Equivalent Behavioural Martingale Measure

Dans le monde de la finance, les prix ne sont pas de simples chiffres ; ce sont des signaux. Lorsqu'un investisseur achète une option, un contrat qui lui donne le droit d'acheter ou de vendre une action à une date future, le prix qu'il paie révèle ce que le marché croit collectivement sur l'avenir. Plus précisément, il révèle à quel point le marché craint un krach ou espère un boom. Depuis des décennies, les économistes utilisent un cadre mathématique standard pour décoder ces prix, les traitant comme si le marché était une machine unique et rationnelle. Cependant, les vrais marchés sont composés d'êtres humains, et les humains n'agissent pas toujours comme des machines. Ils ressentent de la peur, ils sont victimes de cupidité, et ils évaluent les risques différemment selon qu'ils envisagent une perte potentielle ou un gain potentiel. La question est de longue date : pouvons-nous prendre la réalité désordonnée et émotionnelle du comportement humain et l'intégrer dans les règles strictes et logiques qui régissent la tarification financière sans briser le système ?

C'est le territoire exploré dans un nouveau document de travail de G. Charles-Cadogan, qui cherche à combler le fossé entre la psychologie humaine et la finance mathématique. Le document se concentre sur un motif spécifique observé dans les marchés d'options : le « sourire » (smile) ou le « rictus » (smirk). Si vous traciez le prix des options par rapport à leur distance par rapport au cours actuel de l'action, vous verriez souvent une ligne courbe plutôt qu'une ligne plate. Cette courbe suggère que le marché valorise les événements extrêmes — tant les krachs que les rallyes massifs — différemment de ce que prédit la théorie standard. L'auteur demande si cette courbe est simplement un artefact mathématique ou si elle est une carte directe des attitudes humaines face au risque, spécifiquement la façon dont les gens perçoivent le risque lorsqu'ils perdent de l'argent par rapport à lorsqu'ils en gagnent. L'objectif est de montrer que ces réactions émotionnelles peuvent être traduites dans un langage mathématique rigoureux qui respecte la règle fondamentale de la finance : qu'il n'existe pas de repas gratuit, ou, en termes techniques, pas d'arbitrage.

Le document introduit une nouvelle façon de regarder ces prix de marché, appelée la « Mesure de Martingale Comportementale Équivalente ». Pour comprendre cela, imaginez que le marché attribue un poids différent à chaque issue possible de l'avenir. Un modèle standard pourrait traiter toutes les issues de manière égale, mais un modèle comportemental reconnaît que les investisseurs accordent plus d'importance à un mauvais résultat qu'à un bon résultat de même ampleur. L'auteur démontre que l'on peut transformer cette vision pondérée et émotionnelle de l'avenir en un outil mathématique valide, mais seulement si l'on applique une correction spécifique. Imaginez que vous ajustez une balance : si vous voulez peser une plume et un rocher sur la même balance, vous ne pouvez pas simplement les poser ; vous devez d'abord tenir compte de la différence de façon dont ils reposent sur le plateau. De même, le document montre que l'on ne peut pas simplement utiliser les sentiments bruts des humains concernant le risque pour fixer le prix des options. Il faut d'abord supprimer une « dérive » mathématique spécifique causée par la combinaison de l'aversion au risque des individus et de l'ampleur du mouvement du marché. Une fois cette dérive compensée, la formule résultante devient un moyen de tarification d'actifs valide et stable, qui capture tout en respectant l'essence du comportement humain.

La découverte centrale est que cette formule corrigée fonctionne. L'auteur prouve que si l'on prend l'utilité marginale de la richesse — qui est une mesure de ce qu'un dollar supplémentaire signifie pour un investisseur à un moment donné — et qu'on l'ajuste pour les risques du marché, elle se transforme en une mesure de probabilité valide. Cela signifie qu'elle peut être utilisée pour calculer des prix sans créer de contradictions ou de profits impossibles. Le document identifie le terme mathématique exact qui doit être supprimé pour que cela fonctionne, le liant directement à la mesure d'Arrow-Pratt de l'aversion au risque, un concept classique en économie qui quantifie l'aversion d'un individu face au risque. L'auteur montre que cette aversion au risque, lorsqu'elle est multipliée par la volatilité du marché, crée l'ajustement nécessaire. Sans cet ajustement, le modèle échouerait aux tests de base de la logique financière.

