Analytical solutions to the non-equilibrium Green's functions in large-$q$ SYK models

양자 물리학의 광활한 풍경 속에는 입자들이 너무나 격렬하게 상호작용하여 개별적인 당구공이라기보다는 하나의 혼돈스러운 유체처럼 행동하는 특수한 부류의 물질과 계가 존재합니다. 수십 년 동안 과학자들은 이러한 시스템이 갑자기 교란될 때, 예를 들어 내부 규칙이 순식간에 변할 때 어떻게 행동하는지 예측하기 위해 고군분투해 왔습니다. 이것은 열화(thermalization)의 문제입니다. 즉, 균형에서 벗어난 시스템이 어떻게 결국 평형 상태, 즉 열에 도달하여 안착하는지를 이해하는 것입니다. 일부 단순한 시스템은 표준 수학으로 풀 수 있지만, 가장 흥미롭고 혼돈스러운 시스템들은 대개 강력한 컴퓨터를 사용하여 시뮬레이션해야 하며, 그럼에도 그 결과는 종종 불완전합니다. 사크데브-예-키타예프(Sachdev-Ye-Kitaev) 모델은 이러한 극단들 사이의 교차점에 위치한 드문 이론적 창조물입니다. 이 모델은 블랙홀과 가장 무질서한 물질의 행동을 흉내 낼 만큼 복잡하면서도, 물리학자들이 때때로 정확한 수학적 답을 찾아낼 수 있을 만큼 단순합니다. 이는 열과 혼돈이 양자 역학의 근본 법칙으로부터 어떻게 발생하는지를 연구하기 위한 완벽한 실험실이 됩니다.

얀 C. 로우(Jan C. Louw)의 최근 연구는 이 모델 내의 구체적이고 어려운 시나리오, 즉 시스템이 완전히 다르고 호환되지 않는 다른 일련의 규칙 세트로 전환하도록 강요받는 급격한 변화, 즉 "퀜치(quench)"를 다룹니다. 방 안에 가득 찬 사람들이 갑자기 이웃과 대화하는 것을 멈추고 완전히 다른 집단에게 속삭이기 시작하라는 말을 듣는 상황을 상상해 보십시오. 그 방이 새로운 질서로 어떻게 안착하는지는 두 집단이 얼마나 다른지에 달려 있습니다. 이 양자 버전에서 연구진은 각 상호작용에 관여하는 입자의 수가 매우 많은 버전의 모델에 집중했습니다. 이 극한 상황에서 시스템은 타임라인의 특정 부분에서 거의 즉각적으로 새로운 온도에 도달하는 것으로 알려져 있지만, '이전' 상태와 '이후' 상태를 연결하는 순간들은 수치적 근사치를 통해서만 접근 가능했던 미스터리로 남아 있었습니다. 로우의 작업은 이러한 연결되는 순간들에 대한 최초의 완전하고 정확한 설명을 제공하며, 시스템이 어떻게 과거를 기억하고 어떻게 가열되는지를 정확히 밝혀냈습니다.

연구진은 집단으로 상호작용하는 많은 양자 입자의 시스템을 고려했습니다. 처음에 이 입자들은 특정 강도와 패턴으로 정의된 일련의 상호작용 규칙을 따릅니다. 정해진 시점에 규칙은 즉시 새로운 세트로 급격히 변합니다. 결정적인 것은, 새로운 규칙이 단순히 기존의 것을 확대하거나 축소하는 것이 아니라, 입자들이 서로에게 영향을 미치는 방식의 구성이 근본적으로 다른 형태를 띤다는 점입니다. 이러한 불일치가 시스템을 비평형 상태로 몰아넣습니다. 연구팀은 한 시점의 입자가 다른 시점의 입자와 어떻게 연관되는지를 설명하는 수학적 도구인 "그린 함수(Green's functions)"를 계산하고자 했습니다. 이 실험의 복잡한 타임라인에는 분석해야 할 네 가지 뚜렷한 영역이 있습니다: 변화 전의 시간, 변화 후의 시간, 그리고 한 시점은 변화 전이고 다른 시점은 변화 후인 두 개의 혼합 영역입니다. 첫 번째와 두 번째 영역은 이미 안정적인 열적 상태로 즉시 안착한다는 것이 알려져 있었지만, 혼합 영역은 컴퓨터 시뮬레이션을 통해서만 접근 가능하여 명확한 폐쇄형 해답(closed-form answer)을 얻을 수 없었던 사각지대였습니다.

