Hybrid Dynamics of Rocking Blocks Beyond Overturning: Saltation Analysis, Bifurcations, and Stability Characterization

Resumen Técnico: Dinámica Híbrida de Bloques de Balanceo Más Allá del Vuelco

Planteamiento del Problema
Los bloques de balanceo (rocking blocks) son modelos fundamentales para comprender la respuesta sísmica de estructuras rígidas, tales como muros de mampostería, estatuas y tanques elevados. Si bien el modelo clásico de Housner ha servido durante mucho tiempo como piedra angular para el análisis de estos sistemas, estudios recientes han resaltado discrepancias entre sus predicciones y los comportos de impacto observados experimentalmente. Específicamente, el coeficiente de restitución (COR) clásico, derivado de la conservación del momento angular, a menudo no logra capturar con precisión la mecánica de disipación de energía, particularmente para bloques con relaciones de esbeltez bajas. Aunque se han introducido formulaciones alternativas, como el modelo de redistribución de energía cinética propuesto por Mao et al., para ajustarse mejor a los datos experimentales, las implicaciones de adoptar estas leyes de restitución alternativas en la dinámica no lineal global de los sistemas de balanceo permanecen en gran medida inexploradas. Este trabajo investiga cómo la elección del modelado de la restitución afecta la estructura de bifurcación, la estabilidad y la organización del basino de atracción del sistema, yendo más allá del enfoque tradicional centrado en los umbrales de vuelco para caracterizar regímenes oscilatorios complejos.

Metodología
El estudio formula el bloque de balanceo como un sistema dinámico híbrido no suave sometido a una excitación de base armónica. El sistema se define como un cuerpo rígido rectangular de masa $M$, ancho $2b$ y altura $2h$, que balancea sin deslizarse. La dinámica está gobernada por ecuaciones diferenciales por partes que cambian según el desplazamiento angular $\theta$, ocurriendo los impactos en $\theta = 0$.

Se comparan dos modelos de restitución distintos bajo idénticas condiciones geométricas y de excitación:

1. Modelo de Housner ($e_H$): La formulación clásica donde el COR depende únicamente de la geometría del bloque (ángulo crítico $\theta_c$).
2. Modelo de Mao et al. ($e_M$): Una formulación alternativa derivada de un análisis de campo de velocidad basado en vectores, que contabiliza la recuperación elástica y la disipación de energía en la interfaz de contacto.

El análisis emplea tres herramientas numéricas primarias para caracterizar la dinámica a través de diferentes relaciones de esbeltez ($h/b = 1$ y $h/b = 2$):

• Diagramas de Bifurcación: Construidos mediante secciones de Poincaré para identificar transiciones entre regímenes periódicos, multiperiódicos y caóticos a medida que varía la amplitud de la fuerza ($\alpha$).
• Exponentes de Lyapunov: Se computa el exponente de Lyapunov máximo ($\lambda_{max}$) utilizando el algoritmo de Benettin–Wolf con matrices de saltabilidad para manejar las discontinuidades en el impacto, distinguiendo entre el movimiento periódico estable ($\lambda_{max} < 0$) y la dinámica caótica ($\lambda_{max} > 0$).
• Basinos de Atracción: El espacio de estados se discretiza para mapear las condiciones iniciales hacia sus resultados asintóticos (movimiento amortiguado, oscilaciones simétricas/asimétricas, respuestas multiperiódicas o vuelco). Esto permite una evaluación cuantitativa de la robustez de los movimientos acotados frente a la susceptibilidad al vuelco.

Resultos Clave
La comparación revela que la elección del modelo de restitución altera significativamente el panorama dinámico predicho, con efectos que son altamente dependientes de la relación de esbeltez:

• Divergencia en Bloques de Baja Esbeltez ($h/b = 1$): La formulación de Mao et al. predice un coeficiente de restitución más alto (menor disipación de energía) en comparación con el modelo de Housner. Esto conduce a un inicio más temprano del comportamiento oscilatorio complejo y a un rango de parámetros más amplio asociado con la dinámica caótica. Crucialmente, el análisis del basino de atracción muestra una diferencia notable: el modelo de Mao reduce drásticamente el dominio de las oscilaciones simétricas estables (del 55.55% al 19.64% de las condiciones iniciales) e incrementa significativamente la prevalencia del vuelco (del 44.45% al 80.36%). El acuerdo entre los dos modelos para esta geometría es solo del 64.09%, lo que significa que más de un tercio de las condiciones iniciales producen resultados cualitativamente diferentes basándose únicamente en la ley de impacto.
• Convergencia en Bloques de Alta Esbeltez ($h/b = 2$): A medida que aumenta la relación de esbeltez, la discrepancia entre los dos coeficientes de restitución disminuye. En consecuencia, las características dinámicas producidas por ambos modelos convergen progresivamente. Aunque el modelo de Mao aún introduce atractores multiperiódicos dentro de la región acotada, la organización general del espacio de fase y la proporción de eventos de vuelco se vuelven más similares entre ambas formulaciones.
• Naturaleza de las Transiciones: El modelo de Mao promueve una pérdida más abrupta del movimiento periódico regular y desplaza las transiciones hacia regímenes complejos a amplitudes de fuerza más bajas. En contraste, el modelo de Housner exhibe una transición más gradual con ventanas alternas de estabilidad y caos antes del vuelco.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo postula que el coeficiente de restitución no debe verse meramente como un parámetro de impacto local, sino como un supuesto de modelado capaz de alterar fundamentalmente la estructura dinámica global de los sistemas de balanceo. El estudio demuestra que las formulaciones de restitución alternativas, aunque potencialmente más precisas en la predicción de las respuestas de impacto locales, pueden producir comportamientos a largo plazo marcadamente diferentes en comparación con el modelo clásico de Housner.

Específicamente, los autores afirman que, para bloques de baja esbeltez, la adopción de la formulación de Mao et al. sugiere una reducción en la robustez de las respuestas de balanceo seguras, donde pequeñas perturbaciones en las condiciones iniciales tienen más probabilidades de conducir al vuelco. Por el contrario, para bloques más altos, la sensibilidad al modelo de restitución específico disminuye. Estos hallazgos proporcionan una perspectiva dinámica sobre por qué existen discrepancias entre las predicciones clásicas y las observaciones experimentales, enfatizando que el tratamiento de la disipación por impacto es un factor crítico para determinar los límites de estabilidad y la accesibilidad de los atractores en los sistemas de balanceo híbridos. El trabajo concluye que, si bien el modelo de Mao ofrece una aproximación más cercana a los datos de impacto experimentales, los supuestos de cuerpo rígido idealizados inherentes a ambos modelos limitan su capacidad para capturar la mecánica de contacto compleja, como la deformación local y el deslizamiento por fricción, presentes en sistemas estructurales reales.