Equivalent Behavioural Martingale Measure

वित्त की दुनिया में, कीमतें केवल संख्याएँ नहीं हैं; वे संकेत हैं। जब एक निवेशक एक विकल्प (ऑप्शन) खरीदता है, जो एक ऐसा अनुबंध है जो उन्हें भविष्य की एक तारीख पर स्टॉक खरीदने या बेचने का अधिकार देता है, तो उनके द्वारा चुकाई गई कीमत यह प्रकट करती है कि बाजार सामूहिक रूप से भविष्य के बारे में क्या मानता है। विशेष रूप से, यह प्रकट करता है कि बाजार क्रैश (गिरावट) से कितना डरता है या उछाल की कितनी उम्मीद करता है। दशकों से, अर्थशास्त्रियों ने इन कीमतों को डिकोड करने के लिए एक मानक गणितीय ढांचे का उपयोग किया है, उन्हें इस तरह माना है जैसे कि बाजार एक एकल, तर्कसंगत मशीन हो। हालाँकि, वास्तविक बाजार लोगों से बने होते हैं, और लोग हमेशा मशीनों की तरह व्यवहार नहीं करते हैं। वे डर महसूस करते हैं, वे लालची होते हैं, और वे जोखिम को अलग तरह से तौलते हैं, चाहे वे संभावित नुकसान देख रहे हों या संभावित लाभ। प्रश्न लंबे समय से रहा है: क्या हम मानवीय व्यवहार की अव्यवस्थित, भावनात्मक वास्तविकता को वित्तीय मूल्य निर्धारण के सख्त, तार्किक नियमों में फिट कर सकते हैं बिना सिस्टम को तोड़े?

यह वह क्षेत्र है जिसे जी. चार्ल्स-कैडोगन के एक नए वर्किंग पेपर में खोजा गया है, जो मानव मनोविज्ञान और गणितीय वित्त के बीच के अंतर को पाटने का प्रयास करता है। यह पेपर विकल्प बाजारों में देखे जाने वाले एक विशिष्ट पैटर्न पर ध्यान केंद्रित करता है: "स्माइल" (मुस्कान) या "स्मर्क" (तिरछी मुस्कान)। यदि आप विकल्पों की कीमतों को वर्तमान स्टॉक मूल्य से उनकी दूरी के विरुद्ध प्लॉट करते हैं, तो आप अक्सर एक सीधी रेखा के बजाय एक वक्र रेखा देखेंगे। यह वक्र बताता है कि बाजार चरम घटनाओं—दोनों क्रैश और भारी उछाल—को मानक सिद्धांत की तुलना में अलग तरह से मूल्यवान मानता है। लेखक पूछते हैं कि क्या यह वक्र केवल एक गणितीय अवशेष है या यह मानवीय जोखिम संबंधी दृष्टिकोण का एक सीधा मानचित्र है, विशेष रूप से यह कि लोग पैसा खोते समय बनाम पैसा जीतते समय जोखिम के बारे में कैसा महसूस करते हैं। लक्ष्य यह दिखाना है कि इन भावनात्मक प्रतिक्रियाओं को एक कठोर गणितीय भाषा में अनुवादित किया जा सकता है जो वित्त के मौलिक नियम का सम्मान करती है: कि मुफ्त में कुछ भी नहीं मिलता, या तकनीकी शब्दों में, कोई आर्बिट्राज (arbitrage) नहीं होता।

