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Equivalent Behavioural Martingale Measure

이 논문은 행동 밀도(behavioral density)의 보상된 확률지수 표현(compensated stochastic-exponential representation)을 유도함으로써 사무엘슨-머튼(Samuelson-Merton)의 효용 기반 가격 책정법을 연속 시간 등가 마팅게일 측도 프레임워크에 통합하며, 이를 통해 옵션 내재 밀도를 위험 태도와 분해하는 것을 실증적으로 보여주고 유동적인 옵션 패널에 대한 SVI 대비 우수한 표본 외 성능을 입증한다.

원저자: G. Charles-Cadogan

게시일 2026-10-08✓ Author reviewed ⓘ

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CC BY 4.0

원저자: G. Charles-Cadogan

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금융의 세계에서 가격은 단순한 숫자가 아니라 하나의 신호입니다. 투자자가 미래의 특정 날짜에 주식을 매수하거나 매도할 수 있는 권리인 옵션을 살 때, 그들이 지불하는 가격은 시장이 미래에 대해 집단적으로 무엇을 믿고 있는지를 드러냅니다. 구체적으로, 그것은 시장이 폭락을 얼마나 두려워하는지, 혹은 붐을 얼마나 기대하는지를 보여줍니다. 수십 년 동안 경제학자들은 이 가격들을 해독하기 위해 시장을 하나의 합리적인 기계처럼 취급하는 표준 수학적 프레임워크를 사용해 왔습니다. 하지만 실제 시장은 사람들로 구성되어 있으며, 사람들은 항상 기계처럼 행동하지 않습니다. 그들은 공포를 느끼고, 탐욕을 부리며, 잠재적 손실을 보고 있는지 아니면 잠재적 이득을 보고 있는지에 따라 위험을 다르게 가중하여 평가합니다. 오랫동안 제기된 질문은 이것입니다. 인간 행동의 무질서하고 감정적인 현실을 금융 가격을 규정하는 엄격하고 논리적인 규칙 속에 시스템을 망가뜨리지 않고 담아낼 수 있는가?

이것은 G. Charles-Cadogan의 새로운 워킹 페이퍼가 탐구하는 영역으로, 그는 심리학과 수학적 금융 사이의 간극을 메우고자 합니다. 이 논문은 옵션 시장에서 나타나는 특정 패턴인 '스마일(smile)' 또는 '스머크(smirk)'에 초점을 맞춥니다. 만약 당신이 옵션 가격을 현재 주가로부터 얼마나 떨어져 있는지에 따라 도표로 그린다면, 직선이 아닌 곡선 형태를 자주 보게 될 것입니다. 이 곡선은 시장이 극단적인 사건들—폭락과 대규모 랠 모두—을 표준 이론이 예측하는 것과는 다르게 가격에 반영하고 있음을 시사합니다. 저자는 이 곡선이 단순히 수학적 인공물인지, 아니면 인간의 위험 태도, 특히 사람들이 돈을 잃고 있을 때와 벌고 있을 때 위험을 어떻게 느끼는지에 대한 직접적인 지도인지 묻습니다. 목표는 이러한 감정적 반응을 금융의 근본 원칙인 '공짜 점심은 없다', 즉 기술적 용어로 '차익 거래 불가(no arbitrage)'를 준수하면서도 엄격한 수학적 언어로 번역하는 것입니다.

