Equivalent Behavioural Martingale Measure

Nel mondo della finanza, i prezzi non sono solo numeri; sono segnali. Quando un investitore acquista un'opzione, un contratto che gli conferisce il diritto di comprare o vendere un'azione in una data futura, il prezzo che paga rivela ciò che il mercato collettivamente crede sul futuro. Nello specifico, rivela quanto il mercato teme un crollo o spera in un boom. Per decenni, gli economisti hanno utilizzato un quadro matematico standard per decodificare questi prezzi, trattandoli come se il mercato fosse una singola macchina razionale. Tuttavia, i mercati reali sono fatti di persone, e le persone non agiscono sempre come macchine. Provano paura, si lasciano prendere dalla cupidigia e valutano i rischi in modo diverso a seconda che stiano guardando una potenziale perdita o un potenziale guadagno. La domanda è stata a lungo: possiamo prendere la realtà disordinata ed emotiva del comportamento umano e farla rientrare nelle rigide regole logiche che governano la determinazione dei prezzi finanziari senza rompere il sistema?

Questo è il territorio esplorato in un nuovo working paper di G. Charles-Cadogan, che cerca di colmare il divario tra psicologia umana e finanza matematica. Il documento si concentra su un modello specifico osservato nei mercati delle opzioni: lo "smile" (sorriso) o lo "smirk" (sorriso asimmetrico). Se si dovessero tracciare i prezzi delle opzioni rispetto alla loro distanza dal prezzo attuale dell'azione, si vedrebbe spesso una linea curva piuttosto che una piatta. Questa curva suggerisce che il mercato prezza gli eventi estremi — sia i crolli che i grandi rally — in modo diverso rispetto a quanto previsto dalla teoria standard. L'autore si chiede se questa curva sia semplicemente un artefatto matematico o se sia una mappa diretta degli atteggiamenti umani nei confronti del rischio, specificamente di come le persone percepiscono il rischio quando stanno perdendo denaro rispetto a quando stanno vincendo. L'obiettivo è dimostrare che queste reazioni emotive possono essere tradotte in un linguaggio matematico rigoroso che rispetti la regola fondamentale della finanza: che non esiste un pasto gratis, o in termini tecnici, non esiste arbitraggio.

Il documento introduce un nuovo modo di guardare a questi prezzi di mercato, chiamandolo "Misura Martingala Comportamentale Equivalente". Per capire questo, immaginate che il mercato assegni un peso diverso a ogni possibile esito futuro. Un modello standard potrebbe trattare tutti gli esiti allo stesso modo, ma un modello comportamentale riconosce che gli investitori si curano di più di un esito negativo rispetto a uno positivo della stessa entità. L'autore dimostra che è possibile trasformare questa visione emotiva e ponderata del futuro in uno strumento matematico valido, ma solo se si applica una specifica correzione. Pensateelo come l'aggiustamento di una bilancia: se volete pesare una piuma e una roccia sulla stessa bilancia, non potete semplicemente metterle sopra; dovete prima tenere conto della differenza nel modo in cui poggiano sul piatto. Allo stesso modo, il documento mostra che non si possono semplicemente usare i sentimenti umani grezzi sul rischio per prezzare le opzioni. Bisogna prima rimuovere un determinato "drift" (deriva) matematico causato dalla combinazione di quanto le persone siano avverse al rischio e di quanto il mercato si stia muovendo. Una volta compensato questo drift, la formula risultante diventa un modo valido e stabile per prezzare gli asset che cattura comunque l'essenza del comportamento umano.

Il nucleo centrale della scoperta è che questa formula corretta funziona. L'autore dimostra che se si prende l'utilità marginale della ricchezza — che è una misura di quanto un dollaro extra significhi per un investitore in un momento specifico — e la si adatta ai rischi del mercato, essa si trasforma in una misura di probabilità valida. Ciò significa che può essere utilizzata per calcolare i prezzi senza creare contraddizioni o profitti impossibili. Il documento identifica il termine matematico esatto che deve essere rimosso per far sì che ciò funzioni, collegandolo direttamente alla misura di Arrow-Pratt dell'avversione al rischio, un concetto classico dell'economia che quantifica quanto qualcuno detesti il rischio. L'autore mostra che questa avversione al rischio, quando moltiplicata per la volatilità del mercato, crea l'aggiustamento necessario. Senza questo aggiustamento, il modello fallirebbe i test base della logica finanziaria.

