Equivalent Behavioural Martingale Measure

In de wereld van de financiën zijn prijzen niet slechts getallen; ze zijn signalen. Wanneer een investeerder een optie koopt, een contract dat hen het recht geeft om een aandeel op een toekomstige datum te kopen of verkopen, onthult de prijs die zij betalen wat de markt collectief gelooft over de toekomst. Specifiek onthult het hoeveel de markt vreest voor een crash of hoopt op een boom. Decennialang hebben economen een standaard wiskundig kader gebruikt om deze prijzen te decoderen, waarbij ze ze behandelden alsof de markt een enkele, rationele machine was. Echter, echte markten bestaan uit mensen, en mensen handelen niet altijd als machines. Ze voelen angst, ze worden hebzuchtig, en ze wegen risico's anders af afhankelijk van of ze kijken naar een potentieel verlies of een potentieel winst. De vraag is lang geweest: kunnen we de rommelige, emotionele realiteit van menselijk gedrag passen in de strikte, logische regels die de financiële prijsvorming beheersen zonder het systeem te breken?

Dit is het terrein dat wordt verkend in een nieuw werkdocument door G. Charles-Cadogan, dat tracht de kloof tussen menselijke psychologie en wiskundige financiën te overbruggen. Het paper richt zich op een specifiek patroon dat in optiemarkten wordt gezien: de "smile" of "smirk". Als u de prijzen van opties zou uitzetten tegen hoe ver ze verwijderd zijn van de huidige aandelenprijs, zou u vaak een gebogen lijn zien in plaats van een vlakke lijn. Deze curve suggereert dat de markt extreme gebeurtenissen—zowel crashes als enorme rally's—anders prijst dan de standaardtheorie voorspelt. De auteur vraagt zich af of deze curve simpelweg een wiskundig artefact is of of het een directe kaart is van menselijke risicohoudingen, specifiek hoe mensen zich voelen over risico wanneer ze geld verliezen versus wanneer ze winst maken. Het doel is om aan te tonen dat deze emotionele reacties kunnen worden vertaald naar een rigoureuze wiskundige taal die de fundamentele regel van de financiële sector respecteert: dat er geen gratis lunch bestaat, of in technische termen, geen arbitrage.

Het paper introduceert een nieuwe manier om naar deze marktprijzen te kijken, die het de "Equivalent Behavioral Martingale Measure" noemt. Om dit te begrijpen, stel u voor dat de markt een andere wegingsfactor toekent aan elke mogelijke toekomstige uitkomst. Een standaardmodel zou alle uitkomsten gelijk behandelen, maar een gedragsmodel erkent dat beleggers meer geven om een slechte uitkomst dan om een goede uitkomst van dezelfde omvang. De auteur demonstreert dat u deze gewogen, emotionele kijk op de toekomst kunt omzetten in een geldig wiskundig instrument, maar alleen als u een specifieke correctie toepast. Denk eraan als het aanpassen van een weegschaal: als u een veer en een rots op dezelfde schaal wilt wegen, kunt u ze niet zomaar neerleggen; u moet eerst rekening houden met het verschil in hoe ze op de pan liggen. Similair toont het paper aan dat u niet simpelweg rauwe menselijke gevoelens over risico kunt gebruiken om opties te prijzen. U moet eerst een specifieke wiskundige "drift" verwijderen die wordt veroorzaakt door de combinatie van hoe risicomijdende mensen zijn en hoeveel de markt beweegt. Zodra deze drift is gecompenseerd, wordt de resulterende formule een geldige, stabiele manier om activa te prijzen die nog steeds de essentie van menselijk gedrag vangt.

De kernbevinding is dat deze gecorrigeerde formule werkt. De auteur bewijst dat als u de marginale nut van rijkdom neemt—een maatstaf voor hoeveel een extra dollar een belegger op een specifiek moment betekent—en deze aanpast voor de risico's van de markt, dit transformeert in een geldige waarschijnlijkheidsmaat. Dit betekent dat het kan worden gebruikt om prijzen te berekenen zonder tegenstrijdigheden of onmogelijke winsten te creëren. Het paper identificeert de exacte wiskundige term die moet worden verwijderd om dit te laten werken, die direct gekoppeld is aan de Arrow-Pratt maatstaf van risico-aversie, een klassiek concept in de economie dat kwantificeert hoeveel iemand een afkeer heeft van risico. De auteur laat zien dat deze risico-aversie, wanneer vermenigvuldigd met de volatiliteit van de markt, de noodzakelijke aanpassing creëert. Zonder deze aanpassing zou het model falen voor de basis tests van de financiële logica.

