni ausiliarie (ad esempio, $b_k(n)$ e $d_k(n)$).
4. Integrazione di Contorno: La formula di Perron viene utilizzata per esprimere le somme parziali come integrali complessi. I contorni di integrazione vengono traslati verso sinistra (verso la retta critica) per estrarre i termini principali (residui) e limitare gli integrali rimanenti.
   • Per la dimostrazione incondizionata (Teorema 1), il contorno viene traslato in una regione che utilizza le regioni di non-zero della funzione zeta di Riemann, portando al fattore di decadimento esponenziale che coinvolge $(\log x)^{3/5}$.
   • Per la dimostrazione condizionata (Teorema 2), assumendo l'Ipotesi di Riemann (RH), il contorno viene traslato a $\text{Re}(s) = 1/2$. Limiti su $\zeta(s)$ e $\zeta^{-1}(s)$ sotto RH (utilizzando la notazione della funzione $\omega$) vengono applicati per stimare gli integrali.
5. Stima del Quadrato Medio: Per il Teorema 3, l'autore analizza il quadrato medio della discrepanza $\Xi_{k,q}(x)$ (il termine di errore aggiustato per un termine principale secondario), applicando l'identità di Parseval alla serie di Dirichlet, convertendo l'integrale del quadrato della funzione in un integrale del modulo al quadrato della sua serie di Dirichlet associata lungo una retta verticale.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema 1 (Stima Incondizionata): Il documento dimostra che per ogni $x \ge 3$, $k \ge 2$ e $q \ge 1$:
  $$E_{k,q}(x) \ll_k \theta(q) x^{1/k} \exp\left(-D_0 k^{-8/5} \frac{(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)$$
  dove $D_0$ è una costante positiva assoluta. Ciò fornisce una soluzione affermativa alla versione incondizionata della congettura di Bege, permettendo alla costante implicita e alla costante $D$ di dipendere da $k$. Inoltre, migliora leggermente il risultato di Banerjee et al. per $q=1$.

• Teorema 2 (Stima Condizionata): Assumendo l'Ipotesi di Riemann, il documento dimostra che:
  $$E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{1/(k+1)} \exp\left(C_0 \frac{\log x}{\log \log x}\right)$$
  dove $C_0$ è una costante positiva assoluta. Questo risolve completamente la parte condizionata della congettura di Bege per un $q$ generale. Raffina il risultato di Martin e Yip per $q=1$ fornendo una struttura del termine di errore più precisa.

• Teorema 3 (Stima del Quadrato Medio): Il documento stabilisce un limite per il quadrato medio del termine di errore aggiustato $\Xi_{k,q}(x) = E_{k,q}(x) - B_{k,q}x^{1/(k+1)}$:
  $$\int_1^T \Xi_{k,q}^2(x) \, dx \ll C_{k,q}^2 T^{1+1/k} \exp\left(G_0 (\log T)^{G_1 k / (G_1 k + 1)}\right)$$
  dove $C_{k,q}$ è una costante dipendente da $q$ e $k$, e $G_0, G_1$ sono costanti assolute. Questo quantifica la dimensione media dell'oscillazione del termine di errore.

Significatività
L'articolo sostiene di fornire "soluzioni affermative" alla versione condizionata della congettura di Bege in modo completo e alla versione incondizionata parzialmente (nel senso che le costanti dipendono da $k$). Generalizzando le recenti scoperte per $q=1$ a un $q$ arbitrario, il lavoro estende la comprensione della distribuzione delle funzioni di Möbius di ordine superiore nelle progressioni aritmetiche. I risultati confermano che i termini di errore si comportano come Bege aveva previsto, con l'entità del termine di errore controllata dal numero di divisori square-free di $q$ ($\theta(q)$) e dall'ordine $k$. La stima del quadrato medio caratterizza ulteriormente la fluttuazione di tali somme, offrendo una comprensione più profonda del comportamento del termine di errore oltre i semplici limiti superiori.