Analytical solutions to the non-equilibrium Green's functions in large-$q$ SYK models

In het uitgestrekte landschap van de kwantumfysica bestaat een speciale klasse van materialen en systemen waarin deeltjes zo intens met elkaar interageren dat ze zich minder gedragen als individuele biljartballen en meer als een enkele, chaotische vloeistof. Decennialang hebben wetenschappers gestreden om te voorspellen hoe deze systemen zich gedragen wanneer ze plotseling worden verstoord, zoals wanneer hun interne regels in een instant veranderen. Dit is een probleem van thermalisatie: begrijpen hoe een systeem dat uit evenwicht is, uiteindelijk tot rust komt in een staat van evenwicht, of warmte. Terwijl sommige eenvoudige systemen met standaard wiskunde kunnen worden opgelost, vereisen de meest interessante en chaotische systemen meestal krachtige computers om te simuleren, en zelfs dan zijn de resultaten vaak incompleet. Het Sachdev-Ye-Kitaev-model is een zeldzame theoretische creatie die zich op het snijpunt van deze extremen bevindt. Het is complex genoeg om het gedrag van zwarte gaten en de meest ongeordende materialen na te bootsen, maar eenvoudig genoeg zodat natuurkundigen er soms exacte wiskundige antwoorden voor kunnen vinden. Dit maakt het een perfect laboratorium voor het bestuderen van hoe warmte en chaos ontstaan uit de fundamentele wetten van de kwantummechanica.

Een recente studie door Jan C. Louw pakt een specifiek, moeilijk scenario aan binnen dit model: een plotselinge verandering, of "quench", waarbij het systeem wordt gedwongen om over te schakelen van één set interactieregels naar een totaal andere, incompatibele set regels. Stel je een kamer vol mensen voor die plotseling de opdracht krijgen om te stoppen met praten met hun buren en te beginnen met fluisteren tegen een totaal andere groep mensen; de manier waarop de kamer in een nieuwe orde tot rust komt, hangt af van hoe verschillend die twee groepen zijn. In deze kwantumversie richtten de onderzoekers zich op een versie van het model waarbij het aantal deeltjes dat betrokken is bij elke interactie zeer groot is. In dit limiet is het systeem erom bekend dat het in bepaalde delen van zijn tijdlijn bijna onmiddellijk in een nieuwe temperatuur tot rust komt, maar de momenten die de "voor"- en "na"-toestanden verbinden, waren een mysterie gebleven, toegankelijk via numerieke benaderingen. Louw's werk biedt de eerste volledige, exacte beschrijving van deze verbindende momenten, en onthult precies hoe het systeem zijn verleden onthoudt en hoe het opwarmt.

De onderzoekers beschouwden een systeem van vele kwantumdeeltjes die in groepen met elkaar interageren. Aanvankelijk volgen deze deeltjes één set interactieregels, gedefinieerd door een specifieke sterkte en een bepaald patroon. Op een precies moment in de tijd veranderen de regels onmiddellijk naar een nieuwe set. Cruciaal is dat de nieuwe regels de oude regels niet simpelweg opschalen of afschalen; ze zijn fundamenteel anders, waarbij een andere ordening betrokken is van hoe de deeltjes elkaar beïnvloeden. Deze mismatch is wat het systeem uit evenwicht brengt. Het team probeerde de "Green's functies" te berekenen, die wiskundige hulpmiddelen zijn die beschrijven hoe een deeltje op een bepaald moment in de tijd gerelateerd is aan een deeltje op een ander moment. In de complexe tijdlijn van dit experiment zijn er vier verschillende regio's te analyseren: de tijd vóór de verandering, de tijd erna, en twee gemengde regio's waar één tijd vóór de verandering ligt en de andere erna. Terwijl de eerste twee regio's al begrepen werden als direct overgaand in een stabiele, thermische staat, waren de gemengde regio's een blind vlekje, toegankelijk via computersimulaties die geen helder, gesloten antwoord konden bieden.