이 논문은 이러한 시장 가격을 바라보는 새로운 방식인 '등가 행동적 마팅게일 측도(Equivalent Behavioral Martingale Measure)'를 소개합니다. 이를 이해하기 위해, 시장이 가능한 모든 미래 결과에 서로 다른 가중치를 부여한다고 상상해 보십시오. 표준 모델은 모든 결과를 동등하게 취급할 수 있지만, 행동 모델은 투자자들이 동일한 규모의 이득보다 손실에 대해 더 신경을 쓴다는 점을 인정합니다. 저자는 이러한 가중치가 부여된, 감정적인 미래 관점을 유효한 수학적 도구로 바꿀 수 있음을 보여주지만, 이는 특정한 교정을 적용했을 때만 가능합니다. 이것을 저울을 조정하는 것에 비유해 보십시오. 만약 당신이 깃털과 돌의 무게를 같은 저울로 재고 싶다면, 단순히 올려놓기만 해서는 안 됩니다. 먼저 그것들이 받침대에 놓이는 방식의 차이를 고려해야 합니다. 이와 유사하게, 논문은 인간의 가공되지 않은 위험에 대한 감정을 사용하여 옵션을 가격 책정할 수 없음을 보여줍니다. 먼저 위험 회피적인 사람들의 특성과 시장의 움직임이 결합되어 발생하는 특정한 수학적 '드리프트(drift)'를 제거해야 합니다. 일단 이 드리프트에 대한 보상이 이루어지면, 그 결과로 나오는 공식은 인간 행동의 본질을 포착하면서도 자산을 가격 책정하는 유효하고 안정적인 방법이 됩니다.

핵심 발견은 이 교정된 공식이 작동한다는 것입니다. 저자는 투자자의 특정 순간 부의 한계 효용(wealth의 한계 효용, 즉 추가적인 1달러가 투자자에게 갖는 의미)을 가져와 시장의 위험에 맞춰 조정하면, 이것이 유효한 확률 측도로 변환된다는 것을 증명합니다. 이는 모순이나 불가능한 이익을 만들어내지 않고 가격을 계산하는 데 사용할 수 있음을 의미합니다. 논문은 이 작업을 가능하게 하기 위해 제거해야 할 정확한 수학적 항을 식별하며, 이를 경제학의 고전적 개념이자 개인이 위험을 얼마나 싫어하는지를 정량화하는 '애로우-프랫트(Arrow-Pratt) 위험 회피도'와 직접 연결합니다. 저자는 이 위험 회피도가 시장의 변동성과 곱해질 때 필요한 조정을 만들어낸다는 것을 보여줍니다. 이 조정을 거치지 않으면 모델은 금융 논리의 기본 테스트를 통과하지 못할 것입니다.

이론을 넘어, 논문은 이 아이디어를 실제 데이터로 테스트합니다. 저자는 애플, 마이크로소프트, 테슬라와 같은 거대 기업 및 광범위한 시장 지수를 포함하여 주요 미국 주식과 상장지수펀드(ETF)로부터 방대한 옵션 가격 데이터를 수집했습니다. 그는 노이즈가 많거나 신뢰할 수 없는 데이터를 걸러낸 후, 새로운 행동 모델을 관찰된 가격에 적합하도록 시도했습니다. 그리고 이를 전문가들이 사용하는 SVI 모델과 같은 다른 표준 모델들과 비교했습니다. 결과는 복합적이었으나 시사하는 바가 컸습니다. 새로운 행동 모델이 전문적인 트레이더들이 사용하는 표준 모델들과 마찬가지로 차익 거래를 방지하기 위한 엄격한 규칙을 적용받았을 때, 모델은 미래 가격을 예측하는 데 있어 기존 모델만큼 잘 수행되었으며, 일부 통합 테스트에서는 오히려 약간 더 나은 성능을 보이기도 했습니다. 그러나 논문은 이것이 트레이더들이 전체 트레이딩 표면(trading surfaces)을 구축하기 위해 사용하는 복잡한 도구들을 대체하려는 것이 아님을 주의 깊게 명시합니다. 대신, 이것은 진단 도구로서 기능합니다.

