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Does the Choice of Lookback Window Create Model Risk in Historical Value-at-Risk?

यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि हिस्टोरिकल वैल्यू-एट-रिस्क (Historical Value-at-Risk) में लुकबैक विंडो का चयन महत्वपूर्ण मॉडल जोखिम उत्पन्न करता है, क्योंकि यह नियामक बैकटेस्टिंग पास करने के बावजूद VaR अनुमानों में महत्वपूर्ण, गैर-एकदिष्ट (non-monotonic) भिन्नताएं पैदा करता है, जिससे विंडो की लंबाई और इंटरपोलेशन परंपराओं को महत्वपूर्ण मॉडल विकल्पों के रूप में प्रकट करना आवश्यक हो जाता है।

मूल लेखक: Mehul Mehta, Prabesh Bista, Moon Shimray, Hrishita Harsh Kumar

प्रकाशित 2026-10-16

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Mehul Mehta, Prabesh Bista, Moon Shimray, Hrishita Harsh Kumar

मूल पेपर CC BY 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

बैंकिंग की उच्च-दांव वाली दुनिया में, जोखिम प्रबंधकों (risk managers) को एक अकेले, भयानक सवाल का जवाब देने के लिए एक तरीके की आवश्यकता होती है: कल हम कितना पैसा खो सकते हैं? इस उत्तर तक पहुँचने के लिए, वे 'वैल्यू-एट-रिस्क' (Value-at-Risk या VaR) नामक एक उपकरण का उपयोग करते हैं। इसे एक वित्तीय पोर्टफोलियो के लिए मौसम के पूर्वानुमान के रूप में समझें। जिस प्रकार एक मौसम विज्ञानी कह सकता है कि सौ में से एक बार तूफान आने की संभावना है, वैसे ही एक बैंक यह गणना करता है कि 100 ट्रेडिंग दिनों में से 99 दिनों में उसे अधिकतम कितना नुकसान होने की आशंका है। यह संख्या केवल एक अनुमान नहीं है; यह निर्धारित करती है कि संकट से बचने के लिए एक बैंक को कितना पूंजी भंडार (capital reserve) रखना चाहिए, और यह वही आंकड़ा है जिसकी बोर्ड ऑफ डायरेक्टर्स और सरकारी नियामक सबसे बारीकी से जांच करते हैं।

इस पूर्वानुमान को बनाने के लिए सबसे लोकप्रिय विधि को 'हिस्टोरिकल सिमुलेशन' (historical simulation) कहा जाता है। यह एक सीधा दृष्टिकोण है: बैंक देखता है कि अतीत में उसके पोर्टफोलियो ने कैसा प्रदर्शन किया था और यह मान लेता है कि भविष्य भी वैसा ही होगा। ऐसा करने के लिए, उसे यह तय करना होगा कि वह कितने समय पीछे तक देखे। यह एक महत्वपूर्ण चुनाव है। एक बैंक पिछले छह महीनों के डेटा को देख सकता है, या पिछले पांच वर्षों को। वैश्विक नियामक द्वारा निर्धारित नियम कहते हैं कि बैंक को कम से कम एक वर्ष पीछे देखना अनिवार्य है, लेकिन इसके न्यूनतम स्तर से परे, बैंक अपना स्वयं का 'विंडो' (समय सीमा) चुनने के लिए स्वतंत्र है। जोखिम विशेषज्ञों के मन में लंबे समय से यह सवाल घूम रहा है कि क्या यह स्वतंत्रता एक छिपे हुए खतरे को जन्म देती है। यदि दो बैंक एक ही पोर्टफोलियो को देखते हैं लेकिन अलग-अलग समय सीमाओं का चयन करते हैं, तो क्या उन्हें एक ही उत्तर मिलेगा? या क्या उनके चुनाव एक ऐसा अंधा बिंदु (blind spot) बना देंगे जो जोखिम को वास्तविक स्थिति से छोटा या बड़ा दिखा देगा?

