Analytical solutions to the non-equilibrium Green's functions in large-$q$ SYK models

क्वांटम भौतिकी के विशाल परिदृश्य में, ऐसे पदार्थों और प्रणालियों का एक विशेष वर्ग मौजूद है जहाँ कण इतनी तीव्रता से परस्पर क्रिया करते हैं कि वे व्यक्तिगत बिलियर्ड बॉल्स की तरह कम और एक एकल, अराजक तरल की तरह अधिक व्यवहार करते हैं। दशकों से, वैज्ञानिक इस बात की भविष्यवाणी करने के लिए संघर्ष कर रहे हैं कि जब इन प्रणालियों को अचानक विचलित किया जाता है, जैसे कि जब उनके आंतरिक नियम क्षण भर में बदल जाते हैं, तो वे कैसे व्यवहार करती हैं। यह ऊष्मीकरण (thermalization) की समस्या है: यह समझना कि कैसे एक प्रणाली जो असंतुलन की स्थिति में है, अंततः साम्यावस्था या ऊष्मा की स्थिति में स्थिर होती है। जबकि कुछ सरल प्रणालियों को मानक गणित के साथ हल किया जा सकता है, सबसे दिलचस्प और अराजक प्रणालियों के लिए आमतौर पर शक्तिशाली कंप्यूटरों के माध्यम से सिमुलेशन की आवश्यकता होती है, और फिर भी, परिणाम अक्सर अधूरे होते हैं। सचदेव-ये-कितायेव (Sachdev-Ye-Kitaev) मॉडल एक दुर्लभ सैद्धांतिक रचना है जो इन चरम सीमाओं के मिलन बिंदु पर स्थित है। यह ब्लैक होल और सबसे विकृत सामग्रियों के व्यवहार की नकल करने के लिए पर्याप्त जटिल है, फिर भी इतना सरल है कि भौतिक विज्ञानी कभी-कभी इसके लिए सटीक गणितीय उत्तर पा सकते हैं। यह अध्ययन करने के लिए एक आदर्श प्रयोगशाला बनाता है कि क्वांटम यांत्रिकी के मौलिक नियमों से ऊष्मा और अराजकता कैसे उत्पन्न होती है।

जन सी. लो (Jan C. Louw) द्वारा किया गया एक हालिया अध्ययन इस मॉडल के भीतर एक विशिष्ट, कठिन परिदृश्य को संबोधित करता है: एक अचानक परिवर्तन, या "क्वेंच" (quench), जहाँ प्रणाली को एक नियम के सेट से पूरी तरह से अलग, असंगत नियम के सेट में स्विच करने के लिए मजबूर किया जाता है। कल्पना कीजिए कि लोगों से भरा एक कमरा है जिन्हें अचानक अपने पड़ोसियों से बात करना बंद करने और पूरी तरह से एक अलग समूह के साथ फुसफुसाने के लिए कहा जाता है; कमरा एक नए क्रम में कैसे स्थिर होता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि उन दो समूहों के बीच कितना अंतर है। इस क्वांटम संस्करण में, शोधकर्ताओं ने मॉडल के एक ऐसे संस्करण पर ध्यान केंद्रित किया जहाँ प्रत्येक परस्पर क्रिया में शामिल कणों की संख्या बहुत बड़ी है। इस सीमा में, यह प्रणाली अपने समयरेखा के कुछ हिस्सों में लगभग तुरंत एक नए तापमान में स्थिर हो जाती है, लेकिन "पहले" और "बाद" की अवस्थाओं को जोड़ने वाले क्षण रहस्य बने हुए थे, जो केवल संख्यात्मक अनुमानों के माध्यम से सुलभ थे। लो के कार्य ने इन जोड़ने वाले क्षणों का पहला पूर्ण, सटीक विवरण प्रदान किया है, जो यह प्रकट करता है कि प्रणाली अपने अतीत को कैसे याद रखती है और कैसे गर्म होती है।

