Non-Hermitian topological Euler insulators

क्वांटम सामग्रियों की शांत, अदृश्य दुनिया में, वैज्ञानिक लंबे समय से ऊर्जा के छिपे हुए आकारों का मानचित्रण कर रहे हैं। एक ऐसे परिदृश्य की कल्पना करें जहाँ इलेक्ट्रॉन नदी में बहते पानी की तरह नहीं बहते, बल्कि अपने परिवेश की ज्यामिति द्वारा निर्धारित विशिष्ट, अपरिवर्तनीय पैटर्न में फंस जाते हैं। ये पैटर्न, जिन्हें टोपोलॉजिकल फेजेस (topological phases) के रूप में जाना जाता है, उल्लेखनीय रूप से स्थिर होते हैं; उन्हें छोटी-मोटी गड़बड़ियों से आसानी से नष्ट नहीं किया जा सकता, ठीक वैसे ही जैसे एक रस्सी की गांठ जो रस्सी को हिलाने पर भी बंधी रहती है। दशकों से, भौतिकविदों ने इन गांठों को नियमों के एक सख्त सेट का उपयोग करके वर्गीकृत किया है, यह मानते हुए कि सिस्टम की ऊर्जा एक पूर्णतः संतुलित, प्रतिवर्ती (reversible) तरीके से व्यवहार करती है। हालाँकि, वास्तविक दुनिया शायद ही कभी इतनी संतुलित होती है। कई प्रणालियों में, ऊर्जा पर्यावरण में खो जाती है या बाहरी स्रोतों से प्राप्त होती है, जिससे एक "ओपन" (open) सिस्टम बनता है जहाँ संतुलन के सामान्य नियम अब लागू नहीं होते। यह एक गहरा प्रश्न खड़ा करता है: क्या ये मजबूत, ऊर्जा के गाँठदार पैटर्न जीवित रह सकते हैं जब सिस्टम अब पूरी तरह से संतुलित नहीं रहता?

एक शोधकर्ता ने अब एक विशिष्ट, जटिल प्रकार के टोपोलजिकल गांठ, जिसे यूलर इंसुलेटर (Euler insulator) कहा जाता है, के लिए इस प्रश्न का उत्तर दिया है। ये विशेष सामग्रियाँ हैं जहाँ इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा बैंड इस तरह व्यवस्थित होते हैं कि उनके अस्तित्व के लिए तीन या अधिक ऊर्जा स्तरों का एक साथ होना आवश्यक है, जो एक विशिष्ट प्रकार की समरूपता (symmetry) द्वारा संरक्षित होते हैं। अब तक, इन संरचनाओं को केवल पूर्णतः संतुलित, या "हर्मिटीयन" (Hermitian) प्रणालियों में मौजूद माना जाता था। शोधकर्ता ने यह देखने के लिए प्रयास किया कि क्या इन जटिल पैटर्न को एक ऐसी दुनिया में पुन: निर्मित किया जा सकता है जहाँ ऊर्जा लगातार जोड़ी और हटाई जा रही हो। उन्होंने एक सैद्धांतिक ढांचा तैयार किया जो यह वर्णन करता है कि जब ये सामग्रियाँ अपने पर्यावरण के प्रति खुली होती हैं, तो वे कैसे व्यवहार करेंगी, प्रभावी रूप से यह पूछते हुए कि क्या इन गांठों की नाजुक ज्यामिति तब भी बनी रह सकती है जब भौतिकी के नियमों को थोड़ा मोड़ा जाता है।