शोधकर्ताओं की एक टीम ने इस अनिश्चितता का परीक्षण करने के लिए एक यथार्थवादी, दस लाख डॉलर के पोर्टफोलियो का उपयोग किया, जो चार अलग-अलग संपत्तियों से बना था: बड़ी अमेरिकी कंपनियां, सरकारी बॉन्ड, सोना और प्रौद्योगिकी स्टॉक्स। उन्होंने दस वर्षों के दैनिक मूल्य डेटा को एकत्र किया, एक ऐसी अवधि जिसमें शांत बाजार और तीव्र तनाव के क्षण दोनों शामिल थे। फिर उन्होंने अपने जोखिम मॉडल को चार अलग-अलग बार चलाया, प्रत्येक बार एक अलग 'लुकबैक विंडो' (lookback window) का उपयोग करते हुए: 125 दिन, 250 दिन, 500 दिन और 1,000 दिन। चारों विंडो ने कम से कम एक वर्ष पीछे देखने की नियामक आवश्यकता को पूरा किया, और उन सभी को ठीक उसी पोर्टफोलियो पर ठीक उन्हीं दिनों के लिए लागू किया गया था।

परिणामों ने एक महत्वपूर्ण समस्या को उजागर किया। अध्ययन के बिल्कुल अंतिम दिन, चार अलग-अलग विंडो ने चार अलग-अलग जोखिम संख्याएं प्रस्तुत कीं। 250-दिवसीय विंडो ने $20,504 के संभावित नुकसान का अनुमान लगाया। 500-दिवसीय विंडो ने$ 21,378 का अनुमान लगाया। 1,000-दिवसीय विंडो ने $18,220 का अनुमान लगाया। उच्चतम और निम्नतम अनुमानों के बीच का अंतर$ 3,158 था। यह अंतर कोई मामूली त्रुटि नहीं है; यह एक बड़ी राशि है जो बैंक की पूंजी आवश्यकताओं या उनकी आंतरिक ट्रेडिंग सीमाओं को बदल सकती है। अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि शोधकर्ताओं ने पाया कि जोखिम का अनुमान केवल इसलिए नहीं बढ़ता या घटता क्योंकि विंडो लंबी होती जा रही थी। इसके बजाय, संख्याएं एक ऐसे पैटर्न के बिना ऊपर-नीचे होती रहीं जो किसी सरल क्रम का पालन करती हो, जिससे यह सिद्ध हुआ कि विंडो का चयन केवल एक तटस्थ तकनीकी विवरण नहीं है, बल्कि एक ऐसा निर्णय है जो परिणाम को मौलिक रूप से बदल देता है।

शोधकर्ताओं ने इन विभिन्न विंडो को विश्वसनीयता देखने के लिए कठोर परीक्षणों के माध्यम से भी परखा। इन परीक्षणों ने यह जांचा कि मॉडल की भविष्यवाणियां कितनी बार गलत साबित हुईं। 99% विश्वास स्तर (confidence level) पर, 125-दिवसीय विंडो परीक्षणों में विफल रही, जिसने बहुत अधिक आश्चर्यजनक घटनाएं उत्पन्न कीं और दिखाया कि इसकी त्रुटियां समय के साथ बिखरी हुई होने के बजाय समूहों (clusters) में थीं। हालांकि, अन्य तीन विंडो ने परीक्षणों को पास कर लिया। इसने एक विरोधाभास पैदा किया: तीन अलग-अलग मॉडल, जो सभी नियामक जांचों में सफल रहे, सभी इस बात पर सहमत थे कि जोखिम वास्तविक है, फिर भी वे सटीक डॉलर राशि पर हजारों के अंतर के साथ असहमत थे। परीक्षण शोधकर्ताओं को यह बता सकते थे कि एक मॉडल काम कर रहा है, लेकिन वे उन्हें यह नहीं बता सके कि कौन सा काम करने वाला मॉडल सबसे सटीक है।

शोधकर्ताओं ने यह भी जांचा कि मॉडल नुकसान की गंभीरता को कैसे संभालता है। उन्होंने पाया कि लंबी विंडो का रुझान यह अनुमान लगाने की ओर रहता है कि जब नुकसान होगा, तो वह अधिक गंभीर होगा। यह सुझाव देता है कि पीछे की ओर अधिक देखने से चरम घटनाएं (extreme events) पकड़ में आती हैं, लेकिन इसका मतलब यह भी है कि मॉडल बाजार के अचानक परिवर्तनों के प्रति धीमी प्रतिक्रिया दे सकता है। छोटी विंडो नई जानकारी के प्रति तेजी से प्रतिक्रिया करती है लेकिन अस्थिर हो सकती है क्योंकि वे दुर्लभ घटनाओं का अनुमान लगाने के लिए बहुत कम डेटा बिंदुओं पर निर्भर करती हैं। अध्ययन ने इस बात पर भी प्रकाश डाला कि कंप्यूटर डेटा से अंतिम संख्या कैसे निकालता है, यह भी मायने रखता है। पिछले रिटर्न की सूची से सटीक मूल्य चुनने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक विशिष्ट नियम यह निर्धारित कर सकता है कि कोई मॉडल परीक्षण में पास होगा या फेल, फिर भी यह नियम बैंकों द्वारा शायद ही कभी प्रकट किया जाता है।