शोधकर्ताओं ने कई क्वांटम कणों की एक प्रणाली पर विचार किया जो समूहों में परस्पर क्रिया करते हैं। प्रारंभ में, ये कण एक विशिष्ट शक्ति और पैटर्न द्वारा परिभाषित परस्पर क्रिया के एक सेट का पालन करते हैं। एक सटीक समय पर, नियम तुरंत एक नए सेट में बदल जाते हैं। महत्वपूर्ण रूप से, नए नियम केवल पुराने नियमों को ऊपर या नीचे नहीं बदलते हैं; वे मौलिक रूप से भिन्न हैं, जिनमें कणों के एक-दूसरे को प्रभावित करने के तरीके का एक अलग विन्यास शामिल है। यही बेमेल (mismatch) प्रणाली को असंतुलन की ओर ले जाता है। टीम ने "ग्रीन्स फंक्शन्स" (Green's functions) की गणना करने का प्रयास किया, जो गणितीय उपकरण हैं जो यह वर्णन करते हैं कि एक क्षण में एक कण दूसरे क्षण में एक कण से कैसे संबंधित है। इस प्रयोग की जटिल समयरेखा में, विश्लेषण के लिए चार अलग-अलग क्षेत्र हैं: परिवर्तन से पहले का समय, परिवर्तन के बाद का समय, और दो मिश्रित क्षेत्र जहाँ एक समय परिवर्तन से पहले का है और दूसरा उसके बाद का है। जबकि पहले दो क्षेत्रों को पहले से ही पता था कि वे तुरंत एक स्थिर, तापीय अवस्था में स्थिर हो जाते हैं, मिश्रित क्षेत्रों ने एक अंध बिंदु (blind spot) बना रखा था, जिसके लिए कंप्यूटर सिमुलेशन की आवश्यकता थी जो स्पष्ट, क्लोज्ड-फॉर्म उत्तर प्रदान नहीं कर सकते थे।

लो की सफलता इन मिश्रित क्षेत्रों के लिए विश्लेषणात्मक रूप से समीकरणों को हल करने में थी, जिसका अर्थ है कि उन्होंने संख्यात्मक अनुमान के बजाय एक सीधा, सटीक सूत्र खोजा। उन्होंने पाया कि इन जोड़ने वाले क्षेत्रों में व्यवहार यादृच्छिक नहीं है बल्कि पुराने और नए नियमों के बीच ज्यामितमती संबंध द्वारा कड़ाई से निर्धारित होता है। विशेष रूप रूप से, समाधान नियमों के दो सेटों के बीच के कोण पर निर्भर करता है। यदि नए नियम पुराने नियमों के बहुत समान हैं, तो प्रणाली धीरे-धीरे बदलती है। यदि नए नियम पूरी तरह से अलग हैं, तो प्रणाली एक भारी बदलाव से गुजरती है। अध्ययन ने खुलासा किया कि जब ऐसा परिवर्तन होता है तो प्रणाली हमेशा गर्म होती है। इस बंद प्रणाली में ऐसी कोई स्थिति नहीं है जहाँ अचानक स्विच होने से शीतलन (cooling) हो। ऊष्मा का स्तर सीधे तौर पर इस बात से जुड़ा है कि दोनों नियम एक-दूसरे से कितने अलग हैं; नए नियम पुराने नियमों से जितने भिन्न होंगे, प्रणाली उतनी ही गर्म होगी।