शोधकर्ता ने एक द्वि-आयामी ग्रिड का गणितीय मॉडल बनाना शुरू किया जहाँ इलेक्ट्रॉन एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक कूद (hop) सकते हैं। अपने मॉडल में, उन्होंने एक मोड़ पेश किया: इलेक्ट्रॉनों के चलने के नियमों को जटिल होने की अनुमति दी गई, जिसका अर्थ है कि वे वास्तविक संख्याओं और काल्पनिक संख्याओं दोनों को शामिल कर सकते हैं, एक ऐसी विशेषता जो ऊर्जा के लाभ और हानि की नकल करती है जो वास्तविक दुनिया के ओपन सिस्टम में पाई जाती है। उन्होंने तीन ऊर्जा बैंड वाले एक सिस्टम पर ध्यान केंद्रित किया, जहाँ दो बैंड शून्य ऊर्जा पर अटके हुए हैं और तीसरा बदलता रहता है। अपने मॉडल के मापदंडों (parameters) को सावधानीपूर्वक समायोजित करके, उन्होंने पाया कि सिस्टम वास्तव में एक ऐसी अवस्था में प्रवेश कर सकता है जहाँ दो शून्य-ऊर्जा बैंड एक टोपोलॉजिकल गांठ में एक साथ बंधे रहते हैं, भले ही सिस्टम असंतुलित हो। यह एक महत्वपूर्ण खोज थी क्योंकि वे स्थितियाँ जो आमतौर पर ऐसे टोपोलॉजिकल राज्यों को नष्ट कर देती हैं—अर्थात पूर्ण समरूपता का नुकसान और जटिल संख्याओं का परिचय—इस विशिष्ट सेटअप में गांठ को मिटा नहीं सकीं। इसके बजाय, शोधकर्ता ने पाया कि गांठ न केवल जीवित रही बल्कि इसे उन गणितीय उपकरणों के एक नए, सामान्यीकृत संस्करण द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिनका उपयोग इन टोपोलॉजिकल विशेषताओं को गिनने के लिए किया जाता है।

यह सिद्ध करने के लिए कि ये गांठें वास्तविक थीं और केवल एक गणितीय विसंगति नहीं थीं, शोधकर्ता ने यह देखा कि उनका सिस्टम किन सीमाओं (edges) पर व्यवहार करेगा। टोपोलॉजिकल सामग्रियों में, सामग्री का आंतरिक भाग अक्सर सतह से भिन्न दिखता है, और यह अंतर आमतौर पर सीमा के साथ विशेष अवस्थाओं की उपस्थिति को मजबूर करता है। शोधकर्ता ने गणना की कि उनके गैर-संतुलित सिस्टम में ये एज स्टेट्स (edge states) कैसे दिखेंगे। उन्होंने पाया कि टोपोलॉजिकल फेजेस में, किनारे पर इलेक्ट्रॉनों के ऊर्जा स्तर एक बहुत ही विशिष्ट तरीके से एक-दूसरे को छूते हैं, जिससे एक चिकना, क्वाड्रेटिक वक्र (quadratic curve) बनता है, न कि एक तीखा, रैखिक क्रॉसिंग। ऊर्जा स्तरों का यह "स्पर्श" एक संकेत है कि सामग्री का 'बल्क' (bulk) गाँठदार है। उल्लेखनीय रूप से, उन्होंने एंटैंगलमेंट स्पेक्ट्रम (entanglement spectrum) नामक एक अलग प्रकार के माप को भी देखा, जो प्रकट करता है कि सिस्टम के विभिन्न हिस्से एक-दूसरे से कैसे जुड़े हुए हैं। उनके सिमुलेशन में, इस स्पेक्ट्रम में एज स्टेट्स ने भी वही क्वाड्रेटिक टचिंग दिखाई, जिससे पुष्टि हुई कि सामग्री की टोपोलॉजिकल प्रकृति इस खुले, असंतुलित वातावरण में भी संरक्षित रही।

शोधकर्ता ने फिर यह पता लगाया कि गैर-संतुलित प्रभावों की शक्ति को बदलने से सामग्री को कैसे प्रभावित किया जाता है। उन्होंने पाया कि जैसे-जैसे उन्होंने ऊर्जा के लाभ और हानि की मात्रा बढ़ाई, सिस्टम केवल टूट नहीं गया। इसके बजाय, यह फेज़ ट्रांजिशन (phase transitions) की एक श्रृंखला से गुजरा, जो एक प्रकार के टोपोलॉजिकल गांठ से दूसरे में परिवर्तित हुआ। कुछ मामलों में, सिस्टम एक गैपलेस (gapless) अवस्था से गुजरा, जहाँ ऊर्जा स्तर आपस में मिलते हैं, इससे पहले कि वह एक नई, स्थिर टोपोलॉजिकल अवस्था में स्थिर होता। अपने एक मॉडल में, उन्होंने एक ऐसा फेज़ भी पाया जिसमें पहले देखे गए समान सिस्टमों की तुलना में बहुत बड़ा टोपोलॉजिकल नंबर था, जो यह सुझाव देता है कि लंबी दूरी के कनेक्शनों और गैर-संतुलित प्रभावों के बीच का तालमेल और भी अधिक जटिल और मजबूत गांठें बना सकता है। यह दर्शाता है कि टोपोलॉजिकल सामग्रियों की दुनिया पहले की तुलना में कहीं अधिक समृद्ध है, जिसमें नई संभावनाएँ तब खुलती हैं जब हम यह मानना बंद कर देते हैं कि ऊर्जा पूरी तरह से संरक्षित है।

