Equivalent Behavioural Martingale Measure

In der Welt der Finanzen sind Preise nicht nur Zahlen; sie sind Signale. Wenn ein Investor eine Option kauft – ein Kontrakt, der ihm das Recht gibt, eine Aktie zu einem zukünftigen Zeitpunkt zu kaufen oder zu verkaufen –, offenbart der Preis, den er zahlt, was der Markt kollektiv über die Zukunft glaubt. Speziell offenbart er, wie sehr der Markt einen Crash fürchtet oder auf einen Boom hofft. Seit Jahrzehnten nutzen Ökonomen ein mathematisches Standardmodell, um diese Preise zu entschlüsseln, indem sie sie so behandeln, als wäre der Markt eine einzige, rationale Maschine. Reale Märkte bestehen jedoch aus Menschen, und Menschen handeln nicht immer wie Maschinen. Sie empfinden Angst, sie werden gierig und sie bewerten Risiken unterschiedlich, je nachdem, ob sie auf einen potenziellen Verlust oder einen potenziellen Gewinn blicken. Die Frage lautete lange: Können wir die chaotische, emotionale Realität des menschlichen Verhaltens in die strengen, logischen Regeln einpassen, die die Finanzpreisgestaltung regeln, ohne das System zu sprengen?

Dies ist das Terrain, das in einem neuen Working Paper von G. Charles-Cadogan untersucht wird, welches versucht, die Lücke zwischen menschlicher Psychologie und mathematischer Finanzwissenschaft zu schließen. Das Papier konzentriert sich auf ein spezifisches Muster, das in Optionsmärkten zu beobachten ist: das „Smile“ (Lächeln) oder den „Smirk“ (Grinsen). Wenn man die Preise von Optionen gegen deren Abstand zum aktuellen Aktienkurs aufträgt, sieht man oft eine gekrümmte Linie statt einer flachen. Diese Kurve deutet darauf hin, dass der Markt extreme Ereignisse – sowohl Crashs als als auch massive Rallyes – anders einpreist, als es die Standardtheorie vorhersagt. Der Autor fragt, ob diese Kurve lediglich ein mathematisches Artefakt ist oder eine direkte Karte der menschlichen Risikoeinstellungen darstellt, insbesondere davon, wie Menschen das Risiko wahrnehmen, wenn sie Geld verlieren im Vergleich dazu, wenn sie gewinnen. Das Ziel ist es zu zeigen, dass sich diese emotionalen Reaktionen in eine präzise mathematische Sprache übersetzen lassen, die die fundamentale Regel der Finanzwelt respektiert: Dass es kein Gratisessen gibt, oder technisch ausgedrückt: dass es keine Arbitrage gibt.

Das Papier führt eine neue Art der Betrachtung dieser Marktpreise ein, die es „Equivalent Behavioral Martingale Measure“ nennt. Um dies zu verstehen, stellen Sie sich vor, der Markt würde jedem möglichen zukünftigen Ergebnis ein anderes Gewicht zuweisen. Ein Standardmodell würde alle Ergebnisse gleich behandeln, aber ein behaviorales Modell erkennt an, dass Anleger ein schlechtes Ergebnis stärker gewichten als ein gutes Ergebnis gleicher Größe. Der Autor zeigt, dass man diese gewichtete, emotionale Sicht auf die Zukunft in ein gültiges mathematisches Werkzeug verwandeln kann, aber nur, wenn man eine spezifische Korrektur anwendet. Stellen Sie es sich wie das Justieren einer Waage vor: Wenn Sie eine Feder und einen Stein auf derselben Waage wiegen wollen, können Sie sie nicht einfach nur auflegen; Sie müssen zuerst berücksichtigen, wie sie sich auf der Schale verhalten. Ähnlich zeigt das Papier, dass man nicht einfach rohe menschliche Gefühle über das Risiko zur Preisgestaltung von Optionen verwenden kann. Man muss zuerst einen spezifischen mathematischen „Drift“ entfernen, der durch die Kombination aus der Risikoaversität der Menschen und der Bewegung des Marktes entsteht. Sobald dieser Drift kompensiert ist, wird die resultierende Formel zu einem gültigen, stabilen Weg, Vermögenswerte zu bepreisen, der dennoch die Essenz des menschlichen Verhaltens einfängt.

Der Kern der Erkenntnis ist, dass diese korrigierte Formel funktioniert. Der Autor beweist, dass wenn man den Grenznutzen des Vermögens nimmt – ein Maß dafür, wie viel ein zusätzlicher Dollar einem Investor zu einem bestimmten Zeitpunkt bedeutet – und ihn um die Risiken des Marktes bereinigt, sich dieser in ein gültiges Wahrscheinlichkeitsmaß verwandelt. Dies bedeutet, dass er verwendet werden kann, um Preise zu berechnen, ohne Widersprüche oder unmögliche Gewinne zu erzeugen. Das Papier identifiziert den exakten mathematischen Term, der entfernt werden muss, damit dies funktioniert, und verknüpft ihn direkt mit dem Arrow-Pratt-Maß der Risikoaversität, einem klassischen Konzept der Ökonomie, das quantifiziert, wie sehr jemand Risiko ablehnt. Der Autor zeigt, dass diese Risikoaversität, multipliziert mit der Volatilität des Marktes, die notwendige Anpassung schafft. Ohne diese Anpassung würde das Modell die grundlegenden Tests der Finanzlogik scheitern.