यह निष्कर्ष ऊष्मागतिकी के दूसरे नियम की एक गहन ज्यामितीय व्याख्या की ओर ले जाता है, जो कहता है कि एंट्रॉपी, या विकार, बढ़ने की प्रवृत्ति रखता है। इस क्वांटम प्रणाली में, ऊष्मा का अपरिहार्य होना केवल एक सांख्यिकीय संभावना नहीं बल्कि एक ज्यामितिक बाधा है। शोधकर्ताओं ने दिखाया कि परिवर्तन से पहले की ऊर्जा और बाद की ऊर्जा के बीच का संबंध एक गणितीय असमानता द्वारा नियंत्रित होता है जो प्रणाली के ठंडा होने की सीमा तय करती है। क्योंकि नए नियम कभी भी पुराने नियमों के साथ इस तरह से संरेखित नहीं होते हैं जो शीतलन की अनुमति दे सके, इसलिए प्रणाली ऊर्जा अवशोषित करने के लिए मजबूर होती है। सबसे चरम मामला तब होता है जब नए नियम पूरी तरह से ऑर्थोगोनल (orthogonal), या लंबवत, होते हैं। इस परिदृश्य में, प्रणाली अनंत तापमान तक गर्म हो जाती है, जो अधिकतम विकार की स्थिति है। यह परिणाम पुष्टि करता है कि इस तरह के अचानक परिवर्तन से गुजरने वाली एक बंद क्वांटм प्रणाली के लिए, साम्यावस्था का मार्ग हमेशा ऊष्मा की ओर होता है, जो परस्पर क्रिया की ज्यामिति द्वारा निर्धारित होता है।

यह अध्ययन "तात्कालिक ऊष्मीकरण" (instantaneous thermalization) की प्रकृति को भी स्पष्ट करता है, जो एक ऐसी अवधारणा है जहाँ प्रणाली परिवर्तन के तुरंत बाद एक नए तापमान में स्थिर प्रतीत होती है। नए सटीक समाधान दिखाते हैं कि जबकि प्रणाली बहुत तेज़ी से एक तापीय रूप में स्थिर हो जाती है, वहां तक पहुँचने का विवरण मिश्रित समय क्षेत्रों में समाहित होता है। ये क्षेत्र एक सेतु के रूप में कार्य करते हैं, जो प्रारंभिक अवस्था की स्मृति को वहन करते हैं और उसे अंतिम अवस्था में अनुवादित करते हैं। यह कार्य परस्पर क्रिया वेक्टर्स के बीच के कोण के आधार पर प्रणाली के तापमान को अपडेट करने के लिए एक सटीक नियम प्रदान करता है। यह नियम भौतिकविदों को प्रारंभिक तापमान और परिवर्तन की प्रकृति को जानकर, पूर्ण सटीकता के साथ अंतिम तापमान की भविष्यवाणी करने की अनुमति देता है। ये निष्कर्ष विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे कंप्यूटर सिमुलेशन के साथ सैद्धांतिक भविष्यवाणियों की तुलना करने का एक तरीका प्रदान करते हैं जो थोड़े बड़े सिस्टम के हैं, जिससे आदर्श सिद्धांत और वास्तविक, सीमित आकार की क्वांटम प्रणालियों के बीच के अंतर को पाटने में मदद मिलती है।

आगे देखते हुए, लेखक सुझाव देते हैं कि इस पद्धति को ऐसे परिवर्तनों के अनुक्रम का अध्ययन करने के लिए विस्तारित किया जा सकता है, जिससे संभावित रूप से निरंतर ऊष्मीकरण प्रक्रियाओं का अध्ययन किया जा सकता है। वे यह भी प्रस्तावित करते हैं कि क्या होगा यदि नियमों को इस तरह से बदला जाए जो क्वांटम यांत्रिकी की सामान्य समरूपता (symmetry) को तोड़ता है, एक ऐसा परिदृश्य जो एक खुले तंत्र (open system) के वातावरण के साथ परस्पर क्रिया करने के अनुरूप हो सकता है। हालाँकि, यहाँ अध्ययन की गई बंद प्रणाली के लिए, निष्कर्ष निर्णायक है: असंगत नियमों में अचानक स्विच होना हमेशा प्रणाली को उच्च ऊर्जा की ओर ले जाता है। यह कार्य एक पहले से दुर्बोध (intractable) समस्या को एक स्पष्ट, ज्यामितीय चित्र में बदल देता है, यह दिखाते हुए कि इन अराजक क्वांटम प्रणालियों में ऊष्मा का उद्भव अतीत और भविष्य के बीच के मिसअलाइनमेंट (misalignment) का प्रत्यक्ष परिणाम है।