Hybrid Dynamics of Rocking Blocks Beyond Overturning: Saltation Analysis, Bifurcations, and Stability Characterization

技术摘要：超越翻转的摆动块混合动力学研究

问题陈述
摆动块（Rocking blocks）是理解刚性结构（如砌体墙、雕像和高架水箱）地震响应的基础模型。虽然经典的 Housner 模型长期以来一直是分析此类系统的基石，但近期的研究强调了其预测结果与实验观察到的冲击行为之间的差异。具体而言，源于角动量守恒的经典恢复系数（COR）往往无法准确捕捉能量耗散机制，特别是对于低细长比的块体。尽管研究者已引入了如 Mao 等人提出的动能再分配模型等替代方案，以更好地匹配实验数据，但采用这些替代恢复律对摆动系统全局非线性动力学的影响仍未得到充分探索。本研究旨在探讨恢复模型选择如何影响系统的分岔结构、稳定性以及吸引盆（basin of attraction）的组织形式，从而超越传统的翻转阈值研究，进而表征复杂的振荡机制。

研究方法
本研究将摆动块建模为受简谐基底激励的混合非光滑动力系统。系统由质量为 $M$、宽度为 $2b$、高度为 $2h$ 的矩形刚体定义，在不发生滑动的情况下进行摆动。动力学由基于角位移 $\theta$ 进行切换的分段微分方程控制，其中冲击发生在 $\theta = 0$ 时。

研究对比了两种不同的恢复模型，在相同的几何形状和激励条件下：

1. Housner 模型 ($e_H$)： 经典公式，其恢复系数仅取决于块体的几何形状（临界角 $\theta_c$）。
2. Mao 等人模型 ($e_M$)： 一种基于速度场向量分析的替代公式，该公式考虑了接触界面的弹性恢复与能量耗散。

研究采用三种主要的数值工具来表征不同细长比（$h/b = 1$ 和 $h/b = 2$）下的动力学特性：

• 分岔图： 通过 Poincaré 截面构建，用以识别随着激励振幅（$\alpha$）变化而发生的周期、多周期及混沌机制之间的转变。
• 李雅普诺夫指数： 使用带有盐化矩阵（saltation matrices）的 Benettin–Wolf 算法计算最大李雅普诺夫指数 ($\lambda_{max}$)，以处理冲击处的间断，从而区分稳定的周期运动 ($\lambda_{max} < 0$) 与混沌动力学 ($\lambda_{max} > 0$)。
• 吸引盆： 对状态空间进行离散化，将初始条件映射到其渐近结果（阻尼运动、对称/非对称振荡、多周期响应或翻转）。这使得定量评估有界运动的鲁棒性与翻转敏感性成为可能。

主要结果
对比结果表明，恢复模型的选择显著改变了所预测的动力学景观，且这种影响高度依赖于细长比：

• 低细长比块体的分歧 ($h/b = 1$)： Mao 等人的公式预测了较高的恢复系数（较低的能量耗散）与 Housner 模型相比。这导致复杂振荡行为更早出现，并扩大了与混沌动力学相关的参数范围。至关重要的是，吸引盆分析显示出显著差异：Mao 模型大幅减少了稳定对称振荡的定义域（从初始条件的 55.55% 降至 19.64%），并显著增加了翻转发生的普遍性（从 44.45% 升至 80.36%）。两种模型在此几何形状下的吻合度仅为 64.09%，这意味着超过三分之一的初始条件会因冲击律的不同而产生定性的不同结果。
• 高细长比块体的趋同 ($h/b = 2$)： 随着细长比的增加，两种恢复系数之间的差异逐渐减小。因此，两种模型产生的动力学特征趋于一致。虽然 Mao 模型仍在有界区域内引入了多周期吸引子，但相位空间的整体组织形式以及翻转事件的比例在两种公式之间变得更加相似。
• 转变性质： Mao 模型促进了规则周期运动的突然丧失，并将向复杂机制的转变推向更低的激励振幅。相比之下，Housner 模型表现出更渐进的转变过程，在翻转发生前存在交替出现的稳定窗口与混沌窗口。

意义与主张
本文认为，恢复系数不应仅仅被视为一个局部冲击参数，而应被视为一种能够从根本上改变摆动系统全局动力学结构的建模假设。研究表明，替代恢复公式（尽管在预测局部冲击响应方面可能更准确）可能会产生与经典 Housner 模型截然不同的长期行为。

具体而言，作者主张，对于低细长比块体，采用 Mao 等人的公式意味着安全摆动响应的鲁棒性降低，即初始条件的微小扰动更有可能导致翻转。相反，对于较高的块体，对特定恢复模型的敏感度会降低。这些发现为为何实验观测与经典预测之间存在差异提供了动力学视角的解释，强调了冲击耗散的处理是决定混合摆动系统中稳定性边界和吸引子可达性的关键因素。研究结论指出，虽然 Mao 模型能更接近实验冲击数据，但两种模型中固有的理想化刚体假设，限制了它们捕捉真实结构系统中复杂的接触力学（如局部变形和摩擦滑动）的能力。