अंततः, शोध पत्र यह निष्कर्ष निकालता है कि 'लुकबैक विंडो' का चयन एक वास्तविक 'मॉडल रिस्क' (model risk) पैदा करता है। यह एक ऐसा जोखिम है जो तब भी मौजूद रहता है जब बैंक सभी नियमों का पालन कर रहा हो। चूंकि कोई एक एकल "सही" विंडो नहीं है जो हर बाजार स्थिति में सबसे अच्छा काम करे, इसलिए यह चुनाव गणितीय समस्या के समाधान के बजाय निर्णय का मामला बन जाता है। शोधकर्ता अनुशंसा करते हैं कि बैंकों को केवल एक संख्या चुनकर आगे नहीं बढ़ जाना चाहिए। इसके बजाय, उन्हें यह खुलासा करना चाहिए कि वे किस विंडो का उपयोग कर रहे हैं और वे किन गणना नियमों को लागू करते हैं। वे सुझाव देते हैं कि बैंकों को विभिन्न विंडो के माध्यम से जोखिम अनुमानों की सीमा (range) की रिपोर्ट करनी चाहिए, और उनके बीच के अंतर को अपनी अनिश्चितता के दैनिक माप के रूप में मानना चाहिए। यह स्वीकार करके कि विभिन्न वैध विकल्प अलग-अलग डॉलर राशि की ओर ले जाते हैं, बैंक अपने पूर्वानुमानों की सीमाओं को बेहतर ढंग से समझ सकते हैं और उस झूठी आत्म-निर्भरता (false confidence) से बच सकते हैं जो यह सोचने से आती है कि केवल एक ही सही उत्तर है।

तकनीकी सारांश: क्या लुकबैक विंडो का चयन ऐतिहासिक वैल्यू-एट-रिस्क (VaR) में मॉडल जोखिम पैदा करता है?

समस्या विवरण
बैंकिंग में ऐतिहासिक सिमुलेशन (HS) पारदर्शिता और वितरण संबंधी धारणाओं के अभाव के कारण वैल्यू-एट-रिस्क (VaR) की गणना के लिए प्रमुख विधि है। हालांकि, HS में ठीक एक स्वतंत्र पैरामीटर है: रोलिंग लुकबैक विंडो ( $W$ ) की लंबाई। जबकि नियामक ढांचे (जैसे बेसल) एक वर्ष के डेटा की न्यूनतम आवश्यकता निर्धारित करते हैं, वे $W$ के विशिष्ट चयन को पर्यवेक्षी समीक्षा के अधीन रहते हुए, फर्म के विवेक पर छोड़ देते हैं। व्यवहार में, फर्में छह महीने से चार साल तक की विंडो का उपयोग करती हैं।

मुख्य समस्या जिसका समाधान किया गया है वह यह है कि क्या यह नियामक छूट महत्वपूर्ण मॉडल जोखिम (Model Risk) पैदा करती है। डैनियलसन एट अल. (2016) के परिभाषा के अनुसार, यह यह जोखिम नहीं है कि मॉडल "गलत" है, बल्कि यह जोखिम है कि कई समान रूप से स्वीकार्य, अनुपालन योग्य विनिर्देश (specifications) काफी भिन्न जोखिम संख्याएं उत्पन्न करते हैं और उनके पास श्रेष्ठ एक को चुनने के लिए कोई डेटा-संचालित तंत्र नहीं है। यह शोध जांचता है कि क्या केवल $W$ का चयन VaR अनुमानों और बैकटेस्टिंग परिणामों में महत्वपूर्ण विसंगतियों में योगदान देता है।

कार्यप्रणाली
अध्ययन चार एक्सचेंज-ट्रेडेड फंडों (SPY, BND, GLD, QQQ) के एक $1,000,000 के समान-भारित पोर्टफोलियो का उपयोग करके एक व्यावहारिक, आउट-ऑफ-सैंपल डिज़ाइन का उपयोग करता है, जो अमेरिकी लार्ज-कैप इक्विटी, एग्रीगेट बॉन्ड्स, गोल्ड और टेक्नोलॉजी इक्विटी का प्रतिनिधित्व करते हैं। डेटासेट दस वर्षों का दैनिक डेटा (सितंबर 2016 – सितंबर 2026) है।