로우의 돌파구는 이 혼합 영역에 대한 방정식을 해석적으로 해결한 것, 즉 수치적 근사가 아닌 직접적이고 정확한 공식을 찾아낸 데 있었습니다. 그들은 이 연결되는 영역에서의 행동이 무작위가 아니라, 기존의 상호작용 규칙과 새로운 규칙 사이의 기하학적 관계에 의해 엄격하게 결정된다는 것을 발견했습니다. 구체적으로, 솔루션은 두 규칙 세트 사이의 각도에 달려 있습니다. 만약 새로운 규칙이 기존의 규칙과 매우 유사하다면 시스템은 부드럽게 변화합니다. 만약 새로운 규칙이 완전히 다르다면 시스템은 급격한 변화를 겪습니다. 연구는 이러한 변화가 발생할 때 시스템이 항상 가열된다는 것을 보여주었습니다. 이러한 폐쇄계에서 갑작스러운 전환이 냉각으로 이어지는 시나리오는 존재하지 않습니다. 가열되는 양은 두 규칙 세트가 얼마나 다른지에 직접적으로 연결되어 있습니다. 새로운 규칙이 기존 규칙과 더 뚜렷하게 다를수록 시스템은 더 뜨거워집니다.

이 발견은 엔트로피, 즉 무질서도가 증가하는 경향이 있다는 열역학 제2법칙에 대한 심오한 기하학적 해석을 이끌어냅니다. 이 양자 시스템에서 가열의 불가피성은 단순한 통계적 확률이 아니라 기하학적 제약입니다. 연구진은 변화 전의 에너지와 변화 후의 에너지 사이의 관계가 시스템이 냉각될 수 있는 정도를 제한하는 수학적 부등식에 의해 지배된다는 것을 보여주었습니다. 새로운 규칙은 냉각을 허용할 만큼 기존 규칙과 완벽하게 정렬될 수 없기 때문에, 시스템은 에너지를 흡수할 수밖에 없습니다. 가장 극단적인 경우는 새로운 규칙이 기존 규칙과 완전히 직교하거나 수직일 때 발생합니다. 이 시나리오에서 시스템은 최대 무질서 상태인 무한 온도에 도달할 때까지 가열됩니다. 이 결과는 그러한 갑작스러운 변화를 겪는 폐쇄 양자 시스템에 대해, 평형으로 가는 경로가 항상 상호작용의 기하학에 의해 결정되는 가열의 과정임을 확인해 줍니다.

또한 이 연구는 시스템이 변화 직후에 새로운 온도에 도달한 것처럼 보이는 개념인 "즉각적 열화(instantaneous thermalization)"의 본질을 명확히 합니다. 새로운 정확한 솔루션들은 시스템이 매우 빠르게 열적 형태에 도한하지만, 그 과정의 세부 사항들이 혼합 시간 영역에 인코딩되어 있음을 보여줍니다. 이 영역들은 브리지 역할을 하며 초기 상태의 기억을 전달하고 이를 최종 상태로 번역합니다. 이 작업은 상호작용 벡터 사이의 각도를 바탕으로 시스템의 온도를 업데이트하는 정밀한 규칙을 제공합니다. 이 규칙을 통해 물리학자들은 초기 온도와 변화의 성격만을 알고도 최종 온도를 완벽하게 예측할 수 있습니다. 이 연구 결과는 이론적 예측을 완전히 크지 않은 시스템의 컴퓨터 시뮬레이션과 비교할 수 있는 방법을 제공함으로써, 이상적인 이론과 현실적인 유한 크기 양자 시스템 사이의 간극을 메우는 데 있어 특히 중요합니다.

앞으로 저자는 이 방법이 이러한 변화의 연속적인 과정을 연구할 수 있도록 확장될 수 있으며, 잠재적으로 연속적인 가열 과정을 연구할 수 있게 할 것이라고 제안합니다. 또한 그들은 양자 역학의 일반적인 대칭성을 깨뜨리는 방식으로 규칙이 변경되는 경우, 즉 환경과 상호작용하는 열린 시스템에 대응할 수 있는 시나리오를 탐구할 것을 제안합니다. 그러나 여기서 연구된 폐쇄계에 대해서는 결론이 확정적입니다: 호환되지 않는 규칙으로의 갑작스러운 전환은 항상 시스템을 더 높은 에너지로 몰아넣습니다. 이 연구는 이전에 다루기 힘들었던 문제를 명확한 기하학적 그림으로 변모시켰으며, 이러한 혼돈스러운 양자 시스템에서 열의 출현이 과거와 미래 사이의 어긋남에서 비롯되는 직접적인 결과임을 보여줍니다.