데이터에서 얻은 가장 중요한 통찰은 '스마일'을 구성 요소로 분해하는 데서 나옵니다. 저자는 이 곡선이 단일한 형태가 아니라 두 가지 뚜렷한 힘의 조합이라는 것을 발견했습니다. 하나는 대칭적인 부분으로, 모든 결과에 동등하게 영향을 미치는 일반적인 위험에 대한 공포를 나타내며 표준적인 '스마일'을 형성합니다. 다른 하나는 비대칭적인 부분으로, 곡선을 한쪽으로 기울게 만드는데, 저자는 이를 투기적 '스머크(smirk)'라고 해석합니다. 이 기울기는 특정 시장 상황에서 투자자들이 단순히 손실을 두려워하는 것이 아니라, 로또와 같은 거대한 이득의 가능성을 적극적으로 추구하고 있음을 시사합니다. 데이터는 이러한 투기적 기울기가 시장의 특징적인 요소이며, 일반적인 위험에 대한 공포보다 더 뚜렷하게 나타나는 경우가 많다는 것을 보여주었습니다. 실제로, 이 투기적 기울기의 강도는 가까운 미래에 시장이 얼마나 움직일지를 예측하는 데 작지만 측정 가능한 능력을 갖춘 것으로 나타났습니다.

또한 논문은 서로 다른 유형의 투자자들이 섞여 있을 때 어떤 일이 일어나는지도 다룹니다. 실제 시장에서는 매우 신중한 사람도 있고 매우 대담한 사람도 있습니다. 저자는 각 그룹의 상대적 크기나 중요성에 따라 가중치를 올바르게 부여한다면, 다양한 성향의 그룹들을 하나의 유효한 모델로 결합할 수 있음을 보여줍니다. 만약 그들의 상대적 비중을 고려하지 않고 단순히 견해를 합친다면 수학적 구조가 무너집니다. 하지만 그들을 전체 시장의 점유율로 취급하여 가중치를 정규화한다면, 결합된 모델은 유효성을 유지합니다. 이는 다양한 개성을 가진 시장이 어떻게 여전히 옵션에 대한 하나의 일관된 가격에 도달할 수 있는지를 이해하는 방법을 제공합니다.

궁극적으로, 이 논문은 시장이 왜 움직이는지에 대한 미스터리를 해결했거나 돈을 버는 새로운 방법을 찾았다고 주장하는 것이 아닙니다. 대신, 이미 존재하는 가격을 바라보는 더 명확한 렌즈를 제공합니다. 이 논문은 옵션 가격의 기이한 형태가 단순한 무작위 노이즈나 수학적 오류가 아니라, 인간이 위험과 보상을 인식하는 방식에 깊이 뿌리박고 있음을 확인시켜 줍니다. 이러한 인간의 감정을 수학적으로 건전한 프레임워크로 번역하는 정확한 방법을 보여줌으로써, 저자는 순수한 행동적 선호의 신호와 시장 마찰의 노이즈를 구분할 수 있는 방법을 제시합니다. 이 연구는 시장이 복잡할지라도, 인간이 위험에 과잉 반응하는 경향을 교정하기 위해 시간을 들인다면, 그 가격 결정의 근저에 깔린 동력들은 확률의 근본 법칙과 일치한다는 점을 시사합니다. 이를 통해 경제학자와 트레이더들은 가격을 보고 단순히 시장이 무엇을 일어날 것이라고 생각하는지뿐만 아니라, 그 일이 일어날 가능성에 대해 시장이 어떻게 느끼고 있는지를 이해할 수 있게 됩니다.

기술 요약: 등가 행동적 마팅게일 측도 (Equivalent Behavioral Martingale Measure)

문제 제로 (Problem Statement)
본 논문은 옵션 가격 결정과 변동성 스마일(smile) 및 스머크(smirk)의 해석에 있어 기초적인 간극을 다룬다. 사무엘슨-머턴(Samuelson–Merton)의 "util-prob" 구성 방식(한계 효용을 통해 물리적 확률을 가중하는 방식의 가격 키널 형성)은 표준적인 이론적 개념이지만, 이것이 자동으로 **등가 마팅게일 측도(Equivalent Martingale Measure, EMM)**가 되는 것은 아니다. 가공되지 않은 한계 효용 밀도는 EMM이 갖추어야 할 엄격한 수학적 조건, 즉 밀도 과정이 진정한 마팅게일(기댓값이 1이고 드리프트가 없는 상태)이어야 한다는 조건을 충족하지 못하는 경우가 많다.