अनुमानक (Estimators): लेखक चार अलग-अलग लुकबैक विंडो: $W \in \{125, 250, 500, 1000\}$ दिनों का उपयोग करके एक-दिवसीय HS-VaR और 95% और 99% कॉन्फिडेंस लेवल पर एक्सपेक्टेड शॉर्टफॉल (ES) की गणना करते हैं।
क्वांटाइल कन्वेंशन (Quantile Convention): अध्ययन स्पष्ट रूप से एम्पिरिकल क्वांटाइल्स की गणना के लिए लीनियर इंटरपोलेशन (Linear Interpolation) को अपनाता है, यह नोट करते हुए कि इंटरपोलेशन पद्धति का चुनाव महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से कम विंडो और गहरे पूंछ (deep tails) के लिए।
बैकटेस्टिंग ढांचा: मॉडलों का मूल्यांकन एक सामान्य 1,512-दिवसीय आउट-ऑफ-सैंपल अवधि पर किया जाता है (1,000-दिवसीय बर्न-इन के बाद)। लेखक एक मानक सुपरवाइजर बैटरी परीक्षण लागू करते हैं:
- कुपिएक (1995) अनकंडीशनल कवरेज टेस्ट।
- क्रिस्टोफरसन (1998) कंडीशनल कवरेज और इंडिपेंडेंस टेस्ट।
- बेसल ट्रैफिक लाइट टेस्ट (विशेष रूप से 99% कॉन्फिडेंस पर)।
- एक गंभीरता (severity) टेस्ट (मैकनील और फ्रे, 2000) पर चर्चा की गई है, हालांकि लेखक नोट करते हैं कि उनके प्रारंभिक गंभीरता विश्लेषण में कार्यान्वयन त्रुटियां थीं जो मुख्य पाठ में निर्णायक गंभीरता परिणाम रिपोर्ट करने से रोकती हैं।

प्रमुख परिणाम

महत्वपूर्ण डॉलर असहमति: सभी नियामक बैकटेस्ट पास करने वाली विंडो के बीच भी, नमूने के अंतिम दिन का अनुमानित VaR काफी भिन्न होता है। 99% कॉन्फिडेंस पर, 250, 500, और 1,000-दिवसीय विंडो क्रमशः $20,04, $21,378, और$ 18,220 का VaR रिपोर्ट करती हैं। यह $3,158 का अंतर (सबसे कम अनुमान का 17%) दर्शाता है जो विंडो की लंबाई के साथ एकसमान (monotonic) नहीं है।
विभेदक टेस्ट प्रदर्शन: $W$ $W$ का चयन यह निर्धारित करता है कि मॉडल नियामक बैकटेस्ट पास करेगा या नहीं।
- 125-दिवसीय विंडो 99% कॉन्फिडेंस पर कुपिएक और कंडीशनल कवरेज दोनों परीक्षणों में विफल रहती है (p-वैल्यू क्रमशः 0.0007 और 0.0028) और नमूने के अंतिम 250 दिनों में बेसल येलो (पीली) ज़ोन में आती है। इसके अपवाद क्लस्टर्ड (clustered) हैं न कि स्वतंत्र।
- 250, 500, और 1,000-दिवसीय विंडो 99% कॉन्फिडेंस पर सभी परीक्षणों को पास करती हैं और ग्रीन ज़ोन में आती हैं।
- 95% कॉन्फिडेंस पर, 125-दिवसीय विंडो कंडीशनल कवरेज टेस्ट में भी विफल हो जाती है, जबकि अन्य पास हो जाती हैं। (नोट: 95% पर, सभी विंडो 99% VaR के लिए कैलिब्रेशन के कारण रेड ज़ोन में आती हैं, जिससे रेड रीडिंग थ्रेशोल्ड का एक आर्टिफैक्ट है न कि मॉडल विफलता का प्रमाण)।
बायस-वैरिएंस ट्रेड-ऑफ: परिणाम सैद्धांतिक ट्रेड-ऑफ को दर्शाते हैं: छोटी विंडो (जैसे 125 दिन) हालिया अस्थिरता के प्रति अधिक प्रतिक्रियाशील होती हैं लेकिन गहरे टेल (कम अवलोकनों) में उच्च अनुमान शोर (estimation noise) से ग्रस्त होती हैं, जिससे बैकटेस्ट विफल हो जाते हैं। लंबी विंडो (जैसे 1,000 दिन) अनुमान शोर को कम करती हैं लेकिन विविध अस्थिरता अवस्थाओं पर औसत निकालकर बायस (bias) पेश करती हैं, जो वर्तमान जोखिम को सुचारू (smooth out) कर सकती हैं।
टेल सेवेरिटी मॉडलिंग: 99% कॉन्फिडेंस पर VaR के मुकाबले ES का मॉडल किया गया अनुपात विंडो की लंबाई के साथ बढ़ता है (125 दिनों में 1.20 से बढ़कर 1,000 दिनों में 1.40 होना), जो यह दर्शाता है कि लंबी विंडो VaR थ्रेशोल्ड के परे एक फेटर टेल (fatter tail) को मॉडल करती हैं।
क्वांटाइल कन्वेंशन संवेदनशीलता: पेपर इस बात पर प्रकाश डालता है कि 125-दिवसीय विंडो की विफलता लीनियर इंटरपोलेशन कन्वेंशन द्वारा संचालित है। $W=125$ और $\alpha=1\%$ पर, क्वांटाइल केवल पहले और दूसरे सबसे खराब अवलोकनों के बीच इंटरपोलेट करता है; अतः, इंडेक्सिंग नियम परिणाम को निर्धारित करता है। लेखकों ने इस डेटा पर वैकल्पिक कन्वेंशन (जैसे प्लॉटिंग-पोजीशन) का परीक्षण नहीं किया है लेकिन इसे एक महत्वपूर्ण प्रकटीकरण आवश्यकता के रूप में चिह्नित किया है।
सीमाएं: अध्ययन स्वीकार करता है कि एक दशक के एकल पोर्टफोलियो में संकट के दिनों (बर्न-इन के बाद केवल 21 बचे) की संख्या बहुत कम है ताकि स्ट्रेस्ड रिजीम के भीतर मजबूत कंडीशनल कवरेज परीक्षण किया जा सके। फलस्वरूप, विश्लेषण यह निश्चित रूप से निर्धारित नहीं कर सकता कि संकट के दौरान कौन सी विंडो सबसे अच्छा प्रदर्शन करती है।