Jenseits der Theorie testet das Papier diese Idee anhand von Realdaten. Der Autor sammelte einen großen Datensatz von Optionspreisen aus bedeutenden US-Aktien und börsengehandelten Fonds (ETFs), darunter Giganten wie Apple, Microsoft und Tesla sowie breite Marktindizes. Er filterte verrauschte oder unzuverlässige Daten heraus und versuchte dann, sein neues behaviorales Modell an die beobachteten Preise anzupassen. Er verglich seine Ergebnisse mit anderen professionellen Standardmodellen, wie dem SVI-Modell, das speziell darauf ausgelegt ist, die Form von Optionspreisen abzubilden. Die Ergebnisse waren gemischt, aber aufschlussreich. Als das neue behaviorale Modell denselben strengen Regeln unterzogen wurde, um Arbitrage zu verhindern, wie die Standardmodelle, schnitt es ebenso gut ab und war in einigen kombinierten Tests sogar leicht besser darin, zukünftige Preise vorherzusagen. Das Papier merkt jedoch vorsichtig an, dass dies kein Ersatz für die komplexen Werkzeuge ist, die derzeit von Tradern zur Erstellung ganzer Handelsflächen genutzt werden. Stattdessen dient es als Diagnosewerkzeug.

Die bedeutendste Erkenntnis aus den Daten ergibt sich aus der Zerlegung des „Smile“ in seine Komponenten. Der Autor fand heraus, dass die Kurve nicht nur eine einzige Form ist, sondern eine Kombination aus zwei unterschiedlichen Kräften. Ein Teil ist symmetrisch und repräsentiert eine allgemeine Risikoangst, die alle Ergebnisse gleichermaßen betrifft und ein Standard-„Smile“ erzeugt. Der andere Teil ist asymmetrisch und neigt die Kurve zu einer Seite, was der Autor als „Smirk“ der Spekulation interpretiert. Diese Neigung deutet darauf hin, dass Investoren unter bestimmten Marktbedingungen nicht nur Angst haben, etwas zu verlieren, sondern aktiv nach der Möglichkeit eines massiven, lotterieartigen Gewinns suchen. Die Daten zeigten, dass diese spekulative Neigung ein starkes und konsistentes Merkmal des Marktes war, das oft ausgeprägter war als die allgemeine Risikoangst. Tatsächlich schien die Stärke dieser spekulativen Neigung eine kleine, aber messbare Fähigkeit zu besitzen, die Beweglichkeit des Marktes in der nahen Zukunft vorherzusagen.

Das Papier befasst sich auch damit, was passiert, wenn verschiedene Typen von Investoren vermischt werden. In einem echten Markt sind manche Menschen sehr vorsichtig, während andere sehr kühn sind. Der Autor zeigt, dass man die Preisansichten dieser verschiedenen Gruppen in ein einziges, gültiges Modell kombinieren kann, sofern man sie korrekt gewichtet. Wenn man ihre Ansichten einfach zusammenzählt, ohne sie im Verhältnis zu ihrer Größe oder Bedeutung anzupassen, bricht die Mathematik zusammen. Wenn man jedoch die Gewichte normalisiert und sie als Anteile am Gesamtmarkt behandelt, bleibt das kombinierte Modell gültig. Dies bietet einen Weg, um zu verstehen, wie ein Markt mit vielfältigen Persönlichkeiten dennoch zu einem einzigen, kohärenten Preis für eine Option gelangen kann.

Letztendlich behauptet das Papier nicht, das Rätsel gelöst zu haben, warum Märkte sich bewegen, oder einen neuen Weg gefunden zu haben, um Geld zu verdienen. Stattdessen bietet es eine klarere Linse, durch die man die bereits existierenden Preise betrachten kann. Es bestätigt, dass die seltsamen Formen der Optionspreise nicht bloß zufälliges Rauschen oder mathematische Fehler sind, sondern tief in der Art und Weise verwurzelt sind, wie Menschen Risiko und Ertrag wahrnehmen. Indem er zeigt, wie genau man diese menschlichen Gefühle in einen mathematisch fundierten Rahmen übersetzt, bietet der Autor einen Weg, das Signal echter behavioraler Präferenzen vom Rauschen der Marktreibung zu trennen. Die Arbeit legt nahe, dass die Märkte zwar komplex sind, die zugrunde liegenden Treiber ihrer Preisbildung jedoch konsistent mit den fundamentalen Gesetzen der Wahrscheinlichkeit sind, sofern man die Zeit nimmt, die menschliche Tendenz zur Überreaktion auf Risiken zu korrigieren. Dies ermöglicht es Ökonomen und Tradern, auf einen Preis zu blicken und nicht nur zu verstehen, was der Markt passieren zu lassen glaubt, sondern wie der Markt sich bezüglich der Möglichkeit dessen fühlt.