Hybrid Dynamics of Rocking Blocks Beyond Overturning: Saltation Analysis, Bifurcations, and Stability Characterization

Résumé technique : Dynamique hybride des blocs basculants au-delà du renversement

Énoncé du problème
Les blocs basculants sont des modèles fondamentaux pour comprendre la réponse sismique de structures rigides telles que les murs de maçonnerie, les statues et les réservoirs surélevés. Bien que le modèle classique de Housner serve depuis longtemps de pierre angulaire pour l'analyse de ces systèmes, des études récentes ont mis en évidence des divergences entre ses prédictions et les comportements d'impact observés expérimentalement. Plus précisément, le coefficient de restitution (COR) classique, dérivé de la conservation du moment cinétique, échoue souvent à capturer avec précision la mécanique de dissipation d'énergie, particulièrement pour les blocs ayant de faibles rapports d'élancement. Bien que des formulations alternatives, telles que le modèle de redistribution de l'énergie cinétique proposé par Mao et al., aient été introduites pour mieux correspondre aux données expérimentales, les implications de l'adoption de ces lois de restitution alternatives sur la dynamique non linéaire globale des systèmes de basculement restent largement inexplorées. Ce travail étudie comment le choix de la modélisation de la restitution affecte la structure de bifurcation, la stabilité et l'organisation des bassins d'attraction du système, allant au-delà de la focalisation traditionnelle sur les seuils de renversement pour caractériser des régimes oscillatoires complexes.

Méthodologie
L'étude formule le bloc basculant comme un système dynamique hybride non lisse soumis à une excitation de base harmonique. Le système est défini par un corps rigide rectangulaire de masse $M$, de largeur $2b$ et de hauteur $2h$, basculant sans glissement. La dynamique est régie par des équations différentielles par morceaux qui commutent en fonction du déplacement angulaire $\theta$, les impacts se produisant à $\theta = 0$.

Deux modèles de restitution distincts sont comparés sous des conditions géométriques et d'excitation identiques :

1. Modèle de Housner ($e_H$) : La formulation classique où le COR dépend uniquement de la géométrie du bloc (angle critique $\theta_c$).
2. Modèle de Mao et al. ($e_M$) : Une formulation alternative dérivée d'une analyse vectorielle du champ de vitesse, qui prend en compte la récupération élastique et la dissipation d'énergie à l'interface de contact.

L'analyse emploie trois outils numériques primaires pour caractériser la dynamique à travers différents rapports d'élancement ($h/b = 1$ et $h/b = 2$) :

• Diagrammes de bifurcation : Construits à l'aide de sections de Poincaré pour identifier les transitions entre les régimes périodiques, multi-périodiques et chaotiques à mesure que l'amplitude de forçage ($\alpha$) varie.
• Exposants de Lyapunov : L'exposant de Lyapunov maximal ($\lambda_{max}$) est calculé à l'aide de l'algorithme de Benettin–Wolf avec des matrices de saltation pour gérer les discontinuités lors de l'impact, distinguant ainsi le mouvement périodique stable ($\lambda_{max} < 0$) des dynamiques chaotiques ($\lambda_{max} > 0$).
• Bassins d'attraction : L'espace d'état est discrétisé pour cartographier les conditions initiales vers leurs résultats asymptotiques (mouvement amorti, oscillations symétriques/asymétriques, réponses multi-périodiques ou renversement). Cela permet une évaluation quantitative de la robustesse des mouvements bornés par rapport à la susceptibilité au renversement.

Résultats clés
La comparaison révèle que le choix du modèle de restitution modifie significativement le paysage dynamique prédit, avec des effets hautement dépendants du rapport d'élancement :

• Divergence pour les blocs à faible élancement ($h/b = 1$) : La formulation de Mao et al. prédit un coefficient de restitution plus élevé (dissipation d'énergie plus faible) par rapport au modèle de Housner. Cela conduit à un onset plus précoce du comportement oscillatoire complexe et à une plage de paramètres plus large associée aux dynamiques chaotiques. Crucialement, l'analyse des bassins d'attraction montre une différence frappante : le modèle de Mao réduit drastiquement le domaine des oscillations symétriques stables (passant de 55,55 % à 19,64 % des conditions initiales) et augmente considérablement la prévalence du renversement (passant de 44,45 % à 80,36 %). L'accord entre les deux modèles pour cette géométrie n'est que de 64,09 %, ce qui signifie que plus d'un tiers des conditions initiales produisent des résultats qualitativement différents en fonction de la seule loi d'impact.
• Convergence pour les blocs à élancement élevé ($h/b = 2$) : À mesure que le rapport d'élancement augmente, la divergence entre les deux coefficients de restitution diminue. Par conséquent, les caractéristiques dynamiques produites par les deux modèles convergent progressivement. Bien que le modèle de Mao introduise encore des attracteurs multi-périodiques dans la région bornée, l'organisation globale de l'espace des phases et la proportion d'événements de renversement deviennent plus similaires entre les deux formulations.
• Nature des transitions : Le modèle de Mao favorise une perte plus abrupte du mouvement périodique régulier et déplace les transitions vers des régimes complexes vers des amplitudes de forçage plus faibles. En revanche, le modèle de Housner présente une transition plus graduelle avec des fenêtres alternées de stabilité et de chaos avant le renversement.

Signification et affirmations
L'article postule que le coefficient de restitution ne doit pas être considéré simplement comme un paramètre d'impact local, mais comme une hypothèse de modélisation capable d'altérer fondamentalement la structure dynamique globale des systèmes de basculement. L'étude démontre que des formulations de restitution alternatives, bien que potentiellement plus précises pour prédire les réponses d'impact locales, peuvent produire des comportements à long terme très différents par rapport au modèle classique de Housner.

Plus précisément, les auteurs affirment que pour les blocs à faible élancement, l'adoption de la formulation de Mao et al. suggère une robustesse réduite des réponses de basculement sécurisées, où de petites perturbations dans les conditions initiales sont plus susceptibles de conduire au renversement. Inversement, pour les blocs plus hauts, la sensibilité au modèle de restitution spécifique diminue. Ces résultats fournissent une perspective dynamique sur les raisons pour lesquelles les divergences existent entre les prédictions classiques et les observations expérimentales, soulignant que le traitement de la dissipation d'impact est un facteur critique pour déterminer les limites de stabilité et l'accessibilité des attracteurs dans les systèmes de basculement hybrides. Le travail conclut que si le modèle de Mao offre une approximation plus proche des données d'impact expérimentales, les hypothèses de corps rigide idéalisées inhérentes aux deux modèles limitent leur capacité à capturer la mécanique de contact complexe, telle que la déformation locale et le glissement frictionnel, présents dans les systèmes structurels réels.