Sums of Apostol's Möbius functions of order $k$

기술 요약: $k$차 아포스톨의 뫼비우스 함수 합에 관한 연구

문제 정의
본 논문은 고정된 정수 $q$와 서로소인 조건 하에서 일반화된 $k$차 뫼비우스 함수 $\mu_k(n)$의 합함수의 점근적 거동을 다룬다. 고전적인 뫼비우스 함수 $\mu(n)$은 $k=1$인 경우에 해당한다. $k \ge 2$인 경우, T. M. Apostol (1970)은 $\sum_{n \le x} \mu_k(n) = A_k x + E_k(x)$이며, 여기서 오차항 $E_k(x)$는 $O(x^{1/k} \log x)$임을 확립하였다.

A. Bege (2001)는 서로소인 경우 $\sum_{n \le x, (n,q)=1} \mu_k(n) = A_{k,q} x + E_{k,q}(x)$에 대하여 오차항 $E_{k,q}(x)$에 대한 훨씬 더 정교한 상한을 추측하였다. Bege의 추측은 두 가지 버전을 제시하였다:

1. 무조건적(Unconditional): $E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{1/k} \exp\left(-D \frac{(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)$.
2. 조건부(Conditional, 리만 가설 가정 시): $E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{2/(2k+1)} \exp\left(A \frac{\log x}{\log \log x}\right)$.

최근 Banerjee 등(2023)과 Martin 및 Yip(2025)의 연구가 $q=1$인 경우에 대해 이 추측들을 해결하였으나, 임의의 $q \ge 1$에 대한 일반적인 사례는 여전히 미해결 상태로 남아 있었다. 본 논문은 이러한 최근의 결과들을 임의의 $q$에 대해 일반화하고, 오차항의 평균 제곱 추정치를 제공하는 것을 목표로 한다.

방법론
저자는 디리클레 급수, 페론 공식(Perron's formula), 그리고 경로 적분(contour integration)을 주로 사용하는 해석적 정수론 기법을 채택한다. 핵심적인 방법론적 단계는 다음과 같다:

1. $\mu_k$의 분해: 함수 $\mu_k$는 디리클레 합성곱을 통해 $\mu_k = f_k * c_k$로 분해된다. 함수 $f_k$는 그 디리클레 급수가 $\zeta^{-2}(s)$와 연관되도록 정의되며, $c_k$는 제어된 성장 특성을 가진 보조 함수이다.
2. 합의 분할: 합함수를 매개변수(예: $d \le \rho z$ 대 $d > \rho z$)에 따라 범위별로 분할하여 주항(main term)과 오차항을 격리한다. 이를 통해 각 부분에 대해 서로 다른 추정치를 적용할 수 있다.
3. 디리클레 급수 분석: 관련 디리클레 급수의 오일러 곱 전개를 활용한다. 핵심 보조 정리들은 특정 반평면에서의 관련 디리클레 급수의 절대 수렴성을 확립하고, 보조 함수(예: $b_k(n)$ 및 $d_k(n)$)의 계수에 대한 상한을 제공한다.
4. 경로 적분: 페론 공식을 사용하여 부분합을 복소 적분으로 표현한다. 주항(잔차)을 추출하고 남은 적분을 제한하기 위해 적분 경로를 왼쪽(임계선 방향)으로 이동시킨다.
   • 무조건적 증명(정리 1)을 위해, 리만 제타 함수의 영역이 없는 영역(zero-free regions)을 활용하는 경로로 이동하여 $(\log x)^{3/5}$를 포함하는 지수적 감소 인자를 유도한다.
   • 조건부 증명(정리 2)을 위해, 리만 가설(RH)을 가정하여 경로를 $\text{Re}(s) = 1/2$로 이동시킨다. RH 하에서의 $\zeta(s)$ 및 $\zeta^{-1}(s)$에 대한 상한($\omega$-함수 표기법 사용)을 적용하여 적분을 추정한다.
5. 평균 제곱 추정: 정리 3을 위해, 저자는 불일치(discrepancy) $\Xi_{k,q}(x)$(이차 주항에 대해 조정된 오차항)의 평균 제곱을 분석한다. 이는 파세발 항등식(Parseval's identity)을 디리클레 급수에 적용하여, 함수의 제곱의 적분을 수직선 상에서 관련 디리클레 급수의 절댓값 제곱의 적분으로 변환하는 과정을 포함한다.

주요 기여 및 결과

• 정리 1 (무조건적 추정): 본 논문은 임의의 $x \ge 3, k \ge 2, q \ge 1$에 대하여 다음을 증명한다:
  $$E_{k,q}(x) \ll_k \theta(q) x^{1/k} \exp\left(-D_0 k^{-8/5} \frac{(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)$$
  여기서 $D_0$는 절대 양의 상수이다. 이는 Bege 추측의 무조건적 버전에 대한 긍정적인 해를 제공하며, 암시된 상수와 상수 $D$가 $k$에 의존할 수 있게 한다. 또한 이는 Banerjee 등의 $q=1$ 결과를 약간 개선한다.

• 정리 2 (조건부 추정): 리만 가설을 가정할 때, 본 논문은 다음을 증명한다:
  $$E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{1/(k+1)} \exp\left(C_0 \frac{\log x}{\log \log x}\right)$$
  여기서 $C_0$는 절대 양의 상수이다. 이는 일반적인 $q$에 대해 Bege 추측의 조건부 부분을 완전히 해결한다. 이는 더 정밀한 오차항 구조를 제공함으로써 Martin 및 Yip의 $q=1$ 결과를 개선한다.

• 정리 3 (평균 제곱 추정): 본 논문은 조정된 오차항 $\Xi_{k,q}(x) = E_{k,q}(x) - B_{k,q}x^{1/(k+1)}$의 평균 제곱에 대한 상한을 설정한다:
  $$\int_1^T \Xi_{k,q}^2(x) \, dx \ll C_{k,q}^2 T^{1+1/k} \exp\left(G_0 (\log T)^{G_1 k / (G_1 k + 1)}\right)$$
  여기서 $C_{k,q}$는 $q$와 $k$에 의존하는 상수이며, $G_0, G_1$은 절대 상수이다. 이는 오차항의 진동에 대한 평균적인 크기를 정량화한다.

의의
본 논문은 조건부 버전의 Bege 추측에 대해서는 완전한 "긍정적 해"를, 무조건적 버전에 대해서는 (상수가 $k$에 의존한다는 의미에서) 부분적인 해를 제공한다고 주장한다. $q=1$에 대한 최근의 돌파구를 임의의 $q$에 대해 일반화함으로써, 본 연구는 산술 급수 내에서 고차 뫼비우스 함수의 분포에 대한 이해를 확장한다. 결과들은 오차항이 Bege가 예측한 대로 행동하며, 오차의 크기가 $q$의 제곱인수(square-free divisors)의 개수($\theta(q)$)와 차수 $k$에 의해 제어됨을 확인시켜 준다. 평균 제곱 추정치는 단순한 상한을 넘어 오차항의 진동 특성을 더욱 깊이 있게 설명한다.