Hybrid Dynamics of Rocking Blocks Beyond Overturning: Saltation Analysis, Bifurcations, and Stability Characterization

Resumo Técnico: Dinâmica Híbrida de Blocos Oscilantes Além do Tombamento

Definição do Problema
Blocos oscilantes são modelos fundamentais para compreender a resposta sísmica de estruturas rígidas, como paredes de alvenaria, estátuas e tanques elevados. Embora o modelo clássico de Housner sirva há muito tempo como a pedra angular para a análise desses sistemas, estudos recentes destacaram discrepâncias entre suas previsões e os comportamentos de impacto observados experimentalmente. Especificamente, o coeficiente de restituição (COR) clássico, derivado da conservação do momento angular, frequentemente falha em capturar com precisão a mecânica de dissipação de energia, particularmente para blocos com baixas razões de esbeltez. Embora formulações alternativas, como o modelo de redistribuição de energia cinética proposto por Mao et al., tenham sido introduzidas para melhor se ajustar aos dados experimentais, as implicações da adoção dessas leis de restituição alternativas na dinâmica não linear global de sistemas de oscilação permanecem amplamente inexploradas. Este trabalho investiga como a escolha da modelagem de restituição afeta a estrutura de bifurcação, a estabilidade e a organização do banho de atração do sistema, indo além do foco tradicional nos limiares de tombamento para caracterizar regimes oscilatórios complexos.

Metodologia
O estudo formula o bloco oscilante como um sistema dinâmico híbrido não suave sujeito a excitação de base harmônica. O sistema é definido por um corpo rígido retangular de massa $M$, largura $2b$ e altura $2h$, oscilando sem deslizamento. A dinâmica é governada por equações diferenciais por partes que alternam com base no deslocamento angular $\theta$, com impactos ocorrendo em $\theta = 0$.

Dois modelos de restituição distintos são comparados sob idênticas condições geométricas e de excitação:

1. Modelo de Housner ($e_H$): A formulação clássica onde o COR depende exclusivamente da geometria do bloco (ângulo crítico $\theta_c$).
2. Modelo de Mao et al. ($e_M$): Uma formulação alternativa derivada de uma análise vetorial do campo de velocidade, que considera a recuperação elástica e a dissipação de energia na interface de contato.

A análise emprega três ferramentas numéricas primárias para caracterizar a dinâmica através de diferentes razões de esbeltez ($h/b = 1$ e $h/b = 2$):

• Diagramas de Bifurcação: Construídos usando seções de Poincaré para identificar transições entre regimes periódicos, multiperiódicos e caóticos conforme a amplitude de excitação ($\alpha$) varia.
• Expoentes de Lyapunov: O expoente de Lyapunov máximo ($\lambda_{max}$) é computado usando o algoritmo de Benettin–Wolf com matrizes de saltação para lidar com as descontinuidades no impacto, distinguindo entre movimento periódico estável ($\lambda_{max} < 0$) e dinâmica caótica ($\lambda_{max} > 0$).
• Banhos de Atração: O espaço de estados é discretizado para mapear condições iniciais para seus resultados assintóticos (movimento amortecido, oscilações simétricas/assimétricas, respostas multiperiódicas ou tombamento). Isso permite uma avaliação quantitativa da robustez dos movimentos limitados versus a suscetibilidade ao tombamento.

Resultos Principais
A comparação revela que a escolha do modelo de restituição altera significativamente o panorama dinâmico previsto, com efeitos que são altamente dependentes da razão de esbeltez:

• Divergência em Blocos de Baixa Esbeltez ($h/b = 1$): A formulação de Mao et al. prevê um coeficiente de restituição mais alto (menor dissipação de energia) em comparação ao modelo de Housner. Isso leva a um início mais precoce do comportamento oscilatório complexo e a uma faixa de parâmetros mais ampla associada à dinâmica caótica. Crucialmente, a análise do banho de atração mostra uma diferença drástica: o modelo de Mao reduz drasticamente o domínio das oscilações simétricas estáveis (de 55,55% para 19,64% das condições iniciais) e aumenta significativamente a prevalência de tombamento (de 44,45% para 80,36%). A concordância entre os dois modelos para esta geometria é de apenas 64,09%, o que significa que mais de um terço das condições iniciais geram resultados qualitativamente diferentes baseados apenas na lei de impacto.
• Convergência em Blocos de Alta Esbeltez ($h/b = 2$): À medida que a razão de esbeltez aumenta, a discrepância entre os dois coeficientes de restituição diminui. Consequentemente, as características dinâmicas produzidas por ambos os modelos convergem progressivamente. Embora o modelo de Mao ainda introduza atratores multiperiódicos dentro da região limitada, a organização geral do espaço de fase e a proporção de eventos de tombamento tornam-se mais semelhantes entre as duas formulações.
• Natureza das Transições: O modelo de Mao promove uma perda mais abrupta de movimento periódico regular e desloca as transições para regimes complexos para amplitudes de excitação menores. Em contraste, o modelo de Housner exibe uma transição mais gradual com janelas alternadas de estabilidade e caos antes do tombamento.

Significância e Alegações
O artigo postula que o coeficiente de restituição não deve ser visto meramente como um parâmetro de impacto local, mas como uma suposição de modelagem capaz de alterar fundamentalmente a estrutura dinâmica global dos sistemas de oscilação. O estudo demonstra que formulações de restituição alternativas, embora potencialmente mais precisas na previsão de respostas de impacto locais, podem produzir comportamentos de longo prazo marcadamente diferentes em comparação ao modelo clássico de Housner.

Especificamente, os autores alegam que, para blocos de baixa esbeltez, a adoção da formulação de Mao et al. sugere uma redução na robustez das respostas de oscilação segura, onde pequenas perturbações nas condições iniciais têm maior probabilidade de levar ao tombamento. Por outro lado, para blocos mais altos, a sensibilidade à formulação específica de restituição diminui. Essas descobertas fornecem uma perspectiva dinâmica sobre por que existem discrepâncias entre as previsões clássicas e as observações experimentais, enfatizando que o tratamento da dissipação de impacto é um fator crítico para determinar os limites de estabilidade e a acessibilidade de atratores em sistemas de oscilação híbridos. O trabalho conclui que, embora o modelo de Mao ofereça uma aproximação mais próxima dos dados de impacto experimental, as suposições de corpo rígido idealizadas inerentes a ambos os modelos limitam sua capacidade de capturar mecânicas de contato complexas, como deformação local e deslizamento friccional, encontradas em sistemas estruturais reais.