Hybrid Dynamics of Rocking Blocks Beyond Overturning: Saltation Analysis, Bifurcations, and Stability Characterization

Technische Samenvatting: Hybride Dynamica van Wiegeltende Blokken voorbij Kantelen

Probleemstelling
Wiegeltende blokken zijn fundamentele modellen voor het begrijpen van de seismische respons van rigide structuren zoals metselwerk muren, standbeelden en verhoogde tanks. Hoewel het klassieke Housner-model lang de hoeksteen is geweest voor de analyse van dergelijke systemen, hebben recente studies discrepanties aangetoond tussen de voorspellingen van dit model en experimenteel waargenomen impactgedrag. Specifiek faalt de klassieke restitutiecoëfficiënt (COR), afgeleid van behoud van impulsmoment, vaak in het nauwkeurig vastleggen van de energie-dissipatiemechanica, met name voor blokken met lage slankheidsratio's. Hoewel alternatieve formuleringen, zoals het door Mao et al. voorgestelde kinetische-energie-herverdelingsmodel, zijn geïntroduceerd om beter aan experimentele gegevens te voldoen, blijven de implicaties van het adopteren van deze alternatieve restitutiewetten op de globale niet-lineaire dynamica van wiegeltende systemen grotendeels onverkend. Dit werk onderzoekt hoe de keuze van de restitutiemodellering de bifurcatiestructuur, stabiliteit en de organisatie van de basin of attraction (aantrekkingsbekken) beïnvloedt, waarbij de focus wordt verlegd van de traditionele focus op kantelingsdrempels naar het karakteriseren van complexe oscillerende regimes.

Methodologie
De studie formuleert het wiegeltende blok als een hybride niet-smooth dynamisch systeem dat onderhevig is aan harmonische basisecitatie. Het systeem wordt gedefinieerd door een rechthoekig rigide lichaam met massa $M$, breedte $2b$ en hoogte $2h$, dat wielt zonder te glijden. De dynamica wordt beheerst door stuksgewijze differentiële vergelijkingen die schakelen op basis van de hoekverplaatsing $\theta$, waarbij impacts plaatsvinden bij $\theta = 0$.

Twee verschillende restitutiemodellen worden vergeleken onder identieke geometrische en excitatiecondities:

1. Housner-model ($e_H$): De klassieke formulering waarbij de COR uitsluitend afhangt van de geometrie van het blok (kritieke hoek $\theta_c$).
2. Mao et al.-model ($e_M$): Een alternatieve formulering afgeleid van een vectorgebaseerde analyse van het snelheidveld, die rekening houdt met elastische herstel en energie-dissipatie bij het contactinterface.

De analyse maakt gebruik van drie primaire numerieke instrumenten om de dynamica te karakteriseren over verschillende slankheidsratio's ($h/b = 1$ en $h/b = 2$):

• Bifurcatiediagrammen: Geconstrueerd met behulp van Poincaré-doorsneden om overgangen tussen periodieke, multiperiodieke en chaotische regimes te identificeren naarmate de forceringamplitude ($\alpha$) varieert.
• Lyapunov-exponenten: De maximale Lyapunov-exponent ($\lambda_{max}$) wordt berekend met het Benettin–Wolf-algoritme met saltatiematrices om de discontinuïteiten bij impact te behandelen, waarbij onderscheid wordt gemaakt tussen stabiele periodieke beweging ($\lambda_{max} < 0$) en chaotische dynamica ($\lambda_{max} > 0$).
• Basins of Attraction (Aantrekkingsbekken): De toestandsruimte wordt gediscretiseerd om initiële condities in kaart te brengen naar hun asymptotische uitkomsten (gedempte beweging, symmetrische/asymmetrische oscillaties, multiperiodieke responsen of kantelen). Dit maakt een kwantitatieve beoordeling mogelijk van de robuustheid van begrensde bewegingen versus de gevoeligheid voor kantelen.

Belangrijkste Resultaten
De vergelijking laat zien dat de keuze van het restitutiemodel de voorspelde dynamische landschappen significant verandert, met effecten die sterk afhankelijk zijn van de slankheidsratio:

• Divergentie in blokken met lage slankheid ($h/b = 1$): De formulering van Mao et al. voorspelt een hogere restitutiecoëfficiënt (lagere energie-dissipatie) vergeleken met het Housner-model. Dit leidt tot een eerdere aanvang van complex oscillerend gedrag en een breder parametrange geassocieerd met chaotische dynamica. Cruciaal is dat de analyse van de basins of attraction een scherp verschil laat zien: het Mao-model vermindert het domein van stabiele symmetrische oscillaties drastisch (van 55,55% naar 19,64% van de initiële condities) en verhoogt de prevalentie van kantelen aanzienlijk (van 44,45% naar 80,36%). De overeenkomst tussen de twee modellen voor deze geometrie is slechts 64,09%, wat betekent dat meer dan een derde van de initiële condities kwalitatief verschillende uitkomsten oplevert op basis van enkel de impactwet.
• Convergentie in blokken met hoge slankheid ($h/b = 2$): Naarmate de slankheidsratio toeneemt, neemt de discrepantie tussen de twee restitutiecoëfficiënten af. Bijgevolg convergeren de door beide modellen geproduceerde dynamische kenmerken progressief. Hoewel het Mao-model nog steeds multiperiodieke attractoren introduceert binnen de begrensde regio, worden de algehele organisatie van de faseruimte en het aandeel van de kantelingsgebeurtenissen meer vergelijkbaar tussen beide formuleringen.
• Aard van de Transities: Het Mao-model bevordert een meer abrupte verliezen van regelmatige periodieke beweging en verschuift transities naar complexe regimes naar lagere forceringamplitudes. In contrast hiermee vertoont het Housner-model een meer geleidelijke transitie met afwisselende vensters van stabiliteit en chaos vóór het kantelen.

Betekenis en Claims
Het artikel stelt dat de restitutiecoëfficiënt niet louter moet worden beschouwd als een lokale impactparameter, maar als een modelleringsveronderstelling die in staat is de globale dynamische structuur van wiegeltende systemen fundamenteel te veranderen. De studie demonstreert dat alternatieve restitutiefomuleringen, hoewel potentieel nauwkeuriger in het voorspellen van lokale impactresponsen, fundamenteel andere langetermijnbewegingen kunnen produceren vergeleken met het klassieke Housner-model.

Specifiek claimen de auteurs dat voor blokken met een lage slankheid, de adoptie van de Mao et al.-formulering wijst op een verminderde robuustheid van veilige wiegelingsresponsen, waarbij kleinere perturbaties in initiële condities eerder leiden tot kantelen. Daarentegen neemt de gevoeligheid voor het specifieke restitutiemodel af voor hogere blokken. Deze bevindingen bieden een dynamisch perspectief op waarom discrepanties bestaan tussen klassieke voorspellingen en experimentele observaties, waarbij wordt benadrukt dat de behandeling van impact-dissipatie een kritieke factor is bij het bepalen van de stabiliteitsgrenzen en de toegankelijkheid van attractoren in hybride wiegeltende systemen. Het werk concludeert dat hoewel het Mao-model een nauwere benadering biedt van experimentele impactgegevens, de inherente idealistische rigide-lichaam-aannames beide modellen beperken in hun vermogen om complexe contactmechanica zoals lokale vervorming en wrijvingsglijden te vatten, zoals gevonden in echte structurele systemen.