महत्व और सिफारिशें
पेपर निष्कर्ष निकालता है कि लुकबैक विंडो मॉडल जोखिम का एक महत्वपूर्ण स्रोत है। $W$ का चयन केवल एक तकनीकी ट्यूनिंग पैरामीटर नहीं है बल्कि एक मॉडल विनिर्देश है जो जोखिम पूंजी के परिमाण और नियामक अनुपालन के पास/फेल होने की स्थिति दोनों को निर्धारित करता है।

लेखक चार सिफारिशें प्रस्तावित करते हैं, जिन्हें कार्यान्वयन लागत के आधार पर प्राथमिकता दी गई है:

क्वांटाइल कन्वेंशन का खुलासा करें: फर्मों को उपयोग की जाने वाली इंटरपोलेशन पद्धति को स्पष्ट रूप से बताना चाहिए, क्योंकि यह बैकटेस्ट परिणामों को निर्धारित कर सकता है, विशेष रूप से छोटी विंडो के लिए।
सेवेरिटी और फ्रीक्वेंसी का परीक्षण करें: फर्मों को अपवादों की गिनती (फ्रीक्वेंसी) के साथ गंभीरता परीक्षणों (जैसे मैकनील-फ्रे) को पूरक करना चाहिए ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि मॉडल केवल उनकी उपस्थिति ही नहीं, बल्कि उल्लंघन के परिमाण को भी कैप्चर करता है।
$W$ को एक मॉडल पैरामीटर के रूप में मानें: फर्मों को कई विंडो (जैसे 250, 500, 1,000) के माध्यम से VaR अनुमानों के "एनवेलप" (envelope) को एक दैनिक मॉडल-जोखिम संकेतक के रूप में रिपोर्ट करना चाहिए। $W$ में बदलाव को मॉडल परिवर्तन माना जाना चाहिए।
कंडीशनल मॉडलों को प्राथमिकता दें: पेपर तर्क देता है कि विंडो चयन की "कठिन समस्या" इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि अनवेटेड (unweighted) HS वर्तमान बाजार स्थिति पर अनवेटेड औसत का उपयोग करके कंडीशन करने का प्रयास करता है। लेखक सुझाव देते हैं कि वोलेटिलिटी-फिल्टर्ड मॉडल (जैसे फिल्टर्ड हिस्टोरिकल सिमुलेशन) बेहतर हैं क्योंकि वे स्पष्ट रूप से वर्तमान अस्थिरता पर जोखिम पूर्वानुमान को कंडीशन करते हैं, जिससे स्थिर लुकबैक विंडो का विशिष्ट चयन कम महत्वपूर्ण हो जाता है।

लेखक अपने दायरे को विनम्र रखते हुए नोट करते हैं कि उनके निष्कर्ष एक दशक के एक पोर्टफोलियो पर आधारित हैं और विभिन्न बाजार व्यवस्थाओं में इन निष्कर्षों को सामान्य बनाने के लिए व्यापक क्रॉस-एसेट या सिमुलेशन अध्ययन की आवश्यकता है।

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