Buiten de theorie test het paper dit idee tegen de echte wereld data. De auteur verzamelde een grote set optieprijzen van belangrijke Amerikaanse aandelen en exchange-traded funds, inclusief reuzen zoals Apple, Microsoft en Tesla, evenals brede markindexen. Ze filterden ruis of onbetrouwbare data eruit en probeerden vervolgens hun nieuwe gedragsmodel op de geobserveerde prijzen aan te passen. Ze vergeleken hun resultaten met andere standaardmodellen die door professionals worden gebruikt, zoals het SVI-model, dat specifiek is ontworpen om de vorm van optieprijzen te fitten. De resultaten waren gemengd maar onthullend. Wanneer het nieuwe gedragsmodel werd onderworpen aan dezelfde strikte regels om arbitrage te voorkomen als de standaardmodellen, presteerde het net zo goed, en in sommige gepoolde tests zelfs iets beter, bij het voorspellen van toekomstige prijzen. Echter, het paper is voorzichtig om te merken dat dit geen vervanging is voor de complexe instrumenten die momenteel door handelaren worden gebruikt om volledige handelsvlakken op te bouwen. In plaats daarvan dient het als een diagnostisch instrument.

Het meest significante inzicht uit de data komt uit het opdelen van de "smile" in zijn componenten. De auteur vond dat de curve niet slechts één enkele vorm is, maar een combinatie van twee verschillende krachten. Eén deel is symmetrisch, wat een algemene angst voor risico vertegenwoordigt die alle uitkomsten gelijkmatig beïnvloedt, wat een standaard "smile" creëert. Het andere deel is asymmetrisch, waardoor de curve naar één kant helt, wat de auteur interpreteert als een "smirk" van speculatie. Deze helling suggereert dat beleggers in bepaalde marktomstandigheden niet alleen bang zijn om te verliezen; ze zijn actief op zoek naar de mogelijkheid van een enorme, loterij-achtige winst. De data toonden aan dat deze speculatieve helling een sterke en consistente feature in de markt was, vaak prominenter aanwezig dan de algemene angst voor risico. Sterker nog, de kracht van deze speculatieve helling leek een kleine maar meetbare capaciteit te hebben om te voorspellen hoeveel de markt in de nabije toekomst zou bewegen.

Het paper behandelt ook wat er gebeurt wanneer verschillende typen beleggers worden gemengd. In een echte markt zijn sommige mensen zeer voorzichtig terwijl anderen zeer gedurfd zijn. De auteur laat zien dat u de prijsopvattingen van deze verschillende groepen kunt combineren in een enkel, geldig model, mits u ze correct weegt. Als u hun visies simpelweg bij elkaar optelt zonder rekening te houden met hun relatieve omvang of belang, stort de wiskunde in. Maar als u de gewichten normaliseert, door hen te behandelen als aandelen in het totaal van de markt, blijft het gecombineerde model geldig. Dit biedt een manier om te begrijpen hoe een markt met diverse persoonlijkheden nog steeds tot een enkele, coherente prijs voor een optie kan komen.

Uiteindelijk claimt het paper niet het mysterie te hebben opgelost waarom markten bewegen of een nieuwe manier te hebben gevonden om geld te verdienen. In plaats daarvan biedt het een helderdere lens waardoor men naar de reeds bestaande prijzen kan kijken. Het bevestigt dat de vreemde vormen van optieprijzen niet slechts willekeurige ruis of wiskundige fouten zijn, maar diep geworteld zijn in hoe mensen risico en beloning waarnemen. Door precies aan te tonen hoe deze menselijke gevoelens in een wiskundig solide kader kunnen worden vertaald, biedt de auteur een manier om het signaal van genuïne gedragsmatige voorkeur te scheiden van de ruis van markt wrijving. Het werk suggereert dat hoewel de markt complex is, de onderliggende drijfveren van de prijsvorming consistent zijn met de fundamentele wetten van waarschijnlijkheid, mits we de tijd nemen om te corrigeren voor de menselijke neiging om te overreageren op risico. Dit stelt economen en handelaren in staat om naar een prijs te kijken en niet alleen te begrijpen wat de markt denkt dat er zal gebeuren, maar ook hoe de markt zich voelt over de mogelijkheid dat het gebeurt.