Sums of Apostol's Möbius functions of order $k$

Resumo Técnico: Somas das Funções de Möbius de Apostol de Ordem $k$

Enunciado do Problema
O artigo aborda o comportamento assintótico da função de soma da função de Möbius generalizada $\mu_k(n)$ de ordem $k$, especificamente sob a condição de que o índice de soma $n$ seja coprimo a um inteiro fixo $q$. A função de Möbius clássica $\mu(n)$ corresponde ao caso $k=1$. Para $k \ge 2$, T. M. Apostol (1970) estabeleceu que $\sum_{n \le x} \mu_k(n) = A_k x + E_k(x)$, onde o termo de erro $E_k(x)$ é $O(x^{1/k} \log x)$.

A. Bege (2001) conjecturou limites significativamente mais aguçados para o termo de erro $E_{k,q}(x)$ no caso coprimo $\sum_{n \le x, (n,q)=1} \mu_k(n) = A_{k,q} x + E_{k,q}(x)$. A conjectura de Bege propôs duas versões:

1. Incondicional: $E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{1/k} \exp\left(-D \frac{(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)$.
2. Condicional (assumindo a Hipótese de Riemann): $E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{2/(2k+1)} \exp\left(A \frac{\log x}{\log \log x}\right)$.

Embora trabalhos recentes por Banerjee et al. (2023) e Martin e Yip (2025) tenham resolvido estas conjecturas para o caso $q=1$, o caso geral para um $q \ge 1$ arbitrário permanecia em aberto. Este artigo visa generalizar estes resultados recentes para um $q$ arbitrário e fornecer uma estimativa de média quadrática para o termo de erro.

Metodologia
O autor emprega técnicas de teoria analítica dos números, baseando-se principalmente em séries de Dirichlet, fórmula de Perron e integração de contorno. Os passos metodológicos centrais incluem:

1. Decomposição de $\mu_k$: A função $\mu_k$ é decomposta via convolução de Dirichlet como $\mu_k = f_k * c_k$. A função $f_k$ é definida de tal forma que sua série de Dirichlet se relaciona com $\zeta^{-2}(s)$, enquanto $c_k$ é uma função auxiliar com propriedades de crescimento controladas.
2. Divisão da Soma: A função de soma é dividida em intervalos baseados em um parâmetro (por exemplo, $d \le \rho z$ vs. $d > \rho z$) para isolar o termo principal do termo de erro. Isso permite a aplicação de diferentes estimativas para diferentes partes da soma.
3. Análise de Séries de Dirichlet: O artigo utiliza as expansões de produtos de Euler das séries de Dirichlet relevantes. Lemas fundamentais estabelecem a convergência absoluta destas séries em planos semi-inferiores específicos e fornecem limites para os coeficientes das funções auxiliares (por exemplo, $b_k(n)$ e $d_k(n)$).
4. Integração de Contorno: A fórmula de Perron é usada para expressar as somas parciais como integrais complexos. Os contornos de integração são deslocados para a esquerda (em direção à linha crítica) para extrair termos principais (resíduos) e limitar os integrais restantes.
   • Para a prova incondicional (Teorema 1), o contorno é deslocado para uma região utilizando regiões de não-zero da função zeta de Riemann, levando ao fator de decaimento exponencial envolvendo $(\log x)^{3/5}$.
   • Para a prova condicional (Teorema 2), assumindo a Hipótese de Riemann (RH), o contorno é deslocado para $\text{Re}(s) = 1/2$. Limites para $\zeta(s)$ e $\zeta^{-1}(s)$ sob RH (usando a notação da função $\omega$) são aplicados para estimar os integrais.
5. Estimativa de Média Quadrática: Para o Teorema 3, o autor analisa a média quadrática da discrepância $\Xi_{k,q}(x)$ (o termo de erro ajustado para um termo principal secundário). Isto envolve a identidade de Parseval aplicada às séries de Dirichlet, convertendo o integral do quadrado da função em um integral do módulo ao quadrado da série de Dirichlet associada ao longo de uma linha vertical.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema 1 (Estimativa Incondicional): O artigo prova que para qualquer $x \ge 3$, $k \ge 2$ e $q \ge 1$:
  $$E_{k,q}(x) \ll_k \theta(q) x^{1/k} \exp\left(-D_0 k^{-8/5} \frac{(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}\right)$$
  onde $D_0$ é uma constante positiva absoluta. Isto fornece uma solução afirmativa para a versão incondicional da conjectura de Bege, permitindo que a constante implícita e a constante $D$ dependam de $k$. Melhora ligeiramente o resultado de $q=1$ de Banerjee et al.

• Teorema 2 (Estimativa Condicional): Assumindo a Hipótese de Riemann, o artigo prova:
  $$E_{k,q}(x) \ll \theta(q) x^{1/(k+1)} \exp\left(C_0 \frac{\log x}{\log \log x}\right)$$
  onde $C_0$ é uma constante positiva absoluta. Isto resolve completamente a parte condicional da conjectura de Bege para um $q$ geral. Refina o resultado de $q=1$ de Martin e Yip ao fornecer uma estrutura de termo de erro mais precisa.

• Teorema 3 (Estimativa de Média Quadrática): O artigo estabelece um limite para a média quadrática do termo de erro ajustado $\Xi_{k,q}(x) = E_{k,q}(x) - B_{k,q}x^{1/(k+1)}$:
  $$\int_1^T \Xi_{k,q}^2(x) \, dx \ll C_{k,q}^2 T^{1+1/k} \exp\left(G_0 (\log T)^{G_1 k / (G_1 k + 1)}\right)$$
  onde $C_{k,q}$ é uma constante dependente de $q$ e $k$, e $G_0, G_1$ são constantes absolutas. Isto quantifica o tamanho médio da oscilação do termo de erro.

Significância
O artigo afirma fornecer "soluções afirmativas" à versão condicional da conjectura de Bege completamente e à versão incondicional parcialmente (no sentido de que as constantes dependem de $k$). Ao generalizar os avanços recentes para $q=1$ para um $q$ arbitrário, o trabalho estende a compreensão da distribuição das funções de Möbius de ordem superior em progressões aritméticas. Os resultados confirmam que os termos de erro se comportam como Bege previu, com a magnitude do erro controlada pelo número de divisores de $q$ livre de quadrados ($\theta(q)$) e pela ordem $k$. A estimativa de média quadrática caracteriza ainda mais a flutuação dessas somas, oferecendo uma visão mais profunda do comportamento do termo de erro além de simples limites superiores.