Hybrid Dynamics of Rocking Blocks Beyond Overturning: Saltation Analysis, Bifurcations, and Stability Characterization

तकनीकी सारांश: ओवरटर्निंग से परे रॉकिंग ब्लॉक्स की हाइब्रिड डायनेमिक्स

समस्या विवरण
रॉकिंग ब्लॉक्स (झूलते हुए ब्लॉक) मेसनरी दीवारों, मूर्तियों और ऊंचे टैंकों जैसी कठोर संरचनाओं की भूकंपीय प्रतिक्रिया को समझने के लिए मौलिक मॉडल हैं। जबकि शास्त्रीय हाउसनर मॉडल (Housner model) लंबे समय से इन प्रणालियों के विश्लेषण का आधार रहा है, हाल के अध्ययनों ने इसके भविष्यवाणियों और प्रयोगात्मक रूप से देखी गई इम्पैक्ट व्यवहारों के बीच विसंगतियों को उजागर किया है। विशेष रूप से, शास्त्री-आधारित कोएफिशिएंट ऑफ रेस्टीट्यूशन (COR), जो कोणीय संवेग संरक्षण (angular momentum conservation) से व्युत्पन्न है, ऊर्जा अपव्यय (energy dissipation) यांत्रिकी को सटीक रूप से पकड़ने में अक्सर विफल रहता है, विशेष रूप से कम स्लेंडरनेस अनुपात (slenderness ratio) वाले ब्लॉकों के लिए। यद्यपि माओ एट अल. (Mao et al.) द्वारा प्रस्तावित 'काइनेटिक-एनर्जी रीडिस्ट्रीब्यूशन मॉडल' जैसे वैकल्पिक सूत्रीकरण पेश किए गए हैं ताकि प्रयोगात्मक डेटा के साथ बेहतर तालमेल बिठाया जा सके, लेकिन रॉकिंग सिस्टम के वैश्विक नॉनलीन डायनेमिक्स पर इन वैकल्पिक रेस्टीट्यूशन कानूनों को अपनाने के प्रभावों का अभी तक व्यापक रूप से अन्वेषण नहीं किया गया है। यह कार्य इस बात की जांच करता है कि रेस्टीट्यूशन मॉडलिंग का चयन सिस्टम की बाइफर्केशन संरचना (bifurcation structure), स्थिरता और आकर्षण बेसिन (basin of attraction) के संगठन को कैसे प्रभावित करता है, जो पारंपरिक ओवरटर्निंग थ्रेशोल्ड (पलटने की सीमा) के अध्ययन से आगे बढ़कर जटिल दोलन शासन (oscillatory regimes) का लक्षण वर्णन करता है।

कार्यप्रणाली
अध्ययन एक हार्मोनिक बेस एक्साइटेशन (harmonic base excitation) के अधीन हाइब्रिड नॉन-स्मूथ डायनेमिकल सिस्टम के रूप में रॉकिंग ब्लॉक को सूत्रबद्ध करता है। सिस्टम को द्रव्यमान $M$, चौड़ाई $2b$, और ऊंचाई $2h$ वाले एक आयताकार कठोर पिंड (rigid body) के रूप में परिभाषित किया गया है, जो बिना फिसले रॉक कर रहा है। डायनेमिक्स को खंडित विभेदक समीकरणों (piecewise differential equations) द्वारा नियंत्रित किया जाता है जो कोणीय विस्थापन $\theta$ के आधार पर बदलते हैं, जहाँ प्रभाव (impact) $\theta = 0$ पर होता है।

दो अलग-अलग रेस्टीट्यूशन मॉडलों की समान ज्यामितीय और उत्तेजना स्थितियों के तहत तुलना की जाती है:

1. हाउसनर मॉडल ($e_H$): शास्त्रीय सूत्रीकरण जहाँ COR केवल ब्लॉक की ज्यामिति (क्रिटिकल एंगल $\theta_c$) पर निर्भर करता है।
2. माओ एट अल. मॉडल ($e_M$): वेग क्षेत्र (velocity field) के वेक्टर-आधारित विश्लेषण से प्राप्त एक वैकल्पिक सूत्रीकरण, जो संपर्क इंटरफेस पर इलास्टिक रिकवरी और ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में रखता है।

विभिन्न स्लेंडरनेस अनुपातों ($h/b = 1$ और $h/b = 2$) के माध्यम से डायनेमिक्स को चित्रित करने के लिए अध्ययन तीन प्राथमिक संख्यात्मक उपकरणों का उपयोग करता है:

• बाइफर्केशन डायग्राम (Bifurcation Diagrams): फोर्सिंग आयाम ($\alpha$) के परिवर्तन के साथ आवधिक (periodic), मल्टीपीरियडिक और अराजक (chaotic) शासन के बीच संक्रमण की पहचान करने के लिए पोइनकेरे सेक्शन (Poincaré sections) का उपयोग करके निर्मित।
• लियापुनोव एक्सपोनेंट्स (Lyapunov Exponents): प्रभाव के समय विच्छिन्नता (discontinuities) को संभालने के लिए साल्टेशन मैट्रिसेस (saltation matrices) के साथ बेनिटिन-वोल्फ एल्गोरिदम का उपयोग करके अधिकतम लियापुनोव एक्सपोनेंट ($\lambda_{max}$) की गणना की जाती है, जो स्थिर आवधिक गति ($\lambda_{max} < 0$) और अराजक गति ($\lambda_{max} > 0$) के बीच अंतर करता है।
• आकर्षण बेसिन (Basins of Attraction): प्रारंभिक स्थितियों को उनके अंतिम परिणामों (डैम्प्ड मोशन, सिमेट्रिक/असिमेट्रिक ऑसिलेशन, मल्टीपीरियडिक रिस्पॉन्स, या ओवरटर्निंग) से मैप करने के लिए स्टेट स्पेस को विविक्त (discretize) किया गया है। यह बाउंडेड मोशन की मजबूती बनाम ओवरटर्निंग संवेदनशीलता का मात्रात्मक मूल्यांकन करने की अनुमति देता है।

प्रमुख परिणाम
तुलना से पता चलता है कि रेस्टीट्यूशन मॉडल का चयन अनुमानित डायनेमिकल लैंडस्केप को महत्वपूर्ण रूप से बदल देता है, जिसके प्रभाव स्लेंडरनेस अनुपात पर अत्यधिक निर्भर हैं:

• कम स्लेंडरनेस वाले ब्लॉकों में विचलन ($h/b = 1$): माओ एट अल. का सूत्रीकरण हाउसनर मॉडल की तुलना में उच्च कोएफिशिएंट ऑफ रेस्टीट्यूशन (कम ऊर्जा अपव्यय) की भविष्यवाणी करता है। इसके परिणामस्वरूप जटिल दोलन व्यवहार का जल्दी आगमन और अराजक गति से जुड़े मापदंडों का एक व्यापक रेंज मिलता है। महत्वपूर्ण रूप से, आकर्षण बेसिन विश्लेषण एक बड़ा अंतर दिखाता है: माओ मॉडल स्थिर सममित दोलनों (symmetric oscillations) के डोमेन को नाटकीय रूप से कम कर देता है (प्रारंभिक स्थितियों के 55.55% से घटाकर 19.64% कर देता है) और ओवरटर्निंग की व्यापकता को काफी बढ़ा देता है (44.45% से बढ़ाकर 80.36% कर देता है)। इस ज्यामिति के लिए दोनों मॉडलों के बीच सहमति केवल 64.09% है, जिसका अर्थ है कि एक-तिहाई से अधिक प्रारंभिक स्थितियाँ केवल इम्पैक्ट लॉ के आधार पर गुणात्मक रूप से भिन्न परिणाम देती हैं।
• उच्च स्लेंडरनेस वाले ब्लॉकों में अभिसरण ($h/b = 2$): जैसे-जैसे स्लेंडरनेस अनुपात बढ़ता है, दोनों रेस्टीट्यूशन कोएफिशिएंट के बीच विसंगति कम होती जाती है। फलस्वरूप, दोनों मॉडलों द्वारा उत्पन्न डायनेमिकल विशेषताएं प्रगतिशील रूप से अभिसरित (converge) होती हैं। हालांकि माओ मॉडल बाउंडेड क्षेत्र के भीतर मल्टीपीरियडिक अट्रैक्टर्स पेश करता है, फिर भी स्टेट स्पेस का समग्र संगठन और ओवरटर्निंग घटनाओं का अनुपात दोनों सूत्रीकरणों के बीच अधिक समान हो जाता है।
• संक्रमण की प्रकृति: माओ मॉडल नियमित आवधिक गति के अधिक अचानक नुकसान को बढ़ावा देता है और संक्रमणों को कम फोर्सिंग एम्प्लीट्यूड की ओर धकेलता है। इसके विपरीत, हाउसनर मॉडल ओवरटर्निंग से पहले स्थिरता और अराजकता के वैकल्पिक विंडोज़ के साथ एक अधिक क्रमिक संक्रमण प्रदर्शित करता है।