Louw's doorbraak was het analytisch oplossen van de vergelijkingen voor deze gemengde regio's, wat betekent dat zij een directe, exacte formule vonden in plaats van een numerieke benadering. Ze ontdekten dat het gedrag in deze verbindende regio's niet willekeurig is, maar strikt wordt bepaald door de geometrische relatie tussen de oude interactieregels en de nieuwe. Specifiek hangt de oplossing af van de hoek tussen de twee sets regels. Als de nieuwe regels zeer vergelijkbaar zijn met de oude, verandert het systeem geleidelijk. Als de nieuwe regels volkomen anders zijn, ondergaat het systeem een drastische verschuiving. De studie onthulde dat het systeem altijd opwarmt wanneer een dergelijke verandering optreedt. Er is geen scenario in dit gesloten systeem waarbij de plotselinge overgang leidt tot afkoeling. De mate van opwarming is direct gekoppeld aan hoe verschillend de twee sets regels zijn; hoe meer de nieuwe regels verschillen van de oude, hoe heter het systeem wordt.

Dit bevinding leidt tot een diepgaande geometrische interpretatie van de tweede wet van de thermodynamica, die stelt dat entropie, of wanorde, de neiging heeft toe te nemen. In dit kwantumsysteem is de onvermijdelijkheid van opwarming niet slechts een statistische waarschijnlijkheid, maar een geometrische beperking. De onderzoekers toonden aan dat de relatie tussen de energie vóór de verandering en de energie erna wordt beheerst door een wiskundige ongelijkheid die limiteert hoeveel het systeem kan afkoelen. Omdat de nieuwe regels nooit perfect uitgelijnd zijn met de oude op een manier die afkoeling zou mogelijk maken, is het systeem gedwongen energie te absorberen. Het meest extreme geval treedt op wanneer de nieuwe regels volledig orthogonaal, of loodrecht, op de oude staan. In dit scenario warmt het systeem op tot het een oneindige temperatuur bereikt, een staat van maximale wanorde. Dit resultaat bevestigt dat voor een gesloten kwantumsysteem dat een dergelijke plotselinge verandering ondergaat, de weg naar evenwicht altijd een van opwarming is, gedicteerd door de geometrie van de interactie.

De studie verheldert ook de aard van "instantane thermalisatie", een concept waarbij het systeem schijnbaar onmiddellijk na de verandering een nieuwe temperatuur bereikt. De nieuwe exacte oplossingen tonen aan dat hoewel het systeem zeer snel in een thermische vorm terechtkomt, de details van hoe het daar komt gecodeerd zijn in de gemengde tijdsregio's. Deze regio's fungeren als een brug, die het geheugen van de initiële staat dragen en deze vertalen naar de finale staat. Het werk biedt een precieze regel voor het bijwerken van de temperatuur van het systeem op basis van de hoek tussen de interactievectoren. Deze regel stelt natuurkundigen in staat om de uiteindelijke temperatuur met perfecte nauwkeurigheid te voorspellen, met enkel de initiële temperatuur en de aard van de verandering als kennis. De bevindingen zijn bijzonder significant omdat ze een manier bieden om theoretische voorspellingen te vergelijken met computersimulaties van systemen die niet even groot zijn, wat helpt om de kloof te overbruggen tussen geïdealiseerde theorie en realistische, eindige kwantumsystemen.

Vooruitkijkend suggereert de auteur dat deze methode uitgebreid kan worden om een sequentie van dergelijke veranderingen te bestudelen, wat potentieel de studie van continue opwarmingsprocessen mogelijk maakt. Zij stellen ook voor om te onderzoeken wat er gebeurt als de regels van het systeem worden veranderd op een manier die de gebruikelijke symmetrie van de kwantummechanica breekt, een scenario dat zou kunnen corresponderen met een open systeem dat met een omgeving interageert. Echter, voor het gesloten systeem dat hier werd bestudeerd, is de conclusie definitief: een plotselinge overstap naar incompatibele regels drijft het systeem altijd richting hogere energie. Het werk transformeert een voorheen onhandelbaar probleem in een helder, geometrisch beeld, waarbij het aantoont dat de opkomst van warmte in deze chaotische kwantumsystemen een direct gevolg is van de misuitlijning tussen het verleden en de toekomst.