결과적으로, 관측된 옵션 내재 변동성 패턴(스마일과 스머크)을 투자자의 위험 회피 성향의 직접적인 반영으로 해석하는 것은, 생성된 밀도가 허용 가능한 형태인지 보장하는 메커니즘 없이는 수학적으로 불확실하다. 본 논문은 "util-prob" 밀도가 어떻게 보상된 확률적 지수(compensated stochastic exponential)로 엄밀하게 표현될 수 있는지에 대한 조건을 공식화하여, 무차익 프레임워크 내에서 "행동적" 옵션 가격 결정의 타당성을 검증하고자 한다.

방법론 (Methodology)
본 논문은 여과된 확률 공간 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 를 사용하여 연속 시간 프레임워크를 구축한다.

이론적 구성:
- 보상된 확률적 지수 (Compensated Stochastic Exponential): 핵심적인 수학적 기여는 가공되지 않은 한계 효용 $U'(Y_t)$ 를 진정한 마팅게일 밀도 $L_t$ 로 변환하는 보상자(compensator) $\Gamma_t$ 를 유도하는 것이다. 이토 공식(Itô's formula)을 사용하여, 본 논문은 위험 회피( $A_t$ )와 프루던스( $a_t = U'''/U'$ )에 의해 발생하는 드리프트를 제거해야 함을 보여준다.
- 키널 (The Kernel): 결과적인 행동적 밀도는 돌레앙스-다데(Doléans–Dade) 확률적 지수로 표현된다:
  $L_t = \mathcal{E}\left(-\int_0^t A_s \sigma_s dW_s\right)$
  여기서 $A_t$ 는 애로우-프랫(Arrow–Pratt) 절대 위험 회피 과정이며, $\sigma_t$ 는 상태 변동성이다. 브라운 운동 위험 가격은 $\lambda_t = A_t \sigma_s$ 로 식별된다.
- 허용 가능성 조건 (Admissibility Conditions): $L_t$ 가 등가 행동적 마팅게일 측도(EBMM)를 정의하기 위해서는 양의 값 유지, 적분 가능성, 정규화, 그리고 충분한 마팅게일 조건(예: 노비코프(Novikov) 조건)을 만족해야 한다.
스마일과 스머크의 구조적 표현:
본 논문은 머니니스(moneyness, $m = \log(K/S)$ )에 따라 위험 태도 과정 $A_t$ 를 분해하기 위해 " $\tau$ -용접된(welded)" 쌍곡선 기저를 제안한다:
$A_\theta(m, \tau) = \beta_0(\tau) + A_{\text{averse}}(\tau)[\cosh(m) - 1] + A_{\text{seek}}(\tau)\sinh(m)$
여기서 짝함수인 $[\cosh(m)-1]$ 성분은 대칭적 곡률(스마일)을 포착하며, 홀함수인 $\sinh(m)$ 성분은 비대칭적 왜도(스머크)를 포착한다. $A_{\text{seek}}$ 는 음수가 될 수 있으며, 이는 국지적인 위험 추구 또는 투기적 행동을 나타낸다.
경험적 캘리브레이션 (Empirical Calibration):
- 데이터: ThetaData 터미널로부터 추출한 유동성이 풍부한 미국 지수 ETF(SPY, QQQ, IWM) 및 개별 종목 옵션(AAPL, MSFT, NVDA, AMZN, TSLA) 패널 데이터.
- 절차:
  1. 차익거래 페널티가 적용된 SVI 표면을 사용하여 위험 중립 밀도( $q_\tau$ )를 복구한다.
  2. 역사적 수익률로부터 물리적 밀도( $p_\tau$ )를 추정한다.
  3. 경험적 가격 키널 비율 $\hat{L}_\tau = q_\tau / p_\tau$ 를 계산한다.
  4. 모델 기반 밀도와 복구된 비율 사이의 거리를 최소화하도록 EBMM 파라미터( $A_{\text{averse}}, A_{\text{seek}}$ )를 적합시킨다 (단, $A_{\text{averse}} > 0, A_{\text{seek}} < 0$ 제약 조건 준수).
- 진단: 연구는 적합된 파라미터가 폭발적인 지수 항을 생성하여 마팅게일 허용성을 위반하는지 확인하기 위해 유한 표본 노비코프 일관성 스크리닝을 사용한다.