महत्व और दावे
यह शोध दावा करता है कि कोएफिशिएंट ऑफ रेस्टीट्यूशन को केवल एक स्थानीय इम्पैक्ट पैरामीटर के रूप में नहीं, बल्कि एक ऐसे मॉडलिंग धारणा के रूप में देखा जाना चाहिए जो रॉकिंग सिस्टम की वैश्विक डायनेमिकल संरचना को मौलिक रूप से बदलने में सक्षम है। अध्ययन दर्शाता है कि वैकल्पिक रेस्टीट्यूशन सूत्रीकरण, हालांकि स्थानीय इम्पैक्ट रिस्पॉन्स की भविष्यवाणी करने में अधिक सटीक हो सकते हैं, फिर भी हाउसनर मॉडल की तुलना में काफी भिन्न दीर्घकालिक व्यवहार उत्पन्न कर सकते हैं।

विशेष रूप से, लेखक दावा करते हैं कि कम स्लेंडरनेस वाले ब्लॉकों के लिए, माओ एट अल. सूत्रीकरण को अपनाने से सुरक्षित रॉकिंग रिस्पॉन्स की मजबूती कम होने का संकेत मिलता है, जहाँ प्रारंभिक स्थितियों में छोटे व्यवधानों के कारण ओवरटर्निंग की संभावना अधिक होती है। इसके विपरीत, ऊंचे ब्लॉकों के लिए, विशिष्ट रेस्टीट्यूशन मॉडल के प्रति संवेदनशीलता कम हो जाती है। ये निष्कर्ष एक डायनेमिकल परिप्रेक्ष्य प्रदान करते हैं कि शास्त्रीय भविष्यवाणियों और प्रयोगात्मक अवलोकनों के बीच विसंगतियां क्यों मौजूद हैं, जो इस बात पर जोर देते हैं कि इम्पैक्ट डिसिपेशन (प्रभाव अपव्यय) का उपचार हाइब्रिड रॉकिंग सिस्टम में स्थिरता सीमाओं और अट्रैक्टर्स की सुलभता को निर्धारित करने में एक महत्वपूर्ण कारक है। कार्य निष्कर्ष निकालता है कि जबकि माओ मॉडल प्रयोगात्मक इम्पैक्ट डेटा का अधिक निकटतम सन्निकटन (approximation) प्रदान करता है, दोनों मॉडलों में निहित आदर्श कठोर-शरीर (rigid-body) धारणाएं वास्तविक संरचनात्मक प्रणालियों में पाए जाने वाले जटिल संपर्क यांत्रिकी जैसे कि स्थानीय विरूपण (local deformation) और घर्षण फिसलन (frictional slip) को पकड़ने की उनकी क्षमता को सीमित करती हैं।