यह पेपर इन बाजार कीमतों को देखने का एक नया तरीका पेश करता है, जिसे "इक्विवेलेंट बिहेवियरल मार्टिंगेल मेजर" (Equivalent Behavioral Martingale Measure) कहा जाता है। इसे समझने के लिए, कल्पना करें कि बाजार प्रत्येक संभावित भविष्य के परिणाम को एक अलग भार (वेट) देता है। एक मानक मॉडल सभी परिणामों को समान मान सकता है, लेकिन एक व्यवहारिक मॉडल स्वीकार करता है कि निवेशक समान आकार के अच्छे परिणाम की तुलना में एक बुरे परिणाम की अधिक परवाह करते हैं। लेखक प्रदर्शित करते हैं कि आप भविष्य के इस भारित, भावनात्मक दृष्टिकोण को एक वैध गणितीय उपकरण में बदल सकते हैं, लेकिन केवल तभी जब आप एक विशिष्ट सुधार लागू करते हैं। इसे एक तराजू को समायोजित करने की तरह समझें: यदि आप एक पंख और एक पत्थर को एक ही तराजू पर तौलना चाहते हैं, तो आप उन्हें केवल रख नहीं सकते; आपको पहले इस बात का हिसाब लगाना होगा कि वे पैन पर कैसे बैठते हैं। इसी तरह, पेपर दिखाता है कि आप विकल्पों की कीमत तय करने के लिए सीधे मानवीय जोखिम भावनाओं का उपयोग नहीं कर सकते। आपको पहले उस विशिष्ट गणितीय "ड्रिफ्ट" (विपथन) को हटाना होगा जो जोखिम-विमुख लोगों के संयोजन और बाजार के उतार-चढ़ाव के कारण होता है। एक बार जब इस ड्रिफ्ट की भरपाई हो जाती है, तो परिणामी सूत्र परिसंपत्तियों को मूल्यवान बनाने का एक वैध, स्थिर तरीका बन जाता है जो मानव व्यवहार के सार को भी पकड़ता है।

मुख्य निष्कर्ष यह है कि यह सुधारा गया सूत्र काम करता है। लेखक सिद्ध करते हैं कि यदि आप धन की सीमांत उपयोगिता (marginal utility of wealth)—जो यह मापता है कि किसी निवेशक के लिए किसी विशिष्ट क्षण में एक अतिरिक्त डॉलर का कितना महत्व है—को बाजार के जोखिमों के लिए समायोजित करते हैं, तो यह एक वैध प्रायिकता माप (probability measure) में बदल जाता है। इसका अर्थ है कि इसका उपयोग विरोधाभासों या असंभव लाभ पैदा किए बिना कीमतें निकालने के लिए किया जा सकता है। पेपर उस सटीक गणितीय शब्द की पहचान करता है जिसे काम करने के लिए हटाया जाना आवश्यक है, जो सीधे एरो-प्रैट (Arrow-Pratt) जोखिम निवारण माप से जुड़ा है, जो अर्थशास्त्र की एक क्लासिक अवधारणा है जो यह मात्रात्मक रूप से बताती है कि कोई व्यक्ति जोखिम को कितना नापसंद करता है। लेखक दिखाते हैं कि यह जोखिम निवारण, जब बाजार की अस्थिरता (volatility) से गुणा किया जाता है, तो आवश्यक समायोजन बनाता है। इस समायोजन के बिना, मॉडल वित्तीय तर्क की बुनियादी परीक्षाओं में विफल हो जाएगा।

सिद्धांत से परे, यह पेपर वास्तविक दुनिया के डेटा के विरुद्ध इस विचार का परीक्षण करता है। लेखक ने एप्पल, माइक्रोसॉफ्ट और टेस्ला जैसे दिग्गजों और व्यापक बाजार सूचकांकों सहित प्रमुख अमेरिकी शेयरों और एक्सचेंज-ट्रेडेड फंडों से विकल्पों की कीमतों का एक बड़ा सेट एकत्र किया। उन्होंने शोर वाले या अविश्वसनीय डेटा को फ़िल्टर किया और फिर अपने नए व्यवहारिक मॉडल को देखी गई कीमतों के साथ फिट करने का प्रयास किया। उन्होंने अपने परिणामों की तुलना पेशेवरों द्वारा उपयोग किए जाने वाले अन्य मानक मॉडलों के विरुद्ध की, जैसे कि SVI मॉडल, जिसे विशेष रूप से विकल्पों की कीमतों के आकार को फिट करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। परिणाम मिश्रित लेकिन वर्णनात्मक थे। जब नए व्यवहारिक मॉडल को आर्बिट्राज को रोकने के लिए मानक मॉडलों के समान सख्त नियमों के तहत रखा गया, तो इसने भविष्य की कीमतों की भविष्यवाणी करने में उतना ही अच्छा प्रदर्शन किया, और कुछ संयुक्त परीक्षणों में, थोड़ा बेहतर भी प्रदर्शन किया। हालांकि, पेपर सावधानी से नोट करता है कि यह व्यापारियों द्वारा पूरे ट्रेडिंग सरफेस बनाने के लिए उपयोग किए जाने वाले जटिल उपकरणों का प्रतिस्थापन नहीं है। इसके बजाय, यह एक नैदानिक उपकरण (diagnostic tool) के रूप में कार्य करता है।