Au-delà de la théorie, le document teste cette idée par rapport à des données réelles. L'auteur a rassemblé un large ensemble de prix d'options provenant de grandes actions américaines et de fonds négociés en bourse (ETF), incluant des géants comme Apple, Microsoft et Tesla, ainsi que des indices de marché larges. Il a filtré les données bruitées ou peu fiables, puis a tenté d'ajuster son nouveau modèle comportemental aux prix observés. Il a comparé ses résultats avec d'autres modèles standards utilisés par les professionnels, tels que le modèle SVI, qui est conçu spécifiquement pour s'adapter à la forme des prix des options. Les résultats ont été mitigés mais révélateurs. Lorsque le nouveau modèle comportemental a été soumis aux mêmes règles strictes pour empêcher l'arbitrage que les modèles standards, il a performé aussi bien, et dans certains tests groupés, même légèrement mieux, pour prédire les prix futurs. Cependant, le document précise avec prudence qu'il ne s'agit pas d'un remplacement des outils complexes actuellement utilisés par les traders pour construire des surfaces de trading entières. Au lieu de cela, il sert d'outil de diagnostic.

L'enseignement le plus significatif des données provient de la décomposition du « sourire » en ses composantes. L'auteur a découvert que la courbe n'est pas seulement une forme unique, mais une combinaison de deux forces distinctes. Une partie est symétrique, représentant une peur générale du risque qui affecte tous les résultats de manière égale, créant un « sourire » standard. L'autre partie est asymétrique, penchant la courbe d'un côté, ce que l'auteur interprète comme un « rictus » de spéculation. Cette inclinaison suggère que, dans certaines conditions de marché, les investisseurs ne font pas que craindre la perte ; ils recherchent activement la possibilité d'un gain massif, de type loterie. Les données ont montré que ce rictus spéculatif était une caractéristique forte et constante du marché, souvent plus prononcée que la peur générale du risque. En fait, la force de ce rictus spéculatif semblait avoir une capacité petite mais mesurable à prédire l'ampleur du mouvement du marché à court terme.

Le document traite également de ce qui se passe lorsque différents types d'investisseurs sont mélangés. Dans un marché réel, certains sont très prudents tandis que d'autres sont très audacieux. L'auteur montre que l'on peut combiner les visions de prix de ces différents groupes en un seul modèle valide, à condition de les pondérer correctement. Si l'on se contente d'additionner leurs visions sans ajuster leur taille ou leur importance relative, les mathématiques s'effondrent. Mais si l'on normalise les poids, en les traitant comme des parts du marché total, le modèle combiné reste valide. Cela offre un moyen de comprendre comment un marché doté de personnalités diverses peut tout de même parvenir à un prix unique et cohérent pour une option.

En fin de compte, le document ne prétend pas avoir résolu le mystère de la raison pour laquelle les marchés bougent ou avoir trouvé une nouvelle façon de gagner de l'argent. Au lieu de cela, il offre un prisme plus clair pour observer les prix qui existent déjà. Il confirme que les formes étranges des prix des options ne sont pas de simples bruits aléatoires ou des erreurs mathématiques, mais qu'elles sont profondément ancrées dans la façon dont les humains perçoivent le risque et la récompense. En montrant exactement comment traduire ces sentiments humains dans un cadre mathématiquement solide, l'auteur fournit un moyen de séparer le signal de la préférence comportementale réelle du bruit de la friction du marché. Le travail suggère que bien que le marché soit complexe, les moteurs sous-jacents de sa tarification sont cohérents avec les lois fondamentales de la probabilité, à condition de prendre le temps de corriger la tendance humaine à surréagir au risque. Cela permet aux économistes et aux traders de regarder un prix et de comprendre non seulement ce que le marché pense qu'il va arriver, mais aussi ce que le marché ressent face à la possibilité que cela arrive.