Oltre alla teoria, il documento testa questa idea contro dati del mondo reale. L'autore ha raccolto un vasto insieme di prezzi di opzioni da importanti azioni statunitensi ed ETF, inclusi giganti come Apple, Microsoft e Tesla, nonché indici di mercato generali. Ha filtrato i dati rumorosi o inaffidabili e poi ha cercato di adattare il suo nuovo modello comportamentale ai prezzi osservati. Ha confrontato i suoi risultati con altri modelli standard utilizzati dai professionisti, come il modello SVI, che è progettato specificamente per adattarsi alla forma dei prezzi delle opzioni. I risultati sono stati misti ma rivelatori. Quando il nuovo modello comportamentale è stato sottoposto alle stesse rigide regole per prevenire l'arbitraggio dei modelli standard, ha performato altrettanto bene, e in alcuni test aggregati, anche leggermente meglio, nel prevedere i prezzi futuri. Tuttavia, il documento nota con cautela che questo non è un sostituto degli strumenti complessi attualmente usati dai trader per costruire intere superfici di trading. Al contrario, serve come strumento diagnostico.

L'intuizione più significativa derivante dai dati proviene dalla scomposizione dello "smile" nei suoi componenti. L'autore ha scoperto che la curva non è solo una singola forma, ma una combinazione di due forze distinte. Una parte è simmetrica, rappresentando una paura generale del rischio che influenza tutti gli esiti allo stesso modo, creando uno "smile" standard. L'altra parte è asimmetrica, inclinando la curva verso un lato, il che l'autore interpreta come uno "smirk" di speculazione. Questa inclinazione suggerisce che, in certe condizioni di mercato, gli investitori non hanno solo paura di perdere; stanno attivamente cercando la possibilità di un enorme guadagno di tipo lotteria. I dati hanno mostrato che questa inclinazione speculativa era una caratteristica forte e costante nel mercato, spesso più pronunciata della paura generale del rischio. Infatti, la forza di questa inclinazione speculativa sembrava avere una capacità piccola ma misurabile di prevedere quanto il mercato si sarebbe mosso nel prossimo futuro.

Il documento affronta anche cosa succede quando diversi tipi di investitori vengono mescolati insieme. In un mercato reale, alcune persone sono molto prudenti mentre altre sono molto audaci. L'autore mostra che è possibile combinare le visioni di prezzo di questi diversi gruppi in un unico modello valido, a condizione che vengano ponderati correttamente. Se si sommano semplicemente le loro visioni senza regolare la loro dimensione o importanza relativa, la matematica fallisce. Ma se si normalizzano i pesi, trattandoli come quote della quota totale del mercato, il modello combinato rimane valido. Questo fornisce un modo per comprendere come un mercato con personalità diverse possa comunque arrivare a un prezzo coerente e unico per un'opzione.

In definitiva, il documento non sostiene di aver risolto il mistero del perché i mercati si muovano o di aver trovato un nuovo modo per fare soldi. Invece, offre una lente più chiara attraverso la quale osservare i prezzi che già esistono. Conferma che le strane forme dei prezzi delle opzioni non sono solo rumore casuale o errori matematici, ma sono profondamente radicate nel modo in cui gli esseri umani percepiscono il rischio e la ricompensa. Mostrando esattamente come tradurre questi sentimenti umani in un quadro matematicamente solido, l'autore fornisce un modo per separare il segnale della genuina preferenza comportamentale dal rumore dell'attrito di mercato. Il lavoro suggerisce che, sebbene il mercato sia complesso, i driver sottostanti della sua determinazione dei prezzi sono coerenti con le leggi fondamentali della probabilità, a patto di dedicare il tempo necessario per correggere la tendenza umana a reagire eccessivamente al rischio. Ciò consente agli economisti e ai trader di guardare un prezzo e capire non solo cosa il mercato pensa accadrà, ma come il mercato si sente riguardo alla possibilità che accada.