Hybrid Dynamics of Rocking Blocks Beyond Overturning: Saltation Analysis, Bifurcations, and Stability Characterization

Sintesi Tecnica: Dinamica Ibrida di Blocchi Oscillanti Oltre il Ribaltamento

Problematica
I blocchi oscillanti sono modelli fondamentali per comprendere la risposta sismica di strutture rigide come pareti in muratura, statue e serbatoi elevati. Sebbene il classico modello di Housner rappresenti da tempo la pietra angolare per l'analisi di tali sistemi, studi recenti hanno evidenziato discrepanze tra le sue previsioni e i comportamenti d'impatto osservati sperimentalmente. Nello specifico, il coefficiente di restituzione (COR) classico, derivato dalla conservazione del momento angolare, spesso non riesce a catturare accuratamente la meccanica della dissipazione di energia, particolarmente per blocchi con bassi rapporti di snellezza. Sebbene siano state introdotte formulazioni alternative, come il modello di ridistribuzione dell'energia cinetica proposto da Mao et al., per meglio corrispondere ai dati sperimentali, le implicazioni dell'adozione di queste leggi di restituzione alternative sulla dinamica non lineare globale dei sistemi di oscillazione rimane ampiamente inesplorata. Questo lavoro investiga come la scelta della modellazione della restituzione influenzi la struttura di biforcazione, la stabilità e l'organizzazione dei bacini di attrazione del sistema, andando oltre la tradizionale focalizzazione sulle soglie di ribaltamento per caratterizzare regimi oscillatori complessi.

Metodologia
Lo studio formula il blocco oscillante come un sistema dinamico ibrido non regolare soggetto a eccitazione di base armonica. Il sistema è definito da un corpo rigido rettangolare di massa $M$, larghezza $2b$ e altezza $2h$, che oscilla senza scivolamento. La dinamica è governata da equazioni differenziali a tratti che cambiano in base allo spostamento angolare $\theta$, con impatti che avvengono a $\theta = 0$.

Vengono confrontati due distinti modelli di restituzione sotto identiche condizioni geometriche ed di eccitazione:

1. Modello di Housner ($e_H$): La formulazione classica in cui il COR dipende esclusivamente dalla geometria del blocco (angolo critico $\theta_c$).
2. Modello di Mao et al. ($e_M$): Una formulazione alternativa derivata da un'analisi vettoriale del campo di velocità, che tiene conto del recupero elastico e della dissipazione di energia all'interfaccia di contatto.

L'analisi impiega tre strumenti numerici primari per caratterizzare la dinamica attraverso diversi rapporti di snellezza ($h/b = 1$ e $h/b = 2$):

• Diagrammi di Biforcazione: Costruiti utilizzando sezioni di Poincaré per identificare le transizioni tra regimi periodici, multiperiodici e caotici al variare dell'ampiezza di forzante ($\alpha$).
• Esponenti di Lyapunov: Il massimo esponente di Lyapunov ($\lambda_{max}$) è calcolato utilizzando l'algoritmo di Benettin–Wolf con matrici di saltazione per gestire le discontinuità all'impatto, distinguendo tra moto periodico stabile ($\lambda_{max} < 0$) e dinamiche caotiche ($\lambda_{max} > 0$).
• Bacini di Attrazione: Lo spazio degli stati viene discretizzato per mappare le condizioni iniziali verso i loro esiti asintotici (moto smorzato, oscillazioni simmetriche/asimmetriche, risposte multiperiodiche o ribaltamento). Ciò consente una valutazione quantitativa della robustezza dei moti limitati rispetto alla suscettibilità al ribaltamento.

Risultati Chiave
Il confronto rivela che la scelta del modello di restituzione altera significativamente il panorama dinamico previsto, con effetti altamente dipendenti dal rapporto di snellezza:

• Divergenza nei Blocchi a Bassa Snellezza ($h/b = 1$): La formulazione di Mao et al. prevede un coefficiente di restituzione più elevato (minore dissipazione di energia) rispetto al modello di Housner. Ciò porta a un esordio precoce di comportamenti oscillatori complessi e a un intervallo di parametri più ampio associato a dinamiche caotiche. Crucialmente, l'analisi del bacino di attrazione mostra una differenza marcata: il modello di Mao riduce drasticamente il dominio delle oscillazioni simmetriche stabili (dal 55,55% al 19,64% delle condizioni iniziali) e aumenta significativamente la prevalenza del ribaltamento (dal 44,45% all'80,36%). L'accordo tra i due modelli per questa geometria è solo del 64,09%, il che significa che oltre un terzo delle condizioni iniziali produce esiti qualitativamente differenti basandosi esclusivamente sulla legge d'impatto.
• Convergenza nei Blocchi ad Alta Snellezza ($h/b = 2$): All'aumentare del rapporto di snellezza, la discrepanza tra i due coefficienti di restituzione diminuisce. Di conseguenza, le caratteristiche dinamiche prodotte da entrambi i modelli convergono progressivamente. Sebbene il modello di Mao introduca ancora attrattori multiperiodici all'interno della regione limitata, l'organizzazione complessiva dello spazio delle fasi e la proporzione di eventi di ribaltamento diventano più simili tra le due formulazioni.
• Natura delle Transizioni: Il modello di Mao promuove una perdita più abrupta del moto periodico regolare e sposta le transizioni verso regimi complessi a ampiezze di forzante inferiori. Al contrario, il modello di Housner esibisce una transizione più graduale con finestre alternate di stabilità e caos prima del ribaltamento.

Significato e Rivendicazioni
L'articolo sostiene che il coefficiente di restituzione non debba essere visto meramente come un parametro locale di impatto, ma come un'assunzione di modellazione capace di alterare fondamentalmente la struttura dinamica globale dei sistemi oscillanti. Lo studio dimosta che le formulazioni di restituzione alternative, pur essendo potenzialmente più accurate nel predire le risposte d'impatto locali, possono produrre comportamenti a lungo termine marcatamente differenti rispetto al classico modello di Housner.

In particolare, gli autori affermano che, per i blocchi a bassa snellezza, l'adozione della formulazione di Mao et al. suggerisce una ridotta robustezza delle risposte di oscillazione sicura, dove piccole perturbazioni nelle condizioni iniziali hanno maggiori probabilità di portare al ribaltamento. Viceversa, per i blocchi più alti, la sensibilità alla specifica formulazione della restituzione diminuisce. Questi risultati forniscono una prospettiva dinamica sul perché esistano discrepanze tra le previsioni classiche e le osservazioni sperimentali, enfatizzando che il trattamento della dissipazione d'impatto è un fattore critico nel determinare i confini di stabilità e l'accessibilità degli attrattori nei sistemi di oscillazione ibridi. Il lavoro conclude che, sebbene il modello di Mao offra un'approssimazione più vicina ai dati d'impatto sperimentali, le assunzioni di corpo rigido idealizzate intrinseche in entrambi i modelli limitano la loro capacità di catturare la complessa meccanica di contatto come la deformazione locale e lo scivolamento per attrito presenti nei reali sistemi strutturali.