डेटा से सबसे महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि "स्माइल" को उसके घटकों में तोड़ने से आती है। लेखक ने पाया कि वक्र केवल एक एकल आकार नहीं है बल्कि दो अलग-अलग बलों का संयोजन है। एक हिस्सा सममित (symmetric) है, जो जोखिम के सामान्य डर का प्रतिनिधित्व करता है जो सभी परिणामों को समान रूप से प्रभावित करता है, जिससे एक मानक "स्माइल" बनता है। दूसरा हिस्सा असममित (asymmetric) है, जो वक्र को एक तरफ झुकाता है, जिसे लेखक सट्टेबाजी के "स्मर्क" (smirk) के रूप में व्याख्या करते हैं। यह झुकाव सुझाव देता है कि कुछ बाजार स्थितियों में, निवेशक न केवल नुकसान से डर रहे हैं, बल्कि वे एक बड़े, लॉटरी जैसे लाभ की संभावना की सक्रिय रूप से तलाश कर रहे हैं। डेटा ने दिखाया कि यह सट्टा झुकाव (speculative tilt) बाजार की एक मजबूत और सुसंगत विशेषता थी, जो अक्सर जोखिम के सामान्य डर की तुलना में अधिक स्पष्ट थी। वास्तव में, इस सट्टा झुकाव की ताकत में निकट भविष्य में बाजार कितना बढ़ सकता है, इसकी भविष्यवाणी करने की एक छोटी लेकिन मापने योग्य क्षमता दिखाई दी।

पेपर यह भी संबोधित करता है कि क्या होता है जब विभिन्न प्रकार के निवेशकों को मिलाया जाता है। एक वास्तविक बाजार में, कुछ लोग बहुत सतर्क होते हैं जबकि अन्य बहुत साहसी होते हैं। लेखक दिखाते हैं कि आप इन विभिन्न समूहों के मूल्य निर्धारण दृष्टिकोणों को एक एकल, वैध मॉडल में संयोजित कर सकते हैं, बशर्ते आप उन्हें सही ढंग से भारित करें। यदि आप उनके सापेक्ष आकार या महत्व के लिए समायोजन किए बिना उनके विचारों को बस जोड़ देते हैं, तो गणित टूट जाता है। लेकिन यदि आप उनके भार को सामान्य (normalize) करते हैं, यानी उन्हें कुल बाजार के हिस्से के रूप में देखते हैं, तो संयुक्त मॉडल वैध रहता है। यह समझने का एक तरीका प्रदान करता है कि कैसे विविध व्यक्तित्वों वाला बाजार अभी भी एक विकल्प के लिए एक एकल, सुसंगत कीमत तक पहुँच सकता है।

अंततः, पेपर यह दावा नहीं करता है कि उसने बाजारों के क्यों चलते हैं इसके रहस्य को सुलझा लिया है या पैसा कमाने का नया तरीका ढूंढ लिया है। इसके बजाय, यह मौजूदा कीमतों को देखने के लिए एक स्पष्ट लेंस प्रदान करता है। यह पुष्टि करता है कि विकल्प कीमतों के अजीब आकार केवल यादृच्छिक शोर या गणितीय त्रुटियां नहीं हैं, बल्कि वे गहराई से इस बात में निहित हैं कि मनुष्य जोखिम और पुरस्कार को कैसे देखते हैं। इन मानवीय भावनाओं को एक गणितीय रूप से सुदृढ़ ढांचे में अनुवादित करने के तरीके को दिखाकर, लेखक वास्तविक व्यवहारिक प्राथमिकता के संकेत को बाजार के घर्षण के शोर से अलग करने का एक तरीका प्रदान करता है। यह कार्य सुझाव देता है कि हालांकि बाजार जटिल है, इसके मूल्य निर्धारण के अंतर्निहित चालक संभाव्यता के मौलिक नियमों के अनुरूप हैं, बशर्ते हम जोखिम के प्रति अतिरंजित प्रतिक्रिया देने की मानवीय प्रवृत्ति के लिए सुधार करने में समय लें। यह अर्थशास्त्रियों और व्यापारियों को एक कीमत को देखने और न केवल यह समझने की अनुमति देता है कि बाजार क्या सोचता है, बल्कि यह भी कि बाजार उस घटना की संभावना के बारे में कैसा महसूस करता है।