एक तीसरे मॉडल में, शोधकर्ता ने हनीकॉम्ब लैटिस (honeycomb lattice) पर आधारित एक सिस्टम की जांच की, जो ग्राफीन की संरचना के समान है। यहाँ, उन्होंने कुछ और भी असामान्य देखा। जब सिस्टम टोपोलॉजिकल फेज़ में था, तो एज स्टेट्स केवल एक बिंदु पर नहीं छूते थे जैसा कि संतुलित प्रणालियों में होता है। इसके बजाय, वे मोमेंटा (momenta) की एक सीमा में एक-दूसरे के ऊपर ओवरलैप (overlap) हुए, जिससे एक ऐसा क्षेत्र बना जहाँ ऊर्जा बैंड क्रॉस करते हैं और फिर अलग हो जाते हैं। यह "विसंगत ओवरलैप" (anomalous overlap) गैर-संतुलित प्रकृति का सीधा परिणाम था और इसका पारंपरिक, संतुलित दुनिया में कोई समकक्ष नहीं था। इसने प्रदर्शित किया कि गैर-संतुलित भौतिकी न केवल पुराने टोपोलॉजिकल फीचर्स को सुरक्षित रखती है, बल्कि पूरी तरह से नए व्यवहार भी उत्पन्न कर सकती है जो ओपन सिस्टम के लिए अद्वितीय हैं। शोधकर्ता ने पुष्टि की कि ये विशेषताएं सुदृढ़ थीं और इन्हें एज बैंड के छूने या ओवरलैप होने की संख्या गिनकर पहचाना जा सकता था, जो सीधे तौर पर बल्क सामग्री के टोपोलॉजिकल नंबर के अनुरूप था।

अध्ययन इस निष्कर्ष पर पहुँचता है कि टोपोलॉजिकल यूलर इंसुलेटर पारंपरिक भौतिकी की आदर्श, पूर्णतः संतुलित दुनिया तक सीमित नहीं हैं। वे उन ओपन सिस्टम में भी मौजूद हो सकते हैं जहाँ ऊर्जा लगातार अंदर और बाहर प्रवाहित होती है, बशर्ते सिस्टम एक विशिष्ट प्रकार की समरूपता बनाए रखे। शोधकर्ता ने इन अवस्थाओं की पहचान करने के लिए एक पूर्ण टूलकिट प्रदान किया है, यह दिखाते हुए कि टोपोलॉजिकल नंबर एक विश्वसनीय मार्गदर्शक बना रहता है, भले ही ये वातावरण जटिल क्यों न हों। उन्होंने पाया कि एज बैंड के छूने या ओवरलैप होने की संख्या टोपोलॉजिकल अवस्था का एक सीधा फिंगरप्रिंट है, एक ऐसा नियम जो संतुलित या नहीं, दोनों स्थितियों में सत्य रहता है। यह कार्य टोपोलॉजिकल सामग्रियों की एक नई श्रेणी के द्वार खोलता है, जहाँ टोपोलॉजी और गैर-संतुलित भौतिकी एक साथ मिलकर काम करते हैं, जो संभावित रूप से उन प्रणालियों में प्रकाश, ध्वनि या विद्युत संकेतों को नियंत्रित करने के नए तरीके प्रदान कर सकते हैं जो स्वाभाविक रूप से अपने परिवेश के प्रति खुले हैं। निष्कर्ष बताते हैं कि टोपोलॉजिकल पदार्थ का ब्रह्मांड पहले की तुलना में कहीं अधिक विस्तृत है, जो ओपन वर्ल्ड की अस्त-व्यस्त, गतिशील वास्तविकता में अन्वेषण के लिए प्रतीक्षा कर रहा है।