Analytical solutions to the non-equilibrium Green's functions in large-$q$ SYK models

量子物理学の広大な風景の中に、粒子が非常に激しく相互作用し、個々のビリヤードの球というよりも、単一の混沌とした流体のように振る舞う特別なクラスの物質やシステムが存在します。何十年もの間、科学者たちは、これらのシステムが突然撹乱されたとき（例えば、内部の規則が瞬時に変化したときなど）、どのように振る舞うかを予測することに苦心してきました。これは熱化の問題です。つまり、平衡状態（あるいは熱）へと落ち着く、非平衡な状態にあるシステムがどのように落ち着くのかを理解するという問題です。単純なシステムであれば標準的な数学で解くことができますが、最も興味深く混沌としたものには通常、強力なコンピュータを用いたシミュレーションが必要であり、それでもなお、結果は不完全なことが多いのです。サッチデフ・イェ・キタエフ（Sachdev-Ye-Kitaev）モデルは、こうした極端な状況の交差点に位置する、稀有な理論的創造物です。このモデルは、ブラックホールや最も無秩序な材料の振る舞いを模倣できるほど複雑でありながら、物理学者が時として厳密な数学的回答を見出すことができるほど単純でもあります。そのため、熱と混沌が量子力学の基本法則からどのように創発するかを研究するための、完璧な実験室となっています。

ヤン・C・ロウ（Jan C. Louw）による最近の研究は、このモデルにおける特定の困難なシナリオ、すなわち、システムが全く異なる、互いに相容れない一連の相互作用ルールへと強制的に切り替わる「クエンチ（急冷・急変）」を取り扱っています。部屋の中にいる大勢の人々が、隣の人と話すのをやめて、全く別のグループの人々にささやき始めるよう突然命じられた場面を想像してみてください。その部屋がどのように新しい秩序へと落ち着くかは、それら二つのグループがいかに異なっているかに依存します。この量子版において、研究者たちは、各相互作用に関与する粒子の数が非常に大きいバージョンのモデルに焦のできました。この極限において、システムはタイムラインの特定の部分において、ほぼ瞬時に新しい温度へと落ち着くことが知られていますが、「前」と「後」の状態を繋ぐ瞬間は謎のままであり、数値的な近似によってしかアクセスできませんでした。ロウの研究は、これらをつなぐ瞬間に関する初の完全かつ厳密な記述を提供し、システムがいかにして過去を記憶し、いかにして熱くなるのかを明らかにしました。

研究者たちは、粒子が集団で相互作用する多数の量子粒子系を検討しました。当初、これらの粒子はある特定の強度とパターンによって定義される一連の相互作用ルールに従っています。ある特定の瞬間に、ルールは即座に新しい一連のルールへと変化します。決定的なのは、新しいルールは単に古いものを拡大または縮小するのではなく、粒子が互いに影響を及ぼし合う配置が根本的に異なるものであるということです。この不一致こそが、システムを非平衡へと駆り立てるのです。チームは「グリーン関数」を計算しようと試みました。これは、ある時刻の粒子が別の時刻の粒子とどのように関連しているかを表す数学的なツールです。この実験の複雑なタイムラインには、変化の前、変化の後、そして一方が変化の前で他方が変化の後である二つの混合領域という、分析すべき4つの異なる領域が存在します。最初の二つの領域は、すでに安定した熱状態に即座に落ち着くことが理解されていましたが、混合領域は盲点となっており、明確な閉じた形式の回答を提供できないコンピュータ・シミュレーションを必要としていました。

ロウの画期的な成果は、これらの混合領域に対する方程式を解析的に解いたこと、つまり、数値的な近似ではなく、直接的で厳密な公式を見出したことです。彼らは、これらの接続領域における振る舞いはランダムではなく、古い相互作用ルールと新しいルールの間の幾何学的な関係によって厳格に決定されていることを発見しました。具体的には、解は二つのルールの間の「角度」に依存します。新しいルールが古いものと非常に似ている場合、システムの変化は緩やかになります。もし新しいルールが完全に異なっているならば、システムは劇的な変化を遂げます。研究は、このような変化が起こるとき、システムは常に熱くなることを明らかにしました。このような閉じたシステムにおいて、突然の切り替えが冷却をもたらすシナリオは存在しません。加熱の量は、二つのルールのルールの違いに直接結びついています。新しいルールが古いルールから区別されるほど、システムはより熱くなります。

この発見は、エントロピー（無秩序さ）が増大するという熱力学第二法則に対する、深遠な幾何学的解釈をもたらします。この量子システムにおいて、加熱の不可避性は単なる統計的な確率ではなく、幾何学的な制約なのです。研究者たちは、変化の前のエネルギーと変化の後のエネルギーの関係が、冷却を制限する数学的な不等式によって支配されていることを示しました。なぜなら、新しいルールが冷却を可能にするような形で古いルールと完全に一致することはないため、システムはエネルギーを吸収せざるを得ないからです。最も極端なケースは、新しいルールが古いルールに対して完全に直交、すなわち垂直である場合です。このシナリオでは、システムは最大無秩序状態である無限温度に達するまで加熱されます。この結果は、このような突然の変化を起こす閉じた量子系にとって、平衡への経路は常に加熱であり、その加熱は相互作用の幾何学によって規定されていることを裏付けています。

また、本研究は「瞬間的な熱化」という概念を明確にしています。これは、変化の直後にシステムが新しい温度に達したように見える現象です。新たな厳密解は、システムが非常に迅速に熱的な形態へと落ち着く一方で、その詳細なプロセスは混合時間領域にエンコードされていることを示しています。これらの領域は架け橋として機能し、初期状態の記憶を運び、それを最終状態へと翻訳します。この研究は、相互作用ベクトルの間の角度に基づいてシステムの温度を更新するための精密な規則を提供します。この規則により、物理学者は初期温度と変化の性質を知ることだけで、最終的な温度を完璧な精度で予測することができます。この知見は、理論的な予測を、それほど大きくはないシステムのコンピュータ・シミュレーションと比較する方法を提供するため、特に重要であり、理想化された理論と現実的な有限サイズの量子系との間の溝を埋める助けとなります。

将来に向けて、著者はこの手法をこのような一連の変化の研究へと拡張できる可能性を示唆しており、それによって連続的な加熱プロセスの研究が可能になるかもしれないと考えています。また、量子力学の通常の対称性を破るような方法でシステムのルールが変更されるシナリオ、すなわち、環境と相互作用する開いた系に対応する可能性のあるシナリオについても探求することを提案しています。しかし、ここで研究された閉じた系については、結論は明白です。互いに相容れないルールへの突然の切り替えは、常にシステムをより高いエネルギーへと向かわせます。この研究は、以前は手に負えなかった問題を明確な幾何学的イメージへと変貌させ、これらの混沌とした量子系における熱の出現が、過去と未来の不一致の直接的な帰結であることを示しています。