주요 결과 (Key Results)

수학적 등가성: 본 논문은 사무엘슨-머턴의 "util-prob" 밀도가 위험 회피와 프루던스로부터 발생하는 드리프트 항을 보상한 후에야 비로소 등가 마팅게일 측도가 됨을 증명한다. 브라운 운동 위험 가격은 애로우-프랫 위험 태도와 상태 변동성의 곱과 명시적으로 연결된다.
콕스-로스 항등식 (Cox–Ross Identity): EBMM 프레임워크 하에서, 본 논문은 옵션 대 기초자산 위험 프리미엄의 비율이 그들의 변동성 비율과 같으며, 공통된 가격 키널이 상쇄됨을 보여주는 콕스-로스 위험 프리미엄 항등식을 재도출한다.
경험적 적합도:
- 통합 홀드아웃(pooled holdout) 실험에서, 차익거래 페널티가 적용된 EBMM은 가공되지 않은 EBMM 및 차익거래 페널티가 적용된 SVI 벤치마크보다 낮은 제곱 오차 손실을 달enc한다.
- 그러나 슬라이스 수준(개별 심볼/만기)에서는 결과가 엇갈리며, 특정 슬라이스에서는 SVI가 EBMM보다 우수한 성능을 보이기도 한다.
- 위험 추구 성분: 경험적 추정치는 부호가 있는 위험 추구 성분( $A_{\text{seek}}$ )이 일관되게 음수이며 통계적으로 유의미한 반면, 대칭적 위험 회피 성분( $A_{\text{averse}}$ )은 종종 수치적 하한값(0) 근처에 머물러 있음을 보여준다. 이는 해당 샘플의 데이터가 대칭적 곡률보다는 주로 투기적 성향을 식별하고 있음을 시사한다.
예측력: 예비 예측 회귀 분석에 따르면, 부호가 있는 위험 추구 성분은 다음 구간의 실현 변동성을 예측하는 능력을 일부 갖추고 있으나, 위험 회피 성분은 그렇지 못했다.

의의 및 주장 (Significance and Claims)
본 논문은 자신의 기여를 기존의 변동성 표면 추정 기법을 대체하는 것이 아니라, 제한적이고 방법론적인 것으로 명시한다.

허용성 필터 (Admissibility Filter): EBMM의 주요 가치는 더 나은 변동성 표면(SVI나 SABR 대비)을 생성하는 것이 아니라, 밀도 비율의 허용 가능성 테스트 역할을 하는 데 있다. 이는 관측된 옵션의 스마일이나 스머크가 마팅게일 조건을 만족하는 보상된 한계 효용 밀도로 정당하게 해석될 수 있는지 판단하는 구조적 필터를 제공한다.
해석적 가교 (Interpretive Bridge): 본 논문은 고전적인 "util-prob" 문헌과 현대의 상태 가격 밀도(state-price density) 복구 사이의 간극을 메운다. 여기서 "행동적(behavioral)"이라는 용어는 무차익 원리나 순위 의존적 확률 왜곡의 위반이 아니라, 상태 의존적인 한계 효용 가중을 의미함을 명확히 한다.
분해 (Decomposition): 이 프레임워크를 통해 변동성 표면을 부호가 있는 애로우-프랫 성분으로 분해하여, 대칭적 위험 회피(스마일)와 비대칭적 위험 추구/투기적 행동(스머크)을 구분할 수 있다.
한계점: 저자는 경험적 결과가 작은 패널에 기반하고 있으며, 대칭적 위험 회피 요인이 종종 식별되지 않는다는 점을 주의시킨다. 또한 EBMM은 후보 밀도 비율에 대한 해석 도구이지, 생산 단계의 변동성 표면 추정기가 아님을 강조한다. 본 논문은 향후 연구에서 이러한 허용성 제한을 상품(commodities), 암호화폐 등 더 넓은 데이터셋에 테스트하고 표준 파라미터화와 비교해야 한다고 결론짓는다.

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